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1、第四章 傅里叶变换和系统的频域分析,本章主要内容：,第四章 傅里叶变换和系统的频域分析,信号分解为正交函数 傅里叶级数 周期信号的频谱 非周期信号的频谱 傅里叶变换的性质 能量谱和功率谱 周期信号的傅里叶变换 LTI系统的频域分析,4.1 信号分解为正交函数,一、矢量正交与矢量分解,矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义： 其内积为0，即,第四章 傅里叶变换和系统的频域分析,矢量正交,矢量分解,将相互正交的单位矢量组成一个 “正交矢量集”，则任 意矢量都可用该集合的分量组合表示。,4.1 信号分解为正交函数,举 例,如二维平面矢量A
2、 ，可表示为：,如三维空间矢量B ，可表示为：,二、信号正交与正交函数集,4.1 信号分解为正交函数,信号正交,定义在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t),若满足,(两函数的内积为0),则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。,正交函数集,若n个函数 1(t)， 2(t)， n(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足,则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。,(Ki为常数),4.1 信号分解为正交函数,完备正交函数集,如果在正交函数集1(t)， 2(t)， n(t)之外，不存在函数(t)(0）满足,则称此函数集为完备正交函数集。,( i
3、=1，2，n),举 例(完备正交函数集),1. 三角函数集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2,2. 沃尔什（Walsh）函数,3. 复函数集ejnt，n=0，1，2，,(t0，t0+T)(T=2/),(0，1),(t0，t0+T)(T=2/),三角函数集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2,举 例（续）,4.1 信号分解为正交函数,(t0，t0+T)(T=2/),= 0,= 0,= 0,三、信号的正交分解,4.1 信号分解为正交函数,设有n个函数 1(t)， 2(t)， n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，
4、可表示为,讨 论：,如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小?,通常使误差的均方值(均方误差)最小。,4.1 信号分解为正交函数,最小均方误差,均方误差定义为：,为使上式最小，有：,展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为,4.1 信号分解为正交函数,即：,所以系数,代入均方误差表达式，得最小均方误差（推导过程见教材）,巴塞瓦尔公式,4.1 信号分解为正交函数,第j个正交分量的能量,Parseval公式表明：在区间(t1,t2)上， f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。,函数f(t)可分解为无穷多项正交函
5、数之和,当 ，有最小均方误差为零， ，则,4.2 傅里叶级数,在（-，）区间，每隔一定时间T，按相同规律重复变化的信号称为周期信号，表示为：,f(t) = f(t+mT),一、傅里叶级数的三角形式,第四章 傅里叶变换和系统的频域分析,4.2 傅里叶级数,设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数 称为f(t)的傅里叶级数三角形式,傅里叶系数,是n的偶函数,由Ci表达式确定,是n的奇函数。,4.2 傅里叶级数,将上式同频率项合并，可写为,上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 A0/2为直流分量；A1cos(t+1)
6、称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号相同；Ancos(nt+n)称为n次谐波，其频率是基波的n倍。,n的偶函数,n的奇函数,4.2 傅里叶级数,例 题 将图中所示方波信号f(t)展开为傅里叶级数。,解：首先确定傅里叶系数,4.2 傅里叶级数,则方波信号的傅里叶级数展开式为：,4.2 傅里叶级数,方波信号的傅里叶级数展开式：,特 点,频率较低的谐波，振幅较大，是组成方波的主体； 合成波形所包含的谐波分量越多，越接近于原方波信号； 即使n，间断点处仍有误差，称为吉布斯（Gibbs）现象。,基波+三次谐波,基波+三、五、七、九次谐波,4.2 傅里叶级数,复 习,信号的正交分解 巴塞瓦尔公式的含
7、义 傅里叶级数三角形式,第四章 傅里叶变换和系统的频域分析,4.2 傅里叶级数,二、奇偶函数的傅里叶级数,函数f(t)的前半周期波形移动T/2后，与后半周期波形相对于横轴对称，称为奇谐函数。,该部分内容自学,4.2 傅里叶级数,三、傅里叶级数的指数形式,三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用 cosx=(ejx + ejx)/2,令n = -n,A n=An， n= n,4.2 傅里叶级数,A0=A0ej0ej0t,0=0,所以,令复数,称复傅里叶系数,则，傅里叶级数的指数形式：,表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频
