数学的内容,方法和意义

《数学的内容,方法和意义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学的内容,方法和意义（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、 1 数学的内容、方法和意义 数学的内容、方法和意义 丘成桐 今天要讲的是数学的内容、方法和意义，这原是苏联人写的一本书的书名，和今天的演讲内容借过来作为演讲的 名称。 今天是北大百周年校庆，五四运动便是北大学生发动的。作为演讲的引子，让我们先简略地回顾一下“五四”前 后中西文化之争。十九世纪中业以后，中国对西文科技的认识，是“船竖炮利”，在屡次战争失利后，张之洞提 出了“中学为体、西学为用”的主张，即以传统儒家精神为主，加入西方的技术。到了五四运动前后便有了科玄 论战。以梁漱溟为主的一派以东方精神文明为上，捍卫儒学，以为西方文明强调用理性和知识去征服自然，缺乏 生命之道，人变成机械的奴隶；而

2、中国文化自适自足，行其中道，必能发扬光大。其时正值第一次世界大战结 束，西方哲学家罗素等对西方物质文明深恶痛绝，也主张向东方学习。另一派以胡适为首者则持相反意见，他们 以为在知识领域内科学万能，人生观由科学方法统驭，未经批判及逻辑研究的，皆不能成为知识。 科玄论战最终不了了之，并无定论。两派对近代基本科学皆无深究，也不收集数据，理论无法严格推导，最后变 得空泛。其实这便是中国传统文化之一特点。一方面极抽象，有质而无量，儒道皆云天人合一，禅宗又云不立文 字，直指心性。另一方面则极实际，庄子说“蔽于天而不知人”。古代的科学讲求实用，一切为人服务，四大发 明之一指南针、造纸、印刷术、火药莫不如此。要

3、知道西方技术之基础在科学，实际和抽象的桥梁乃是基本科 学，而基本科学的工具和语言就是数学。 历代不少科学家对数学都有极高的评价。我们引一些物理学家的话作为例子。R. Feynman 在物理定律的特性 一书中说我们所有的定律，每一条都由深奥的数学中的纯数学来叙述，为什么？我一点也不知道。E. Wigner 说数 学在自然科学中有不合常理的威力。F. Dyson 说：在物理科学史历劫不变的一项因此，就是由数学想像力得来的 关键贡献，基本物理既然由高深的数学来表示。应用物理，流体等大自然界的一切现象，只要能得到成熟的了解 时，都可以用数学来描述。写过湖滨散记的哲人梭罗也说有关真理最明晰，最美丽的陈述

4、，最终必以数学形 式展现。 其实数学家不只从自然界吸收养分，也从社会科学和工程中得到启示。人类心灵中由现象界启示而呈现美的概 论，只要能够用严谨逻辑来处理的都是数学家研究的对象。数学和其他科学不同之处是容许抽象，只要是美丽 的，就足以主宰一切，数学和文学不同之处是一切命题都可以由公认的少数公理推出。数学正式成为系统性的科 学始于古希腊的欧机里德，他的几何原本是不朽名作。明末利玛窦和徐光启把它译成中文，并指出“十三卷 中五百余题，一脉贯通，卷与卷，题与题相结倚，一先不可后，一后不可先，累累交承，渐次积累，终竟乃发奥 微之义”。复杂深奥的定理都可以由少数简明的公理推导，至此真与美得到确定的意义，水

5、乳交融，再难分开。 值得指出，欧机里德式的数学思维，直接影响了牛顿在物理上三大定律的想法，牛顿距著自然哲学的数学原 理与几何原本一脉相承。从爱因斯坦到现在的物理学家都希望完成统一场论，能用同一种原理来解释宇宙 间的一切力场。 数学的真与美，数学家的体会深刻。Sylvester 说“它们揭露或阐明的概念世界，它们导致的对至美与秩序的沉 思，它各部分的和谐关联，都是人类眼中数学最坚实的根基”。数学史家 M. Kline 说“一个精彩巧妙的证明，精 神上近乎一首诗”。当数学家吸收了自然科学的精华，就用美和逻辑来引导，将想像力发挥的淋漓尽致，创造出 连作者也惊叹不已的命题。大数学家往往有宏伟的构思，由

