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1、1 习 题 2.1 2. 长为 L，均匀细杆，0=x端固定，在重力作用下，垂直悬挂，横 向拉它一下，使之作微小的横振动。试导出振动方程。 解：在 t=0 时，杆被均匀拉长，所以有： 0 |1 t b ukxx L = = + 在 t=0 时，各点的速度：0 |0 tt u = = ，初始条件已全部写出。由 于 杆 x=L 端 为 自 由 振 动 ， 故 |0 xx L u = = 。 在 x=0 端 ， 有 0 |0 x u = = 。综上所述，定解条件为： 0 0 0 |0 |1 |0 |0 tt t x xxL u b uk xx L u u = = = = = =+ = = 习 题 2.
2、2 1.一根半径为 r，密度为，比热为 c，热传导系数为 k 的匀质圆杆， 如同截面上的温度相同，其侧面与温度为 1 u 的介质发生热交换，且热 交换的系数为 1 k 。试导出杆上温度 u 满足的方程。 解：考虑在时间间隔 t 到 t+dt 内，细杆 x 到 x+dx 微元段热量流动情 2 况。由热平衡方程可知，引起温度变化所吸取的热量dQ 为： ()() 2 2 , t dQcr dx u x tdtu x t cr udxdt =+ = 另一方面，由热传导理论的 Fourier 实验定律知，在 dt 时间内，沿 杆正向流过 x 截面的热量为： () 2 11 , x dQk ux tr d
3、t= 同理，在dt时间内，沿杆正向流过xdx+截面的热量为： () 2 21 , x dQkuxdx tr dt=+ 所以，在 dt 时间段内，流入微元段x,x+dx的热量为： 1 12 2 1 d xx dQdQQ kr u dxdt = = 由热平衡方程知道， 1 22 1 1 d txx txx QdQ cr u dxdtkr u dxdt k uu c = = = 上式即为u满足的方程。 习 题 2.3 3 4.由静电场 Gauss 定理 0 1 SV EdSdV = ，求证： 0 E = ，并由此 导出静电势 u 所满足的 Poisson 方程。 解：由 Gauss 公式得： SV
4、EdSEdV= 式 1 又有： 0 1 SV EdSdV = 式 2 联立 1、2 两式得： 0 E = 式 3 因为静电场存在场势函数：E u= 式 4 将 4 式带入 3 式中得： () 0 u = 所以有： 2 0 u = 式 5 习 题 2.4 2. (2) 032=+ yyxyxx uuu 解：由题意可知： =2 24(-3)=160 =双曲型 03 d d 2 d d 2 = x y x y = 3 d d = x y 或 -1 4 令 += = yx yx 3 则 = = 11 13 ? ? ? ? yx yx Q = = = = 08 80 11 13 31 11 11 13
5、2212 1211 2212 1211 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? T Q aa aa Q aa aa 00b0b 21 =fccLcL? )()3()()(016yxgyxfgfuu+=+= ， (5) 031616=+ yyxyxx uuu 解：由题意可知： =16 24163=640 =双曲型 03 d d 16 d d 16 2 =+ x y x y = 4 3 d d = x y 或 4 1 令 = = yx yx 4 43 则 = = 41 43 ? ? ? ? yx yx Q = = = = 032 320 44 13 38 816 41 43 2212 12
6、11 2212 1211 ， ，。， ， 。， ， ，。 ， ，。 ， ， ， ， T Q aa aa Q aa aa 00b0b 21 =fccLcL? )4()43()()(064yxgyxfgfuu+=+= ? 习 题 2.6 5 (3)证明公式： () ( ) ()0 x axa a = 解： ( )( ) ()( ) 0,0 ; ,0 x xx x axbx = =+ = 满足 其中 b 为待定系数。由： ()( ) ( ) 11 t ax t ax dxt d a t dt aa + = + = 所以有： ()( ) 11 ,baxx aa = 习 题 3.1 3. (4) =+=
7、 =+ = 00 0 0 2 Lxx hXXX XX ， 解 ： 由 分 析 知 道 ，0=时 方 程 没 有 非 零 解 。 当0时 ， cossinXAxBx=+，代入边界条件得： 6 () 0 cossin0 ,0 cossin=0 tan, tan = sin A BLhL A B LhL L h L h x = += + = = 不 能 同 时 为 所 以 方 程 的 固 有 值 为 方 程的 根 。 固 有 函 数 为 XB 5. 一根均匀弦两端分别在 x=0 及 x=L 处固定，设初始速度为零，初 始时刻弦的形状为一抛物线，抛物线的顶点为（ 2 L ，h） 。求弦振动的 位移。
8、解：设位移函数为(),u x t，他是下列定解问题的解： 2 0 0t0 , 0,0,0 4 10, ttxx xx L tt ua u uuxLt hx uxu LL = = = = =+ = 1 21 ( )lnln rr u rr = 习题3.4 4. 设为长方体的边界，求长方体内有初始扰动的波的传播，即求 解如下定解问题： () = = = = = 22 10 10 22 )( , 0 0,0, xLuu uuu tLxubuau t Lxxx xxt ? ? 其中，b和u0是常数。 解：由于边值问题为非齐次的，首先应该把边界条件齐次化。 令)(),(),(xWtxvtxu+=代入波动
9、方程得： )()( 22 WvbWvav xxxxt += 为使方程与边界条件同时齐次化，)(xW需满足： = = = ， 10 2 , 0 0 uWW Wa Lxxx xx 1 )(uxW= ),(txv定解问题为： = = = = = ， ， 1 22 10 0 22 )( 0, 0 uxLuv vv vbvav t Lxxx xxt 由分离变量得： 15 )()(),(xXtTtxv= 这样， = = X XbXa T T 2 2 固有值为 22 2 2 4 ) 12( b L n n + + = 固有函数为 x L n X n 2 12 cos + = = + = 0 1 2 12 c
10、os n n x L n fu 其中， + = + = L n n n bu xdx L n u L f 0 2 1 1 ) 12( 4 ) 1( 2 12 cos 2 = = = = + + + = + 000 2 1222 0 2 12 cos 2 4 ) 1( 2 12 cos 2 12 cos) 2 12 ( 2 12 cos nnn n nn n n x L n L bu x L n Tbx L n L n Ta x L n T 比较两边系数得： ) 12( 4 ) 1( 4 ) 12( 2 1222 2 2 2 + + + = n bu TbTb L n aT n nnn 同时，由
11、边界条件有： )( 2 12 cos)0( 22 2 1 0 Lx L u x L n T n n = + = 得到： 16 33 1 ) 12( ) 1(32 )0( + = n u T n n 求得： ) 12(4)12( ) 1( 1 16 ) 12( 32 ) 1()( 32222 4 ) 12( 1 22 33 1 4 ) 12( 2 222 2 2 222 2 anLbn e uLa n u etT nt L an b n t L an b n + + + = + + + + 所以 x L n e anLbn uLa x L n e n u ee ee u txvxWtxu t L an b n n t L an b n n x a b x a b L a b L a b 2 ) 12( cos1 ) 12(4)12( ) 1(16 2 ) 12( cos ) 12( 32 ) 1( ),()(),( 2 222 2 2 222 2 4 ) 12( 0 32222 1 22 4 ) 12( 0 33 11 + + + + + + + + = += + + = + + =
