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1、三年级奥数 鸡兔同笼 例题及答案 page 1 of 13 三年级奥数 5-0 鸡兔同笼问题例题及答案 三年级奥数 5-0 鸡兔同笼问题例题及答案 一、鸡兔同笼 这个问题， 是我国古代著名趣题之一 大约在1500年前， 孙子算经 中就记载了这个有趣的问题 书 中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是： 有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚求笼中各有几只鸡和兔？ 你会解答这个问题吗？你想知道孙子算经中是如何解答这个问题的吗？ 二、解鸡兔同笼的基本步骤 解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变
2、成了“独脚鸡”，每只兔就变 成了“双脚兔”这样，鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数 就比头的总数多1因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即473512=（只）显 然，鸡的只数就是351223=（只）了 这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已除此之外， “鸡兔同笼”问题的 经典思路“假设法” 假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做 比较，做差除二兔找到 解鸡兔同笼问题的基本关系式是： 如果假设全是兔，那么则有： 鸡数=（每只兔子脚数鸡兔总数-实际脚数）（每只兔子脚数-每只
3、鸡的脚数） 兔数=鸡兔总数-鸡数 如果假设全是鸡，那么就有： 兔数=（实际脚数-每只鸡脚数鸡兔总数）（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 鸡数=鸡兔总数-兔数 当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的 2 倍 当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的 2 倍 当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的 2 倍 当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的 2 倍 在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程，方程 等专题中也都会接触到假设法 板块一、两个对象的“鸡兔同笼” 【例【例 1】 】 鸡兔同笼，头共鸡兔同笼，头共46，足共，足共128，鸡兔各几只？ 【解析】 ，鸡兔各几只？ 【解析】
4、 假设46只都是兔，一共应有446184=只脚，这和已知的128只脚相比多了18412856=只脚， 这是因为我们把鸡当成了兔子，如果把1只鸡当成1只兔，就要比实际多422=（只）脚，那么 56只脚是我们把56228=只鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是28，兔的只数是462818= （只） 当然，这里我们也可以假设46只全是鸡！鼓励学生从两个方面假设解题，更深一步理解 假设法 【巩固】 点点家养了一些鸡和兔子，同时养在一个笼子里，点点数了数，它们共有【巩固】 点点家养了一些鸡和兔子，同时养在一个笼子里，点点数了数，它们共有35个头，个头，94只脚问： 点点家养的鸡和兔各有多少只？ 【解析】 只脚
5、问： 点点家养的鸡和兔各有多少只？ 【解析】 方法一：我们假设，每只鸡都是“金鸡独立” ，一只脚站着；而每只兔子都是两条后腿，像人一 样用两只脚站着现在，地面上出现的脚是总数的一半，也就是94247=(只)在47 这个数中，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次，因此从47减去总头数35， 剩下的就是兔子头数，473512=(只)，所以有12只兔子，有351223=(只)鸡 方法二：假设35只都是兔子，那么就有354140=(只)脚，比94只脚多了1409446=(只)每 只鸡比兔子少422=(只)脚，那么共有鸡46223=(只) 方法三：还可以假设35只都是鸡，那么共有脚23570=(只
