归纳逻辑与代数系统初步

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1、归纳逻辑 与代数系统 初步 英文姓名： Logan.Lau 中文姓名：刘冠 单位 ：学生 邮编 ： 516000 地址 ：惠州学院数学系 电话 ： 13790753620 一 . 引言 我们知道，在十九世纪伽罗华理论彻底解决了高次方程的可解性问题，但由于 高次方程解结构的复杂性，以至于高次方程的代数解没有多大的实际作用，而且亦缺乏数学美感 。 群 论 诞生的最大价值不在于解高次方程，而在于扭转了代数学的研究方向从而使代数学转入了对代数结构的研究。 纵贯代数学乃至整个数学发展史可知，高次方程的可解性问题，在十九世纪以前一直是代数学核心内容，其时间跨度也接近 1000 年。在欧洲文艺复兴之前，由于

2、亚里士多德的逻辑体系和欧几里得几何原本的演绎体系 对人们思维方式根深蒂固的影响，以至于三次方程长期的不到解决。正值欧洲文艺复兴之时，意大利数学家卡丹解决了三次方程，但其推理方式并不是演绎推理，而是通过解大量特殊的三次方程归纳出三次方程的一般解。但这一步已经是很大的飞跃 ，以至于用同样的推理方式很快地归纳出四次方程的一般根式解 。 但自四次方程被解决后，五次方程的根式解一直得不到解决，这时人们意识到五次方程的不可解性，其原因是现有“运算法则”不够用了，必须得对 “运算法则”进行分类，对这方面贡献最大数学家就是阿贝尔和伽罗华 。 伽罗华认为要解五次方程， 现有的数学运算不够用， 必须的引进有别于

3、的运算法则，伽罗华的天才创举使代数学进入崭新的领域 。 纵观数学史，高次方程可解性问题虽然催生了群论，但深入了解发现伽罗华的天才发现并不是无规可循 。 伽罗华概括了高斯，欧拉的见解，特别是继承了拉格朗日预解式思想，从而发明了全新的数学工具 群论，在其发现过程群论起着最关键 的就是归纳 逻辑 这个推理方式不断升华的过程 。归纳逻辑（具有不完备性）已成为现代逻辑学中极为重要的推理方式，特别是上世纪哥德尔不完备定理的问世极大地震撼了数学界乃至整个科学界，数理逻辑 对 现代科学的 研究方式 产生了巨大 的影响，包括勒贝格的测度论和非欧几何及其催生的爱因斯坦的相对论等一系列以归纳为核心的逻辑体系。居于科

4、学上这么多的重要性，很有必要深刻了解一下归纳逻辑。 二归纳逻辑的分类 归纳逻辑按其发展的不同阶段 ,又可以分为古典的归纳逻辑和现代的归纳逻辑两大类型 ，在这里我们只简要介绍古典类型。 枚举归纳法 从枚举一类事物中的若干分子具有某种性质得出这类事物的所有分子都具有该性质的逻辑方法，就叫枚举归纳法。它的模式是： S1 是 P S2 是 P Si 是 P （ S1,S2,Si 都是 S 类中的全部分子） 所有 S 是 P 枚举归纳法只依靠所枚举的事例的数量，因此，它所得到的结论的可靠程度较低，一旦遇到一个反例，结论就会被推翻。但是，枚举归纳法仍有一定的作用，通过枚举归纳法得到的结论可作为进一步研究的

5、假说。 消去归纳法 F.培根所提出的 “三表法 ”和 “排斥法 ”相结合的归纳法，以及 密尔 提出的求因果联系的契合法、差异法（ 见密尔求因果五法 ），都是消去归纳法。它们的共同特征是：根据所研究的对象有选择地安排事例或实验 ,然后通过比较消去某些假说 ,得到比较可靠的结论。以下所说的两种消去归纳法是用条件句的术语对密尔方法的改进。 假说方法 假说方法根据一组证据提出一个或一些假说，然后从某一特定的假说演绎出一些结论，这可以写成蕴涵式： AB，接着检验这些结论。如果检验的结果是：塡 B，根据否定式推理： 就要否定这个假说。如果检验的结果是 B 真 ,就暂时接受这个假说。这里应用的是以下形式的归

6、纳推理： 接受或排除一个假说的过程是很复杂的，往往不能一次完成。有时，一个假说可以解释一些现象，但不能解释另一些现象，在这样的情况下，就不能简单地肯定或否定这个假说。一般说来 ,在两个或两个以上的假说中 ,能解释的现象数量较大或最大的假说与不能解释的现象数量之差较 大或最大的假说 ,是可以暂时接受的 ,它们具有较高程度的可靠性。应用假说方法的过程是一个不断地提出、检验、修改、排除或确定假说过程，在这个过程中，需要应用归纳，也需要应用演绎。例如，科学史上关于光的本性的两个著名假说 “微粒说 ”和 “波动说 ”，它们都各自能解释一些光的现象，但又不能完全解释另一些光的现象，只具有一定程度的真实性，

7、后来终于被 “波粒二象说 ”（见波粒二象性）所取代。 注 1 ：要了解更详细的归纳逻辑 的 分类可翻阅 王浩 数理逻辑 。 三 .集合论基本知识 为了了解归纳逻辑的运用，需要下面一些基本的集合论知识 ： 1.对等，基数，可数集的概念 。 1 设 BA, 两个非空集合，如果存在 A到 B的一一映照 ，则称 A和 B对等， 记为 BA 。 2 凡和全体自然数所成集合 N 对等的集合称为可数集合。 3 基数的概念可以看作有限集合中所含元素个数的推广，要对基数下一个精确地定义是一件相当复杂的事情。 2.定理 1 可数集合的任何无限子集必为可数集合，从而可数集合的任何子集或者是有限集或者是可数集。 2

