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1、第五章 应力状态分析 强度理论 组合变形,一、课时安排：4学时 二、本章的重点、难点： 1.重点：强度理论； 2.难点：三向应力状态分析； 3.掌握平面应力状态分析中主应力的求法； 三、本章授课内容： 5.1 应力状态的概念 5.2 平面应力状态分析 5.3 三向应力状态简介、广义虎克定律 5.4 强度理论简介 5.5 组合变形的强度计算,5.1 应力状态的概念,5.1.1 一点的应力状态 通过受力构件上一点的所有各个不同截面上应力的集合，称为该点的应力状态。,P,P,A,A,A,图5-1 拉伸杆件一点的应力状态,m,m,B,B,B,图5-2 圆轴扭转表面一点的应力状态,5.1 应力状态的概念
2、,5.1.2 主平面和主应力 1.定义：单元体上剪应力为零的平面称为主平面。主平面上的正应力称为主应力。 2.主应力单元体：由主平面组成的单元体，称为主应力单元体。常用它表示一点的应力状态。,1,1,图5-3 应力状态分类,(a),(b),(c),2,1,2,3,5.2 平面应力状态分析,根据剪应力互等定理知： 符号规定：正应力，拉为正，压为负；剪应力以对单元体内任一点产生顺时针力矩为正，反之为负。,图5-4 二向应力状态单元体,5.2 平面应力状态分析,5.2.1 任意斜截面上的应力 任取斜截面ef，其法线n与x轴正向的夹角为。规定： 角自x轴正向逆时针转到n为正。,(a),图5-5 斜截面
3、上的应力,(b),5.2 平面应力状态分析,设xy，其中， 取aef为研究对象。若ef的面积为dA，则af和ae面的面积分别为：dAsin和dAcos 。 由静力平衡方程：,5.2 平面应力状态分析,化简后得：,5.2 平面应力状态分析,例5-1：已知如图，求斜截面上的正应力和剪应力。,x,40MPa,n,10MPa,y,40MPa,20MPa,20MPa,10MPa,5.2 平面应力状态分析,5.2.2 主平面和主应力 平面应力状态中有一个主平面是已知的，另外两个主平面可通过确定正应力极值的方法求出。,5.2 平面应力状态分析,有（5-5）解出sin20和cos20代回（5-3）式，求的最大
4、正应力和最小正应力为：,5.2 平面应力状态分析,5.2.3 极值剪应力 为确定极值剪应力，令,5.2 平面应力状态分析,例5-2：分析拉伸试验时低碳钢试件出现滑移线的原因。,(a),(b),(c),例5-3：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。,A,m,m,(a),A,(b),(c),5.3 三向应力状态简介、广义虎克定律,5.3.1 三向应力的最大应力 三向应力状态：若过一点单元体上三个主应力均不为零。称该单元体处于三向应力状态。 设三向应力状态的三个主应力为：,5.3 三向应力状态简介、广义虎克定律,5.3.2 广义虎克定理 对三向应力状态，若材料是各向同性的且最大
5、应力不超过材料的比例极限。则，任意方向的线应变都可利用虎克定理叠加而得。,5.4 强度理论简介,5.4.1 脆性断裂理论 1.最大拉应力理论（第一强度理论）：此理论认为最大拉应力是引起断裂的主要因素。,2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）：此理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要原因。,5.4 强度理论简介,5.4.2 塑性屈服理论 1.最大剪应力理论（第三强度理论）：此理论认为最大剪应力是引起材料破坏的主要因素。,5.4 强度理论简介,2.形状改变比能理论（第四强度理论）： 弹性体因受力变形而储存的能量成为变形能。构件单位体积内储存的变形能称为比能。 比能由：体积改变比能uv和形状改变比能