6、)，比94只脚少了947024=(只) 脚，每只鸡比兔子少422=(只)脚，那么共有兔子24212=(只) 方法一可以归结为：总脚数 2 总头数=兔子数能够这样算，主要是利用了兔和鸡的脚数分别 三年级奥数 鸡兔同笼 例题及答案 page 2 of 13 为4和2，而且4是2的2倍 方法二说明假设的35只兔子中有23只不是兔子，而是鸡由此可以列出公式： 鸡数=(兔脚数总头数总脚数) (兔脚数鸡脚数) 方法三说明假设的35只鸡中有12只是兔由此可以列出公式： 兔数=(总脚数鸡脚数总头数) (兔脚数鸡脚数) 【巩固】 鸡兔共有 【巩固】 鸡兔共有45只， 关在同一个笼子中 每只鸡有两条腿， 每只兔子
7、有四条腿， 笼中共有只， 关在同一个笼子中 每只鸡有两条腿， 每只兔子有四条腿， 笼中共有100条腿 试 计算，笼中有鸡多少只？兔子多少只？ 条腿 试 计算，笼中有鸡多少只？兔子多少只？ 【解析】 【解析】 假设法：若假设所有的45只动物都是兔子，那么一共应该有445180=(条)腿，比实际多算 18010080=(条)腿而每将一只鸡算做一只兔子会多算两条腿，所以有80240=(只)鸡被当 作了兔子，所以共有40只鸡，有45405=(只)兔子 注意：假设为兔子时，按照“多算的腿数”计算出的是鸡的数目；假设为鸡时，按照“少算的 腿数”计算出的是兔子的数目同学们可以自己来做一下当假设为鸡时的算法
8、“金鸡独立”法（砍足法） ： 假设所有的动物都只用一半的腿站立，这样就出现了鸡都变成了“金鸡独立” ，而兔子们都只 用两条腿站立的“奇观” 这样就有一个好处：鸡的腿数和头数一样多了；而每只兔子的腿数则 会比头数多1因此，在腿的数目都变成原来的一半的时候，腿数比头数多多少，就有多少只 兔子原来有100只腿，让兔子都抬起两只腿，鸡抬起一只腿，则此时笼中有100250=(条) 腿，比头数多50455=，所以有5只兔子，另外40只是鸡 【巩固】 动物园里有一群鸵鸟和大象,它们共有 【巩固】 动物园里有一群鸵鸟和大象,它们共有36只眼睛和只眼睛和52只脚，问：鸵鸟和大象各有多少？ 【解析】 只脚，问：鸵
9、鸟和大象各有多少？ 【解析】 由于每只动物有两只眼睛，由题意知：动物园里鸵鸟和大象的总数为：36218=，假设鸵鸟和 大象一样也有4只脚，则应该有(4 18 )72=只脚，多了(7252 )20=只脚，由假设引起的差值： 422=，则鸵鸟数为20210=（只） ，大象数为18108=（头） 【巩固】 鸡兔同笼，上有【巩固】 鸡兔同笼，上有35头，下有头，下有94足，求笼中鸡兔各几只？ 【解析】 足，求笼中鸡兔各几只？ 【解析】 有兔(94352)(42)12= (只)，有鸡351223= (只) 【例【例 2】 】 动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟，共有脚动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟，共有脚208
10、只，鸵鸟比梅花鹿多只，鸵鸟比梅花鹿多20只，梅花鹿和鸵鸟各有多 少只？ 【解析】 只，梅花鹿和鸵鸟各有多 少只？ 【解析】 假设梅花鹿和鸵鸟的只数相同，则从总脚数中减去鸵鸟多的20只的脚数得：208202168= (只)这168只脚是梅花鹿的脚数和鸵鸟的脚数(注意此时梅花鹿和鸵鸟的只数相同)脚数的和， 一只梅花鹿和一只鸵鸟的脚数和是：246+=(只)，所以梅花鹿的只数是：168628=(只)，从 而鸵鸟的只数是：282048+=(只) （本题也可给学生讲成“捆绑法” ，一鸡一兔一组，这个怎么 分组时有倍数关系得到的） 【巩固】 一个养殖园内，鸡比兔多【巩固】 一个养殖园内，鸡比兔多36只，共有
11、脚只，共有脚792只，鸡兔各几只？ 【解析】 只，鸡兔各几只？ 【解析】 已知鸡比兔多36只，如果把多的36只鸡拿走，剩下的鸡兔只数就相等了，拿走的36只鸡有 23672=（只）脚，可知现在剩下79272720=（只）脚，一只鸡与一只兔有6只脚，那么兔 有7206120=（只） ，鸡有12036156+=（只） 【巩固】 鸡兔同笼，鸡、兔共有【巩固】 鸡兔同笼，鸡、兔共有107只，兔的脚数比鸡的脚数多只，兔的脚数比鸡的脚数多56只，问鸡、兔各多少只？ 【解析】 只，问鸡、兔各多少只？ 【解析】 这道例题和前面的例题有所不同，前面的题是已知头数之和和脚数之和求各有几只，而这道题是 已知头数之和和