8、2 设 A是可数集， B是有限或者可数集，则 BA 是可数集。 3 设 i 是有限集或者可数集，则 ni i1也是有限集或者可数集。但如果至少有一个 i 不是有限集，则 ni i1必是可数集。 4 设 i 都是可数集，则 1i i 也是可数集。 5 有理数全体成一个可数集合。 6 若 A中每个元素由 N个互相独立的记号所决定，各记号跑遍一个可数集。 ，则 A为可数集。 注 1 ：详细定义可翻阅康托尔集合论 注 2：详细证明过程可翻阅康托尔集合论 四 .用归纳逻辑解二次方程 我们知道 02 baxx 类方程已有公式法解决，现在我们抛开演绎逻辑，用归纳逻辑来解二次方程。 观察 02 baxx ，为

9、方便讨论设 Qba , ，可 采用枚举归纳 分为三类： 1 . 1212 I, 设这种解得形式为AxQAAx 2 . 2I)(,0 ，设这种解得形式为QKKxQNMNxMx 3 . 32 I,0 待定为，这种解的形式未知，在有理数域内不可约qpqpxx 观察上面三式方程系数，首项系数为 1 不变 ，所以我们不考虑首项系数。在 1 中系数组成的点为 A,0 ，在 2 中系数组成的点为 MNNM , ，在 3 中系数组成的点为 qp, 由三中 定理 6 知 所有点 A,0 ， MNNM , ， qp, 分别组 成 一 个 可 数 集 合 ， 依 次 记 为 3,21, HHH ， 所以 知321

10、HHH ，所以 1 2 3 中的解在有理数内是一样多的 ， 由对等的概念知存在一一映射使 123 ,III ,虽然此种一一映射必定存在，但未必可以用 这五种符号将这种一一映射表示出。但由于是二次方程 ，用这五种符号是 可以将这个 一一映射表示出来， 由于 与，与 为互逆运算。 我们只需讨论两者当中一个即可， 现在综合采用枚举归纳和假说归纳来试探出其映射表达式 的最简单几种类型 ： 这里我们采取先枚举后假设 ， 最后再消去的归纳法 。 下面是枚举最基本的几种类型，更为复杂的也是建立在以这几种类型为基础上的。 1 . 123 III 2 . 123 III 3 . 113 III 4 . 113

11、III 将 1 代 入 原 方 程 得： 02 21212 KAbKAaKA ，QbaKA , ，故得： 只 解 一 次 方 程020212KaAaKbKA 2444,22122 baaxbaAaK （保留） 将 2 代入原方程得： 0212 bKaAAK00 Ka 或，这与条件矛盾。 即这种形式的解不存在 ，同理 4 的形式解也不存在 （消去） 。 再来看 3 ，将其代入原方程得： 02 22112122112121 bAAaAAAA得：02022112122112121AAaAAbAA，显然要解这个方程组比解原来的二次方程还要更复杂，故这种解是无效的 （消去） 。 综上所述，只有第一类符合

12、要求。所以概括起来起来，二次方程的根式解就是： 表示两个值2121224 Abaax五 .归纳逻辑解三次方程 为了方便讨论，必须得定义一个数域。 之后 ， 便会发现数域概念 的 出现 具有 必然性。集合 QAAAxxQ in 22 12 上述 iA个数可推广为可数个 ，容易验证这个集合关于普通乘法和普通加法作成一个域。下面分四步证明 ： 1 2Q 至少包含一个不等于零的元，这是显然的； 2 2Q 有一个单位元 1,这也是显然的 ; 3 2Q 的每一个不等于零的元 22 1 nAAx ， 都 有 一 个 逆 元22 11 1nAAx ,将其分母有理化容易验证22 12211 1 mnBBAAx

13、其中 NnmQBA ii , 证明略，即有 21 Qx ； 4 显然在 2Q 中任意两元素可交换。 综上所述， 2Q 作成一个域 。同理， 3Q 亦作成一个域。 现在我们来解三次方程： 223 ,0 Qcbacbxaxx 为了计算和讨论的方便，我们利用线性变换 3ayx 将 223 ,0 Qcbacbxaxx 平移为： 23 ,0 Qqpqpyy 其中 cabaqabp 3272,332观察 03 qpxx ，为方便讨论设 2, Qqp ，可采用枚举归纳分为四类： 1 . 13123 I, 设这种解得形式为AxQAAx 2 . 222,(,0IQKKxQLNMLxNxMx设这种解的形式为3 .

14、 322121222,24,0IQCBCBxGFFxQGFEGFxxEx设这种解的形式为4 . 423I,0定为这种解的形式未知，待，内不可约在 QQPQPxx 观察上面四式发现 23 II 观察上面三式方程系数，首项系数为 1 不变，所以我们不考虑首项系数。在 1 中系数组成的点为 A,0,0 ，在 2 中系数组成的点为 M N LNLMLMNLNM , ， 在 3 中系数组成的点为 EGGEFFE , ， 在 4 中系数组成的点为 QP,0 。 由三中定理 6 知 所 有 点 A,0,0 ， M N LNLMLMNLNM , ， EGGEFFE , ， QP,0 分别组成一个可数集合，依次记为 43,21 , HHHH ，所以知 4321 HHHH ，所以 1 2