6、美作引导，例如 Weil 猜想促成了重整算数机何的庞大 计划，将拓扑和代数几何融入整数方程论中。由 A. Grothendieck 和 P. Deligne 完成的 Weil 猜想，可说是抽象 方法的伟大胜利。回顾数学的历史，能够将几个不同的重要观念自然融合而得出的结果，都成为数学发展的里程 碑。爱因斯坦将时间和空间的观念融合，成为近百年来物理学的基石；三年前 A. Wiles 对自守型式和 Fermat 最 后定理的研究，更是扣人心魄。数学家能够不依赖自然科学的启示得出来的成就，令人惊异，这是因为数字和空 间本身就是大自然的一部分，它们的结构也是宇宙结构的一部分。然而，我们必须紧记，大自然的

7、奥秘深不可 测，不仅仅在数字和空间而已，它的完美无处不在，数学家不能也不应该抗拒这种美。 本世纪物理学两个最主要的发现：相对论和量子力学对数学造成极大的冲击。广义相对论使微分几何学“言之有 物”，黎曼几何不再是抽象的纸上谈兵。量子场论从一开始就让数学家迷惑不已，它在数学上作用仿如魔术。例 如 Dirac 方程在几何上的应用使人难以捉摸，然而它又这么强而有力地影响着几何的发展。超对称是最近二十年 2 物理学家发展出来的观念，无论在实验或理论上都颇为诡秘，但借着超弦理论的帮助，数学家竟能解决了百多年 来悬而未决的难题。超弦理论在数学上的真实性是无可置疑的，除非造化弄人，它在物理上终会占一席位。 上

8、世纪末数学公理化运动使数学的严格性坚如盘石，数学家便以为工具已备，以后工作将无往而不利。本世纪初 Hilbert 便以为任何数学都能用一套完整的公理推导出所有的命题。但好景不常，Godel 在 931 年发表了著名的论 文“数学原理中的形式上不可断定的命题及有关系统 I”。证明了包含着通常逻辑和数论的一个系统的无矛盾 性是不能确立的。这表示 Hilbert 的想法并非是全面的，也表示科学不可能是万能的。然而由自然界产生的问 题，我们还是相信 Hilbert 的想法是基本正确的。 数学家因其品禀各异，大致可分为下列三种： （一）创造理论的数学家。这些数学家工作的模式，又可粗分为七类。 从芸芸现象

9、中窥见共性。从而提炼出一套理论，能系统地解释很多类似的问题。一个明显的例子便是上世 纪末 Lie 在观察到数学和物理中出现大量的对称后，便创造出有关微分方程的连续变换群论。李群已成为 现代数学的基本概念。 把现存理论推广或移植到其它结构上。例如将微积分由有限维空间推广到无限维空间，将微积分用到曲面 而得到连络理论等便是。当 Ricci, Christofel 等几何学家在曲面上研究与座标的选取无关的连络理论 时，他们很难想像到它在数十年后的 Yang-Mills 场论中的重要性。 用比较方法寻求不同学科的共同处而发展新的成果。例如：Weil 比较整数方程和代数几何而发展算数几 何：三十年前 L

10、anglands 结合群表示论和自守形式而提出“Langlands 纲领”，将可以交换的领域理论推 广到不可交换的领域去。 为解释新的数学现象而发展理论。例如：Gauss 发现了曲面的曲率是内蕴（即仅与其第一基本形式有关） 之后，Riemann 便由此创造了以他为名的几何学，成就了近百年来的几何的发展；H. Whitney 发现了在纤 维丛上示性类的不变性后，Pontryagin 和陈省身便将之推广到更一般的情况，陈示性类在今日已成为拓扑 和代数几何中最基本的不变量。 为解决重要问题而发展理论。例如 J. Nash 为解决一般黎曼流形等距嵌入欧氏空间而发展的隐函数定理， 日后自成学科，在微分方

11、程中用处很大。而 S. Smale 用 h-协边理论解决了五维或以上的 Poincare 猜想 后，此理论成为微分拓扑的最重要工具。 新的定理证明后，需要建立更深入的理论。如 Atiyah-Singer 指标定理，Donaldson 理论等提出后，都有 许多不同的证明。这些证明又引起重要的工作。 在研究对象上赋予新的结构。Kahler 在研究复流形时引入了后来以他为名的尺度；近年 Thurston 在研究 三维流形时，也引进了“几何化”的概念。一般而言，引进新的结构使广泛的概念得到有意义的研究方 向。有时结构之上还要再加限制，如 Kahler 流形上我们要集中精神考虑 Kahler-Einst

