《数学讲义-手稿修改最终整理word2003(2013.6.27)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学讲义-手稿修改最终整理word2003(2013.6.27)（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、科学计算基础（课堂讲义）整理版第 1 页/共 31页页页页以下内容由同学们根据老师手搞整理所得，难免有错误及疏漏之处，请谅解。手稿手稿手稿手稿 1 1 1 13 3 3 3 页（地质邓书生整理）页（地质邓书生整理）页（地质邓书生整理）页（地质邓书生整理）第一章 绪论数值分析：用计算机求解数学问题的数值方法和理论，这里数学问题主要是来自工程和科学实验中数学问题如线性方程组、函数插值、离散数据拟合、微积分、微分方程、非线性方程、最优化矩阵的特征值等。数值分析的主要任务：对数学问题，构作算法，然后给出数学问题的数值解。同一个数学问题通常有许多算法，评价算法的好坏：这里主要讨论： （1）算法； （2）
2、误差一、误差设 x 为真值，X为其近似值，称：x=XX为绝对误差rx=xx为相对误差常用X代相对误差中的 x例例例例： 用 Taglor 公式 ex=1+x+22!x+!nxn+Rn （x） ， 计算 e-1（误差nijjijiiaa, 1，称 A 为对角占优阵。例：例：例：例：=924183216A为对角占优阵TH:若 A 为对角占优阵则 A 可逆。科学计算基础（课堂讲义）整理版第 12 页/共 31页页页页五、内积1、Rn的内积设),(),2121nnyyyxxx=（，称nnyxyxyx+=2211),(称,的内积性质：),(),(),)(3),(),)(2),(),)(12121+=+=
3、kk4)设)(),(11nnyyxx=，而0,1nww，称数()nnnyxwyxw+=111,为,的带权nww,1的内积。手稿手稿手稿手稿 1313131316161616 页（机械田岱峰整理）页（机械田岱峰整理）页（机械田岱峰整理）页（机械田岱峰整理）2.baC,的内积若ba,上一个函数( )xw具有性质1)dxxwxban)(存在2)0)(xg，baxwxg0)()(且=badxxwxg0)()(，则0)(=xg称( )xw为ba,上权函数。Del:设( )xw为ba,上权函数，baCxgxf,)(),(，称数( )()( ) ( ) ( )dxxwxgxfxgxfba=),(为( ) (
4、 )xgxf,的内积。性质：1)( ) ( )()( )( )()xfxgxgxf,=科学计算基础（课堂讲义）整理版第 13 页/共 31页页页页2)( ) ( )()( ) ( )()xgxfkxgxkf,=3)( )( ) ( )()( ) ( )()( )( )()xgxfxgxfxgxfxf,2121+=+4)( )( )()()00, 0,=fffxfxf例：例：例：例：取权( )1=xw，则1 , 0,32Cxx()61,10532=dxxxx设nRyx,或baC,，则()()()yyxxyx,2Cauchy-Schwarz 不等式Del:设( )( )baCxxn,1，若( )(
5、 )()jijiAxxjji=00,称( )( )xxn,1为正交函数族例：例：例：例：1.,2cos,2sin,cos,sinxxxx为2 , 0上正交函数族。六范数1.向量范数设()nxxx,21=，称数(),=为的范数性质：1）00, 0=2）kk=3）+4）(),例：例：例：例：()3 , 2 , 1=，则()14,=2.矩阵范数科学计算基础（课堂讲义）整理版第 14 页/共 31页页页页Del：设 A 为任一 n 阶矩阵，对应一个数记作A，满足1）00, 0=AAA且2)AkkA =3)BABA+4)BAAB 5)列向量,AA称A为 A 的范数。常见的矩阵范数，设( )ijaA =1
6、)=ijnjiaA1max，为 A 的行范数2)=ijnijaA11max，为 A 的列范数3)()AAAT=2，为 A 的谱范数例：例：例：例：=2211A，求 A 的各种范数解：3, 41=AA=533522112121AAT()()0285335=AAET2, 821=为AAT的特征值故2282=A设 A 为 n 阶阵，且1A，则AE 可逆，且()AAE111科学计算基础（课堂讲义）整理版第 15 页/共 31页页页页由( )1 A故()AAE+=称 AZ =b 为三对角线性方程组令111,1,2,n 1,2,3,2,3,iiiiiiiiidciubalinulubinc= =则 A 可
7、表为科学计算基础（课堂讲义）整理版第 19 页/共 31页页页页A=11222311n111l1nnnduludludu 这时方程组 AZ=f 等同于yzLfUy=11112,3,iiiyfyfl yin=iii 1(yc x),1,2,1nnniiyxuxuinn=称这种方法为追赶法进一步可以从下面三步求方程组的解(1) 计算Li, uiu1b1Liai/ui-1i2,3,nUihi-ici(2)计算 y1,yn1112,iiiiyfyll yin=(3)计算 xn,xn-1,x1iii1(yc y),1,2,1nnniiyxuxinnu=科学计算基础（课堂讲义）整理版第 20 页/共 31
