《2016年韦达定理教学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016年韦达定理教学案（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、韦达定理【学习目标】 1、经历探索一元二次方程的根与系数关系的过程，进一步理解并掌握一元二次方程根与系数的关系；2、会根据条件和根与系数的关系式，不解方程确定相关的方程和未知的系数值；3、会计算一元二次方程两个根的倒数、平方和以及其它有关代数式的值。【学习要点】不解方程确定相关的方程和未知的系数值。一、学习准备：1、已知：一元二次方程 x22x3 =0的两根为x1、x2，则x1=_，x2=_； x1+x2=_， x1x2=_ 。2、一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0) 的 两个根为：x1= _； x2= _； x1+x2= _ ； x1x2= _。由上可知一元二次方程的根与系数有如下关系
2、：（又称韦达定理）如果一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的两个根是x1, x2 ，那么X1+x2= , x1x2= ,必要条件 二、典例示范：3、 已知方程的一个根，求另一个根及未知系数例1 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。法一：设另一根为x1，由韦达定理可建立关于x1和k的方程组，解之即得。解：设方程的另一个根是，由韦达定理得：答：方程的另一个根是_，K的值是_法二：把x=2代入原方程，先求出k的值，再求另一个根，试一试吧! 比较一下答案相同吗？即时练习1：（1）已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。（2）如果2+是方程
3、x2-4x+C=0的一个根，求它的另一个根及C的值。4、整体代换，求与x1、x2有关的代数式的值例2 已知方程2x2+3x-1=0的两根为x1、x2，不解方程，求下列各式的值：韦达定理涉及x1+x2 ，x1x2 ，求值又为x12+x22；(x1+2)(x2+2) ，均为一元对称式，变形式均涉及完全平方公式。（1）x12+x22 (2) (3) (x1+2)(x2+2) 解：由韦达定理得： （1）（x1+x2）2=x12+2x1x2+x22 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=_=_ (2) =_=_ (3) (x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=_=_即时练习2：
4、设x1、x2是方程2x2-6x+3=0的两个根，求下列各式的值：（1）x12x2+x1x22 (2) (x1-x2)2 (3) (x1+)(x2+) (4) 5、已知两根，求方程（或已知两数之和与积，求这两个数）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1、x2，那么：x1+x2= p x1x2= q即：p=(x1+x2) q=x1x2则方程x2+px+q=0就是：x2(x1+x2)+x1x2=0 小结：以两个数x1、x2为根的一元二次方程是x2-(x1+x2)+x1x2=0例3 （1）求一个一元二次方程，使它的两个根是3 ，2 （2）已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数。 解：（1）所求的
5、方程是： x2（3+2）x+（3）2=0 化简，得：_,即：_ (2) 根据韦达定理得，所求的两数是方程：x28x+9=0 的两个根。 解这个方程，得：X1=_, X2=_ 所求的两个数是_和_即时练习3：（1）求一个一元二次方程，使它的两个根分别为4和7（2）已知两个数的和等于6，积等于2，求这两个数。（3）已知：是两个不相等的实数，且满足，那么求的值。【达标检测】1、若关于x的方程x2x+c=0的一个根为，则c的值为_。2、若关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为1和2，则b=_,c=_3、阅读材料：设一元二次方程如果一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0) 的 两个根是x1,
6、 x2，则两根与方程之间有如下关系: X1+x2= x1x2=根据材料填空：已知x1, x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，则：的值为_4、已知x1 、x2是方程2x22x+13m=0的两个实数根，且x1x2+2(x1+x2)0 ，那么实数m的取值范围是_5、若关于x的方程2x22x+3 m 1=0有两个实数根x1 、x2 ，且x1x2 x1+x24,则实数m的取值范围是（ ） A m B m C m D m6 、设x1 、x2 是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1 x2+1是关于x的方程x2+px+q=0的两根，则p、q的值分别等于（ ） A B C 5 D 27、已知关于x
7、的方程kx22(k+1)x+k1=0有两个不相等的实数根 （1）求k的取值范围。 （2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。根的判别式和韦达定理的综合【学习目标】 1、掌握一元二次方程根与系数的符号关系2、利用韦达定理并结合判别式，求参数的值【学习要点】1、一元二次方程根与系数的符号关系；2、利用韦达定理并结合判别式，求参数的值一、学习准备1、一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0) 的判别式=_0 _ ； =0 _ ；0 _ ； 0 。2、韦达定理如果ax2+bx+c=0 (a0)的两个根分别为x1和x2，必要条件 那么x1+x2=_
8、, x1x2=_ 二、典例示范3、根的分布（1）有两个正根 ;（2）有两个负根 ;(3) 有一正根一负根 ; （4）两根互为倒数 ;（5）两根互为相反数.例1、：k为何值时，方程3x22(3k+1)x+3k21=0 （1）有一根为0； （2）有两个互为相反数的实数根； （3）两根互为倒数。 即时练习1：1、 K为何值时，方程4x2(k1)x+k7=0 的两个根具有下列关系： （1）两根互为相反数 （2）两根互为倒数 （3）有一根为02、已知方程的两根为，求下列代数式的值： （1）；（2）；（3）3、已知x1，x2是关于x的方程x2-2(m+2)x+2m2-1=0的两个实根，且满足，求m值例2、
9、已知方程x2+kx+k=0有两个实数根，且两根的平方和为3，求k的值。解：由题意得： _,_当K1=_时，_;当K2=_时，_， 故K的值为_即时练习2：1、已知方程x2-4x+6k=0两个实数根的平方差为8，求k的值。2、若方程2x2-mx-4=0的两个实数根x1,x2满足+=2，求m的值。3、已知是关于x的一元二次方程的两个实数根。 （1）用含m的代数式表示；（2）当时，求m的值。例3、已知关于x的方程x2-(2k-3)+k2+1=0的两个实数根x1、x2满足：,求k的值。解：原方程有两个实数根，则0 即-(2k-3)2-4(k2+1)0 解之得：k_ 又x1x2=k2+10,x1与x2同
10、号；由：可得：x1+x2=3 即 2k-3=3 ,解之得:k1=_,k2=_ 由可得：K=_即时练习3：1、若n0，关于x的方程x2-（m-2n）x+mn=0有两个相等的正实数根，求的值。2、已知关于x的方程x2+(a+1)x+b-1=0的两根之比是2：3，判别式值为1，求方程的根四、反思小结：学习和使用韦达定理时，要注意定理的前提条件：是在一元二次方程条件下，即注意二次项系数 ；是在有实数根的条件下，即 0；两个条件缺一不可。【达标检测】1. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k与另一根分别为（ ） A. 2，-1 B. -1，2 C. -2，1 D. 1，-22. 已知方程的两根互为相
11、反数，则m的值是（ ） A. 4 B. -4 C. 1 D. -13. 若方程有两负根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若方程的两根中，只有一个是0，那么（ ） A. B. C. D. 不能确定5. 关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则m_。6、关于x的一元二次方程x2-x+a(1-a)=0有两个不相等的正根，则a可取的值为_ (只要填写一个可能的值即可)7、若、是方程x2+2x-2005=0的两个实数根，则2+3+的值为_ 8、在等腰三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=3,b和c是关于x的方程x2+mx+2-m=0的两个实数根，求ABC的周长。9、已知方程两根之比为1：3，判别式值为16，求a、b的值。10、已知关于x的方程x2+2（2-m）x+3-6m=0 (1) 求证：无论m取什么实数，方程总有实数根。 （2）如果方程的两实数根分别为x1