8、率的虚指数信号之和。,n=0,1, 2,4.2 傅里叶级数,复傅里叶系数Fn,复系数Fn的求解公式,n=0,1, 2,bn,an,4.2 傅里叶级数,例 题 周期锯齿波信号如图所示，求该信号的指数形式傅里叶级数。,解： f(t) 在一个周期内的表达式为：,其指数形式傅里叶系数为：,4.2 傅里叶级数,所以,4.3 周期信号的频谱及特点,一、周期信号的频谱,信号的幅度/相位随信号频率变化的关系，称为信号的幅度/相位频谱。,谱 线,包络线,第四章 傅里叶变换和系统的频域分析,4.3 周期信号的频谱,二、周期矩形脉冲的频谱,举例：有一幅度为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲，其周期为T，如图所示，求频谱。
9、,复傅里叶系数：,n = 0 ,1，2，,4.3 周期信号的频谱,周期脉冲序列的幅度频谱,（T=4）,令：,特点：,周期矩形脉冲信号的频谱都是离散的，谱线位置是基频的整数倍； 一般具有收敛性，总趋势减小。,零点位置：,4.3 周期信号的频谱,谱线的结构与波形参数的关系,T一定，变小，此时（谱线间隔）不变，两零点之间的谱线数目增多，幅度减小； 一定，T增大，间隔减小，频谱变密，幅度减小； T（非周期信号），谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。,n = 0 ,1，2，,复 习,傅里叶级数三角、指数形式 周期信号的幅度谱、相位谱概念 周期信号幅度谱特点（以周期方波为例
10、）,第四章 傅里叶变换和系统的频域分析,第四章 傅里叶变换和系统的频域分析,4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换,一、傅里叶变换,为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度函数的概念，简称频谱函数，即,(单位频率上的频谱）,根据傅里叶级数指数形式的公式：,4.4 非周期信号的频谱,有：,由于：T，无穷小，记为d；,n （由离散量变为连续量）, ,所以当T时，有：,傅里叶 (正反)变换,4.4 非周期信号的频谱,亦可简记为：,或 f(t) F(j),频谱密度函数F(j)一般是复函数，写为：,F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX(),函数f(t)的傅里叶变换存在的充分条件:
11、,(在无限区间内绝对可积）,4.4 非周期信号的频谱,二、常用函数的傅里叶变换,1. 门函数(矩形脉冲),4.4 非周期信号的频谱,2. 单边指数函数,f(t) = et(t)， 0实数,3. 双边指数函数,f(t) = et , 0,4.4 非周期信号的频谱,4.4 非周期信号的频谱,4. 冲激函数(t)、(t),物理意义：在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量。因此，这种频谱常称为“均匀谱“或”白色谱“。,4.4 非周期信号的频谱,5. 单位直流信号,直接利用定义式不好求解，则构造 f(t)=e-t ， 0,冲激函数,强度：,因此， 12(),4.4 非周期信号的频谱,6
12、. 符号函数,构造 函数 f(t)：,所以：,4.4 非周期信号的频谱,7. 阶跃函数(t),将单位阶跃函数(t)表示为：,直流信号,符号函数,4.4 非周期信号的频谱,归纳记忆：,1. F 变换对,2. 常用函数 F 变换对：,(t),(t),e -t (t),g(t),sgn (t),e |t|,1,1,2(),复 习,傅里叶正反变换（FT） 常用信号的傅里叶变换,门函数 单边指数 双边指数 冲激函数及其导数,单位直流信号 符号函数 阶跃信号,第四章 傅里叶变换和系统的频域分析,4.5 傅里叶变换的性质,一、线性(Linear Property),证 明:,= a F1(j) + b F2
13、(j),F a f1(t) + b f2(t),a、b为任意常数,4.5 傅里叶变换的性质,信号f(t)如图所示，求其频谱 F(j)。,解: f (t) = f1(t) g2(t),f1(t) = 1 2(),g2(t) 2Sa(), F(j) = 2() - 2Sa(),-,举 例,4.5 傅里叶变换的性质,二、奇偶性 (Parity),R()= R() , X() = X () |F(j)| = |F( j)| , () = (),如果信号f(t)是时间t的实函数，则,因此：,(2) If f(t) = f(-t) ,then X() = 0, F(j) = R() If f(t) = -
14、f(-t) ,then R() = 0, F(j) = jX(),4.5 傅里叶变换的性质,三、对称性质(Symmetrical Property),证 明:,t - t,整 理：,4.5 傅里叶变换的性质,例 如,4.5 傅里叶变换的性质,举 例,已知信号 求其频谱 F(j)。,解:,若,根据对称性，有：,所 以：,4.5 傅里叶变换的性质,四、时移性质(Timeshifting Property),F f (t t0 ) ,则：,t0为任意常数,证 明:,4.5 傅里叶变换的性质,f1(t) = g6(t - 5) f2(t) = g2(t - 5),g6(t - 5) ,g2(t - 5
15、) , F(j) =,+,信号f(t)如图所示，求其频谱F(j)。,举 例,解:,4.5 傅里叶变换的性质,五、频移性质(Frequency Shifting Property),0为常数,则：,证 明:,2(-3),4.5 傅里叶变换的性质,频谱搬移,4.5 傅里叶变换的性质,六、尺度变换性质(Scaling Transform Property),则：,证 明:,a为实常数,4.5 傅里叶变换的性质,说明：信号在时域中压缩（a1）等效于在频域中扩展；反之，信号在时域中扩展（a1）等效于在频域中压缩,4.5 傅里叶变换的性质,已知 f (t)F( j)，计算 f (at b)的频谱。,解:,f (at b) ,或者,f (at) ,f (at b) =,举 例(1),e -jb F( j),f (t b) ,4.5 傅里叶变换的性质,举 例(2),f(t) = F(j) = ?,解:,令 ，有,利用对称性,利用尺度变换性,令 a = -1，有,4.5 傅里叶变换的性质,复 习,傅里叶变换性质 线性性质 奇偶性 对称性 时移性
