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1、A题 证券投资决策二次规划模型摘要证券投资者最关心的问题是投资收益的高低及风险的大小。由于投资收益受证券市场波动影响，因而可以将其看作一个随机变量。我们可以用一定时期内某种证券预期收益期望来衡量证券投资获利能力。证券的风险可以用该种证券投资收益方差（收益的不确定性）来度量，方差越小证券投资的风险越小。 降低投资风险获得尽量高收益的有效途径是组合投资方式，即投资一种或以上证券，然后资金按不同比例分配到各种不同的证券上，以达到分散风险的目的，即使收益方差最小。在统计学与概率论中,协方差矩阵是一个矩阵，其每个元素是各个向量元素之间的方差,是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。假设 X 是以 n
2、 个标量随机变量组成的列向量，并且k 是其第k个元素的期望值, 即, k = E(Xk), 然后,协方差矩阵被定义为： =E(X-EX)(X-EX)T=(如下图) 矩阵中的第(i,j)个元素是Xi与Xj的协方差. 这个概念是对于标量随机变量方差的一般化推广，即其形式如下：又因11，22nn是对自己的协方差，即他本身就是方差，即若只考虑单个组合的情况下，其自身方差就可以有表中得出来。根据多种证券的收益率构成的多维随机向量的期望向量和协方差矩阵，可以计算组合证券投资（它是随机向量的线性函数）的数学期望（是期望向量的线性函数）和方差（它是以协方差矩阵为系数矩阵的二次型），建立均值方差模型，以达到在预
3、期收益率之下使方差最小。关键词：证券投资、投资比例、最小收益目标、方差、决策二次规划模型 一、问题重述A题:有一个投资商希望投资一定数目的资本，为此他对四种有价证券进行了评估。这些有价证劵分别是国债、一家计算机硬件公司、一家计算机软件公司以及一个高风险的剧场建设项目。投资商对每个投资项目的平均收益进行了评估，并采用了Markowitz方法，即对各项投资收益的方差/协方差矩阵进行评估（例如，硬件公司和软件公司常常共同进退，但由于如果人们厌倦了在新电脑上玩游戏，则会更多地选择区剧院，因此它们与剧院经营则成负相关）。剧院项目的收益变化范围很大，而国债的收益则固定不变。下表给出了各个投资项目的预计收益
4、和方差/协方差矩阵。表1. 预期收益和方差/协方差矩阵硬件公司软件公司剧院建设国债预期收益89127硬件公司43-10软件公司3610剧院建设-11100国债0000问题1：投资商应采取何种投资策略才能在达到给定的最小收益目标的前提下使得收益方差最小？问题2：如果投资商希望选择至多两种不同的投资途径，应如何选择才能使投资回报总方差最小（在满足给定的最小收益目标的前提下）？二、问题分析组合投资利用LINGO软件，输入程序解决问题。利用二次规划模型，列出满足二次规划模型的约束条件编写程序。其中分别用w1,w2,w3,w4代表投资的权重，其和是1。Min = St u W=1 W0其中是方差，是设定
5、的最小收益目标，W=（w1，w2，w3，,wn）,W是各项投资收益方差、协方差矩阵。这个矩阵可直接由题目中表格给定数据取得。W=（1，1，1，,1）是分量全为1的n维向量。权重是非负值 即 W0，各项权重只和为1。该模型的意义是：在达到最小收益目标前提下，组合投资风险最小，即收益方差最小。这就是题目中所说的Markowitz方法，也就是均值方差模型。这个模型也是一个二次规划模型。求解二次规划模型用LINGO软件很方便。问题一：该问题从单项投资和组合投资（包含单项投资）两种方法分别求解。满足所设定的最小收益目标前提下：单项投资方式利用题目给定数据，用分析法得到最小收益目标在给定范围下收益方差。组
6、合投资利用LINGO软件，输入程序解决问题。利用最优化模型，列出满足优化模型的约束条件编写程序，引入w1,w2,w3,w4代表投资四种证券的权重。 综合以上两种方法，比较各类投资方式中投资各种证券投资比例和方差，选择收益方差最小的情况。问题二：由于供选择的方案至多两种不同的投资途径，即满足所设定的最小收益目标前提下，仅投资一种证券或投资两种证券。投资一种证券的情况在问题一中已经解决了，故接下来只要考察投资两种证券情况。同理，用LINGO软件，输入程序解决问题。利用最优化模型，列出满足优化模型的约束条件编写程序，引入w1,w2,代表两种证券投资的权重综合投资一种证券和投资两种证券投资方式，用EX