8、页页页页例：用追赶法求解三对角方程组12341214141410xxx=23123121231241014aalllccbbb= = =解：211213222 132333 214411544441545641515aubluaubl cluubl c= = =y1=l1=2y2=l2-l2y1=4+1/2=9/2y3=l3-l3y2=10+4/15 * 9/2=56/533322322112113(yc x )2(yc x )1yxuxuxu=即方程组的解123123xxx=2,条件数与方程组的误差分析Del：设 A 为 n 阶可逆方阵称数为 A 的条件数，其中A为 A 的某种范数手稿手稿手
9、稿手稿 2323232327272727 页（电气衡东整理）页（电气衡东整理）页（电气衡东整理）页（电气衡东整理）例：设 A=,求由 A 的行范数确定的条件数解：科学计算基础（课堂讲义）整理版第 21 页/共 31页页页页故 cond(A)=6Th:设 AZ=b 为方程组，A 可逆1）当 b 变为 bb 时，引起的解的误差2）当 A 变为 AA 时，引起的解的误差3 ） 当 A 变 为 A A ，b 变 为 b b 时 ， 引 起 的 解 的 误 差例：例：例：例：讨论方程组的误差情况解：，而故当变为时，引起解的相对误差当 A 变为时，引起解的相对误差科学计算基础（课堂讲义）整理版第 22 页
10、/共 31页页页页3.3.3.3.迭代法解线性方程组迭代法解线性方程组迭代法解线性方程组迭代法解线性方程组一、一般迭代公式设 AZ=b 为线性方程组，且 A 可逆，其解将 AZ=b 变形为x=Bx+f可以建立迭代公式显然若收敛，必有( )*limxxkn=即然，可以用的近似值。定理：由得到的向量序列收敛的充要条件为,且误差二、Jalobi 迭代公式科学计算基础（课堂讲义）整理版第 23 页/共 31页页页页Jalobi 迭代公式就是将 AZ=b 中的除了各个方程中的外全部移到方程的右边得到：例例例例：方程组注：其解方程组变形为：建立迭代公式0.7780.9630.9930.9990.8000.
11、9640.9930.9990.8670.9720.9950.999从而可以看出，科学计算基础（课堂讲义）整理版第 24 页/共 31页页页页当迭代到时，用代的误差Jalobi 迭代的一般形式：设 AZ=b，为 A 的对角线构成的对角阵则,这时的对角线全为 0，于是 AZ=b 可变形为于是：记于是 AZ=b 等价于Jalobi 迭代公式为三、三、三、三、Gauss-SeidelGauss-SeidelGauss-SeidelGauss-Seidel 迭代公式迭代公式迭代公式迭代公式在 Jalobi 迭代中，在计算时，均已计算出，而原则上比更接近于，但是计算时，均没有使用，而且这时计算机要保存,又
12、要保存,占有大量内存， Gauss-Seidel 迭代是在计算时， 用科学计算基础（课堂讲义）整理版第 25 页/共 31页页页页代替仍以例题的形式进行讨论。例：变化为这时迭代公式变化：称为 Gauss-Seidel 迭代公式只要迭代 3 次可得到与 Jalobi 迭代相同的结果。Gauss-Seidel 迭代公式的一般形式：设 AZ=b，设 A=,将 A 表示为：=U+7方程组 AZ=b 等价于（U+7）Z=b等价于 UZ=-7Z+b于是 AZ=b 等价于科学计算基础（课堂讲义）整理版第 26 页/共 31页页页页记，AZ=b 等价于Gauss-Seidel 迭代公式为：注：Gauss-Se
13、idel 迭代公式不一定比 Jalobi 迭代收敛的快。手稿手稿手稿手稿 2828282832323232 页（土木李明整理）页（土木李明整理）页（土木李明整理）页（土木李明整理）CH4 插值与拟合一、插值Def：设 y=f（x）在【a，b】上连续，设ax0，x1， ，xn-1，xnbxixj，ij为【a，b】上 n+1 个点，称为节点，而 f（x）在节点的函数值为 f（xi）yi，若存在次数n 的多项式满足i=0,1,2， ，n称 Pn（x）为 f（x）的插值多项式Th： f（x）的插值多项式 Pn（x）存在唯一证明：设 f（x）的插值多项式为 Pn（x）=nkkkxa0，则科学计算基础（课
14、堂讲义）整理版第 27 页/共 31页页页页=nnkknkknkkyknykykxaxaxa02000.10这时，一个以 a0，a1， ，an为未知数，以 x0，x1， ，xn为已知的线性方程组，其系数行列为nnnnnnxxxxxxxxx2121102001.1.1=jxjxii）（0，方程组有唯一解故 a0，a1， ，an有 x0， ，xn，y0， ，yn唯一确定。二、lagrange（1）两点插值设 x0、x1【a,b】 ，这时过 x0，x1的插值多项式为一次函数，由二点式公式0001011)()(yxxxxyyxP+=（不对称）=010001000101xxyxyxxyxyxyxy+=0