12、脚数之差，这样就比前面的例题增加了一点难度我们用两种方法来解这道题 （方法一）考虑如果补上鸡脚少的56只的话，那么就要增加56228=（只）鸡这样一来，鸡、 兔共有10728135+=（只） ，这时鸡脚、兔脚一样多 已知一只鸡的脚数是一只兔的一半，而现在鸡脚、兔脚相同，可知鸡的只数是兔的2倍，根据和 三年级奥数 鸡兔同笼 例题及答案 page 3 of 13 倍问题有： 兔有：135(21)45+=（只） 鸡有：135452862=（只）或者1074562=（只） （方法二）不妨假设107只都是兔，没有鸡，那么就有兔脚：1074428=（只） ，而鸡的脚数为 零 这样兔脚比鸡脚多428只， 而
13、实际上只多56只， 这说明假设的兔脚比鸡脚多的数比实际上多： 42856372=（只） 现在以鸡换兔，每换一只，兔脚减少4只，鸡脚增加2只，即兔脚与鸡脚的 总数差就会减少426+=（只） 鸡的只数：372662=（只） 兔的只数：1076245=（只） 【巩固】 鸡、兔共【巩固】 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多只，鸡脚比兔脚多20只.问：鸡、兔各多少只? 【解析】 只.问：鸡、兔各多少只? 【解析】 假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零.这样鸡脚比兔脚多200只， 而实际上只多20只， 这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多20020180=(只).现在以兔换 鸡，
14、每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少426+=(只)， 而180630=，因此有兔子30只，鸡1003070=(只). 【巩固】 鸡、兔共【巩固】 鸡、兔共60只，鸡脚比兔脚多只，鸡脚比兔脚多60只问：鸡、兔各多少只？ 【解析】 只问：鸡、兔各多少只？ 【解析】 假设60只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚120只，而兔的脚数为零这样鸡脚比兔脚多120只， 而实际上只多60只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多1206060=(只)现在以兔换 鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少426+=(只)， 而60610=，因此有兔子10
15、只，鸡601050=(只) 【巩固】 鸡、兔同笼，鸡比兔多【巩固】 鸡、兔同笼，鸡比兔多26只，足数共只，足数共274只，问鸡、兔各几只？ 【解析】 只，问鸡、兔各几只？ 【解析】 这道例题是已知鸡、兔的脚数和，鸡比兔多的只数，求鸡、兔各几只我们假设鸡与兔只数一样 多，那么现在它们的足数一共有：274226222=（只） ，每一对鸡、兔共有足：246+=（只） ， 鸡兔共有对数（也就是兔子的只数） ：222637=（对） ，则鸡有372663+=（只） 【巩固】 鸡与兔共 100 只,鸡的脚数比兔的脚数少 28.问鸡与兔各几只 ？ 【解析】 【巩固】 鸡与兔共 100 只,鸡的脚数比兔的脚数少
16、 28.问鸡与兔各几只 ？ 【解析】 解一:假如再补上 28 只鸡脚,也就是再有鸡 282=14(只),鸡与兔脚数就相等,兔的脚是鸡 的脚 42=2(倍),于是鸡的只数是兔的只数的 2 倍.兔的只数是 (100+282)(2+1)=38(只). 鸡是 100-38=62(只). 当然也可以去掉兔 284=7(只).兔的只数是 (100-284)(2+1)+7=38(只). 也可以用任意假设一个数的办法. 解二:假设有 50 只鸡,就有兔 100-50=50(只).此时脚数之差是 450-250=100, 比 28 多了 72.就说明假设的兔数多了(鸡数少了).为了保持总数是 100, 一只兔换成一只鸡,少了 4 只兔脚,多了 2 只鸡脚,相差为 6 只(千万注意,不是 2