12、ein 尺度，这样研 究才富有成果。 （二）从现象中找寻规律的数学家。这些数学家或从事数据实验，或在自然和社会现象中发掘值得研究的问题， 凭着经验把其中精要抽出来，作有意义的猜测。如 Gauss 检视过大量质数后，提出了质数在整数中分布的定律； Pascal 和 Fermat 关于赌博中赔率的书信，为现代概率论奠下基石。五十年代期货市场刚刚兴起，Black 和 Scholes 便提出了期权定价的方程，随即广泛地应用于交易上。Scholes 亦因此而于去年获得诺贝尔的经济学奖。 这类的例子还有很多，不胜枚举。 话说回来，要作有意义的猜测并非易事，必须对面对的现象有充分的了解。以红楼梦为例，只要看

13、了前面六七十 回，就可以凭想像猜测后面大致如何。但如果我们对其中的诗词不大了解，则不能明白它的真义。也无从得到有 意义的猜测。 3 （三）解决难题的数学家。所有数学理论必须能导致某些重要问题的解决，否则这理论便是空虚无价值的。理论 的重要性必与其能解决问题的重要性成正比。一个数学难题的重要性在于由它引出的理论是否丰富。单是一个漂 亮的证明并不是数学的真谛，比如四色问题是著名的难题，但它被解决后我们得益不多，反观一些难题则如中流 砥柱，你必须将它击破，然后才能登堂入室。比如一日不能解决 Poincare 猜测，一日就不能说我们了解三维空 间！我当年解决 Calabi 猜测，所遇到的情况也类似。

14、数学家要承先启后，解掉难题是“承先”，再进一步发展理论，找寻新的问题则是“启后”。没有新的问题数学 便会死去，故此“启后”是我们数学家共同的使命。我们最终目标是用数学为基础，将整个自然科学，社会科学 和工程学融合起来。自从 A. Wiles 在 1994 年解决了 Fermat 大定理后，很多人都问这有什么用。大家都觉得 Fermat 大定理的证明是划时代的。它不仅解决了一个长达 350 年的问题，还使我们对有理数域上的椭圆曲线有了 极深的了解；它是融合两个数论的主流自守式和椭圆曲线而迸发出来的火花。值得一提的是，近十多年 来椭圆曲线在编码理论中发展迅速，而编码理论将会在电脑贸易中大派用场，其

15、潜力无可估计。 最后我们谈谈物理学家和数学家的差异。总的来说，在物理学的范畴内并没有永恒的真理，物理学家不断努力探 索，希望能找出最后大统一的基本定律，从而达到征服大自然的目的。而在数学的王国里，每一条定理都可以从 公理系统中严格推导，故此它是颠扑不破的真理。数学家以美作为主要评选标准，好的定理使我们从心灵中感受 大自然的真与美，达到“天地与我并生，万物与我为一”的悠然境界，跟物理学家要征服大自然完全不一样。 物理学家为了捕捉真理，往往在思维上不断跳跃，虽说是不严格和容易犯错，但他们欲能把自然现象看得更透更 远，这是我们十分钦佩的。毕竟数学家要小心奕奕、步步为营，花时间把所有可能的错误都去掉，

16、故此这两种做 法是互为表里，缺一不可的。 在传统文化中，我们说立德，但即从不讨论如何求真，不求真，则何以立德？我们又说“温柔敦厚，诗教也”， 但只是含糊的说美，数学兼讲真美，是中华民族需要的基本科学。 陈省身: 做“好”的数学把数学做得最好 陈省身: 做“好”的数学把数学做得最好 funfunle 2006 年 4 月 05 日 11:24:27 于 万维读者网络教育与学术 数学有“好坏”之分，许多人不理解。但是，陈省身语重心长地多次希望年轻学子要选好方向，做“好”的数 学。1992 年，陈省身在庆祝中国国家自然科学基金委员会成立 10 周年的学术讨论会上，详细论述了这一问题。他 说：一个数学家应当了解什么是好的数学，什么是不好的或不太好的数学。有些数学是有开创性的，有发展前途 的，这就是好的数学。还有一些数学也蛮有意思，却渐渐地变成一种游戏了。 大家也许知道有个拿破仑定理。它是说，任何一个三角形，各边上各作等边三角形。然后将这三个三角形的重心 联结起来，一定是一个等边三角形。这个数学就不是好的数学，因为它难以有进