15、1011010xxxxyxxxxy+记1010)(xxxxxl=，1)(00=xl，0)(10=xl，=)(0ixl0110=ii0101)(xxxxxl=，0)(01=xl，1)(11=xl，=)(1ixl1010=ii科学计算基础（课堂讲义）整理版第 28 页/共 31页页页页即=)(jixl01j=iji，且)(y)(y)(11001xlxlxP+=（2）三个节点设 x0、x1、x2【a,b】 ，这时的插值多项式为二次函数，)(2xP将 x0、x1、x2代入，整理化简，得到：)()()()()()()(102102210120120102102xxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxx
16、xxxxyxP+=记)()()(2010210xxxxxxxxxl=，)()()(21012011xxxxxxxxyxl=，)()()(102102xxxxxxxxxl=则=)(jixl01j=iji，且)(2xP为)(y)(y)(y)(2211002xlxlxlxP+=推而广之设 x0，x1， ，xn为【a,b】上 n+1 个节点，令).()().()().()().()()(11101110niiiiiiiniiixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl=+则=)(jixl01j=iji，称)(xli为基函数，i=0,1,2,n这时)(xf在节点 x0，x1， ，xn处的插值多项式科学
17、计算基础（课堂讲义）整理版第 29 页/共 31页页页页)()(y.)(y)(y)(1100xPxlxlxlxnnnnL=+=并称为)(xf的 lagrange 插值多项式，用)(xLn表示。例：例：例：例：求 y=cos(x)在节点 0,-1,2 处的 lagrange 插值多项式)(2xL，并求cos0.5 的近似值，其中 cos0=1，cos（-1）=0.540，cos2=-0.416解：这时 n=2,x0=0,x1=-1,x2=2,y0=1,y1=0.54,y2=-0.416)2)(1(21)20)(10()2)(1()(0+=+=xxxxxl)2(31)21)(01()2)(0()(
18、1=xxxxxl) 1(61) 12)(02() 1)(0()(2+=+=xxxxxlCosx 在 0,-1,2 处的插值多项式为) 1(069. 0)2(18. 0)2)(1(21)(2+=xxxxxxxL且 cos0.5)5 . 0(2L=0.937Th：设)( xf在【a,b】上具有 n+1 阶导数，而)(xLn为)(xf在节点 x0，x1， ，xn处的 lagrange 插值多项式，则（a，b） ，使得)(xf-)(xLn=).()()!1()(101nnxxxxxxnf+三、均差与牛顿插值（1）二个节点x0，x1由点斜式方程可知过 x0，y1的)(xf的插值公式)()()()()(0
19、010100010101xxxxxfxfyxxxxyyyxL+=+=科学计算基础（课堂讲义）整理版第 30 页/共 31页页页页记010110)()(,xxxfxfxxf=,则)(1xL为)()(,)()(101001xNxxxxfxfxL=+=（2）三个节点，x0，x1，x2记121221)()(,xxxfxfxxf=，020112210,xxxxfxxfxxxf=则，过 x0，x1，x2的插值公式)(2xL)(,)(,)()(1021001001xxxxxxxfxxxxfxfxL+=同理，设 x0，x1， ，xn为节点，而)(xf在 xi处的函数值为)(ixf，=+iiiiiiiiiiii
20、iiixxxxfxxfxxxfxxxfxfxxf212121111,)()(,2,.,2 , 1 , 01,.,2 , 1 , 0=nini011021,.,.,.,10xxxxxfxxxfnnnxxxfln=分别称为 1 阶，2 阶， n 阶均差式差商，则)(xf的插值多项式)(xPn为：+=)(,)(,)()(102100100xxxxxxxfxxxxfxfxNn)().()(,.,.1010xxxxxxxxxxfPnnn=+并称之为)(xf的 Newton 插值多项式，记作)(xNn例例例例： 求 cosx 在节点 0,-1,2 处的 Newton 插值多项式)(3xN， 其中 cos0=1，cos（-1）=0.540，cos2=-0.416解：n=3，00=x，x1=-1，x2=2科学计算基础（课堂讲义）整理版第 31 页/共 31页页页页xi)(ixf一阶均差二阶均差01-10.54046. 01154. 0,10=xxf2-0.416319. 03540. 0416. 0,21=xxf075. 02460. 0319. 0,210=xxxf故131. 0075. 0)2)(0(075. 0)0(46. 01)(22+=+=xxxxxxN