7、CEL表格直观地比较出满足相应最小收益前提下的各类投资方式中投资各种证券投资比例和方差，选择投资回报总方差最小的情况。三、模型进一步分析与求解问题1模型建立与求解：该问题要求投资商应采取何种投资策略才能在达到给定的最小收益目标的前提下使得收益方差最小。一、分析法求单项投资情况：首先考虑投资者采取的是一项投资，而并非是投资组合，故我们只需考虑四种投资环境下的不同收益情况。又因为最小收益目标题目为给出具体数据，故我们也需要对他进行分析，分析在不同目标下所要采取的方案。1.如果“给定的最小收益目标”7，即给定的最小收益比四套方案的预期收益都小，也就是说不管采取那套方案，都能达到给定的收益目标，此时只
8、需要考虑哪套方案的收益方差最小即可。由原始数据表格，我们可以看到投资硬件公司、软件公司、剧院建设，以及国债的方差分别为4，6，10，0，即投资于国债可以在保证达到目标的情况下实现方差最小化2.如果7“给定的最小收益目标”8，显然，投资国债肯定是达不到目标，即，投资国债这套方案是行不通的。该情况下只有3套方案可以提供选择，分别是投资硬件公司、软件公司、剧院建设，考虑到三者的方差分别是4，6，10，故投资于硬件公司可以在保证达到目标的情况下实现方差最小化。3.如果8“给定的最小收益目标”9，显然，投资国债，硬件公司肯定是达不到目标，即投资国债，硬件公司这两套方案是行不通的。该情况下只有2套方案可以
9、提供选择，分别是投软件公司、剧院建设，考虑到三者的方差分别是6，10，故投资于软件公司可以保证达到目标的情况下实现方差最小化。4.如果912，在该资本限定条件下，预期收益最多的是投资剧院建设，可以收益12，低于最小收益目标，所以无论投资什么都是达不到目标的，故没有投资可能。二、编写程序求投资组合（包含只进行一项投资）分别用w1,w2,w3,w4代表投资的权重，其和是1。1、“给定的最小收益目标”7，进行组合投资，其程序在LINGO中运行如下：min=4*w12+6*w22+10*w32+0*w42+3*w1*w2-W1*w3+0*w1*w4+0*w2*w4+w2*w3+0*W3*w4; 8*w
10、1+9*w2+12*W3+7*W4 =7; W1+w2+w3+w4=1;End结果为 Local optimal solution found. Objective value: 0.000000 Extended solver steps: 2 Total solver iterations: 20 Variable Value Reduced Cost W1 0.000000 0.000000 W2 0.000000 0.000000 W3 0.000000 0.000000 W4 1.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.
11、000000 -1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000可以看出来当全部投资国债时方差最小，方差为 0.000000。这是单项投资。这种方法和上面分析单独投资时结果一致。 2、如果78;W1+w2+w3+w4=1;End结果如下 Local optimal solution found. Objective value: 0.3132310 Infeasibilities: 0.1332268E-14 Extended solver steps: 2 Total solver iterations: 24 Variable Value Reduced Cost W1 0.7017544E-01 0.000000 W2 0.7383041E-01 0.000000 W3 0.1564327 0.000000 W4 0.6995614 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.3132310 -1.000000
