《数学分析 第13章_多变量函数的连续性复习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学分析 第13章_多变量函数的连续性复习（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 多变量函数的极限与连续性主要知识点、 结论、 典型例题多变量函数的极限与连续性主要知识点、 结论、 典型例题 . 1. n R中集合的基本概念和性质中集合的基本概念和性质 定义定义 1.1 设 n ER，( ),0, r AErBAE ，则 A 为 E 的内点。E 的内点的集合记为 0 E,若 0 EE=，称 E 为开集。 定理定理 1.1 对于任何集合 E， 0 E为开集. 定理定理 1.2 开集有如下运算性质： 1) , n R为开集 2) 设,EI 为开集，则 I E 为开集,这里 I 为指标集合. 3) 设 ,1,2,. i Ein=为开集，则 1 n i i E = 为开集。
2、定义定义 1.2 设, nCn ERERE=为 E 的补集。 由定义由定义 1.2，有，有 , nCn EREER=。 定理定理 1.3 假设为指标集合, 则下面结论成立. 1.;2. cc cc EEEE = 定义定义 1.3 设, nC ERE为开集，则称 E 为闭集。 定理定理 1.4 1) 设,EI 为闭集，则 I E 为闭集。 2) 设 ,1,2,. i Ein=为闭集，则 1 n i i E = 为闭集。 定义定义 1.4 （聚点）, nn ERAR若对于任意0r ，总有 r BA 中有 E 中的点，则 A 为 E 的聚点。 定义定义 1.5 集合 E 的所有聚点的集合为导集,记为
3、 . E 定理定理 1.6 E 为闭集的充分必要条件 EE。 定义定义 1.6 定义集合的外点和边界：点集合 n ER，( ) 0 c E中的点为 E 的外点，E 的外点的 全体为 E 的外部，既不是 E 的外点，也不是 E 的内点，称为 E 的边界，记为E 2 对于任何集合 E，显然都有： () 0 0nc REEE= 定义定义 1.7 若非空的开集 E 是连通的,即 E 中任意两点之间可以有一条完全含于 E 的不间断曲 线连接,则称 E 为开区域. 定义定义 1.8 开区域连同边界所组成的区域为闭区域. 典型例题典型例题 例 1：判断下列点集是开集，闭集，有界集，区域，导集，边界 ) ()
4、 () () () 1),; 2),0 ; 3),0 ; 4),; 1 5),sin,0 Ea bc d Ex y xy Ex y xy Ex y x y Ex yyx x = = = = = 均为整数 解: 1) 即不是开集,也不是闭集,有界集,是区域,边界是矩形的四条边. ,Ea bc d=; 2) E 为开集,无界集,不是区域, 2 ER=,边界0,0xy=或者; 3) E 不是开集, 是闭集, 无界集合,不是区域, EE=, 边界EE=; 4) E 不是开集, 是闭集, E为空集, EE= ; x y o 图 2.3 例 1 中 4)的示意图 5) E 不是开集, 不是闭集, 无界,不
5、是区域, 3 图 2.4 例 1 中 4)的示意图 ()() 1 ,sin,00, 11Ex yyxxy x = x,y ()() 1 ,sin,00, 11Ex yyxxy x = x,y 2 n R中的点列的极限中的点列的极限 定义定义 2.1 设( ),0,0 n r ERrEB ,也即是 E 集合中的向量都属于( )0 r B，则称集合 E 有界. 定义定义 2.2 设,1,2,3,. n i AXR i=， 若0,0, m NNNmNXA 因此 11 1 , m mkkk k XXXX + = 有： ()fXl 有 3) 函数极限的保序性：若 ()lim,0, XA fXl l =0
6、,XBA 有f(x)0; 4) 函数极限的保序性：若0,XBA 有f(x)0,并且()lim XA fXl =， 则0l 。 定理定理 3.2 假设假设()()lim, lim, XAXA fXlg Xm =则由下面结论成立： 1) ()()()lim XA fXg Xlm += +； 2) () ()()lim; XA fX g Xlm =； 3) () () lim,0 XA fXl m g Xm = 。 定理定理 3.3 （夹逼定理）（夹逼定理） 假设0,XBA 有f(x) h(x) g(x)，并且 ()()lim, lim, XAXA fXlg Xl =则lim xA h(x)=l。
7、定理定理 3.4（归结原理）假设（归结原理）假设 n DR，:fDR， AD，()lim XA fXl = D 中任何收 敛于 A 的点列，且,1,2,. i XA I=若lim, i i XA =都有：()lim i i fXl = 定理定理 3.5（柯西定理）（柯西定理） n DR，:fDR， AD，()lim XA f Xl =的充要条件 1212 0,0,0,0XXDXAXA 有： ()() 0 fXf P这里仅与有关 ()() 121212 ,XXD XXfXfX ()() 1212120 , nnnnnnn XXD XXfXfX与假设矛盾。 反之，f在 E 上一致连续，则 ( )(
8、)() 121212 0,0,XXD XXfXfX f在() 00 ,xy连续，由局部保号性， ()()()()()()() 0000 ,BxyxBxyf x y，故 E 为开集。 2）任取() 00 ,xyE则()()() 000 ,lim, kkkkkk k pxyEpxypxy =，又由于 ()() 0 , kk f xyfp ，因此() 000 ,pxyE，因此 E 为闭集。 例 7：设 , kk XY为 n R的两个柯西序列，则数列 kk XY收敛。 11 证明：利用不等式：abab，有： kkmmkKmmkmkm XYXYXYXYXXYY+ 再利用柯西序列的定义可以证明。 例 7：设(),f x y定义在 ,a bc d，且连续，( )1,2,3, k xk=在, a b上一致连 续， 且( ),1,2,3 k cxd k=， 证明：( )( )(),1,2,3,. kk Fxf xxk=在, a b 上一致收敛。 证明：因为(),f x y在 ,a bc d连续，故一致收敛，因此 ( ) ()() 121212 0,0,XXa bc dXXfXfX 因此 12 min, 22 = (),x yD， () ()()() 22 0000 ,x yxyxxyy=+ ()() 00 ,f x yf xy。得证。 12