6、uf组成。 此理论认为引起材料破坏的主要原因是形状改变比能uf。,5.4 强度理论简介,例5-4：按强度理论计算纯剪切应力状态下，和之间的关系。,5.5 组合变形的强度计算,5.5.1 组合变性概念与实例 1.概念：同时产生两种或两种以上的基本变性，称为组合变性。 2.实例：见下图。,G,G,A,B,t,T,t,T,5.5 组合变形的强度计算,3.强度计算依据： 对组合变性的杆件，只要材料服从虎克定律和小变性条件。可以认为每一种基本变性都是各自独立，互不影响的。因此可以使用叠加原理。 4.强度条件的建立： 分析并简化分解杆件的受力情况，使每一组载荷只产生一种基本变形。 分别计算它们的内力、应力
7、，然后进行叠加。 再根据危险点的应力状态，建立相应的强度条件。,5.5 组合变形的强度计算,5.5.2 拉伸（或压缩）与弯曲的组合 1.矩形截面悬臂梁，受力情况见下图 其中Px=Pcos，Py=Psin,y,z,x,L,o,o,Px,P,Py,+,=,max,min,(a),(b),(c),(d),5.5 组合变形的强度计算,.在轴向力Px单独作用下，梁在各横截面上的正应力是均匀分布的，其值为： .在横向力Py作用下，在固定端处的弯矩最大，其值为： .危险截面的总应力为：,5.5 组合变形的强度计算,.强度条件：由于危险点处为单向应力状态，所以强度条件为：,.若材料抗拉、压强度不相同，则应分别
8、建立强度条件：,例5-5 已知材料的许用应力=100MPa，集中载荷为：P=25kN,试校核横梁AB的强度。,C,A,B,D,1.3m,1.3m,P,300,A,B,D,P,XA,YA,T,A,B,D,P,XA,YA,T2,T1,21.6kN,(a),(b),(c),(d),16.25kN.m,(e),图5-14,解：受力分析 AB梁受力图如图5-14(b)、(c)所示。由静力平衡方程可求得：T=25kN , XA=T1=21.6kN , YA=T2=12.5kN 确定危险截面 作梁AB的轴力图图5-14(d)与弯矩图图5-14(e),可知危险截面，其轴力和弯矩分别为： N=-21.6kN ,
9、 Mmax=16.25kN.m 计算危险点处的应力 查手册得18号工字钢：A=30.6cm2，W=185cm2。 强度校核:,5.5 组合变形的强度计算,2.偏心拉伸（压缩)问题，见图5-15厂房立柱。 设：矩形截面直杆，杆两端有平行于轴线的力P。如图5-16(a)所示，将力P简化到形心，根据力的平移定理得图5-16(b)。,P2,P1,图5-15 偏心压缩,P,P,e,P,P,M=Pe,(a),图5-16 偏心拉伸,(b),例5-6：图5-17所示钻床，若P=15kN，材料许用拉应力=35MPa,试计算圆立柱所需直径d。 解：内力计算 由截面法可得立柱m-m横截面上的内力为： N=P=15k
10、N , M=Pe=150.4=6kN.m 按弯曲强度条件初选直径d,d,m,m,400,P,P,(a),P,m,m,N,M,(b),图5-17,5.5 组合变形的强度计算,5.5.3 弯曲与扭转的组合 1.圆形截面悬臂梁，受力及变形分析见图5-18 。,y,z,x,L,o,P,C1,C2,M,(a),+,(b),T,m,M,Pl,(c),(e),c1,z,y,x,(d),图5-18 弯扭组合变形,5.5 组合变形的强度计算,2.确定危险截面：由剪应力和正应力分布规律(d)知：上下边缘C1和C2点为危险截面上的危险点。其值为： 3.分析应力状态，建立强度条件 对于塑性材料，因拉压强度相等，所以取
11、一点C1为研究对象即可。 C1点的主应力为： 由第三、第四强度条件得圆轴在弯曲和扭转组合变形下的强度条件为：,例5-7 图5-19所示传动轴，各皮带张力均为：t1=3900N和t2=1500N。两轮直径均为：600mm，许用应力=80MPa。试分别按第三、第四强度理论设计轴的直径。,A,B,t2,t1,t2,t1,C,x,y,z,400,800,250,B,A,Py,Pz,MD,MC,D,720N.m,1350N.m,1440N.m,450N.m,T,My,Mz,图5-19,解：受力分析 在xoz和xoy平面上的力产生的弯矩和扭矩分别为：,内力计算，确定危险截面,计算轴的直径,习题： 5-2 5-4 5-6 5-8,
