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1、第二章 函数与基本初等函数学案5.3 平面向量的数量积自主预习案 自主复习 夯实基础【双基梳理】1.两个向量的夹角(1)定义已知两个 向量a，b，作a，b，则 称作向量a和向量b的夹角，记作a，b.(2)范围向量夹角a，b的范围是0，且a，bb，a.(3)向量垂直如果a，b，则a与b垂直，记作ab.2.向量在轴上的正射影已知向量a和轴l(如图)，作a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称 )，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的 或在轴l的方向上的 .a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为，则由三角函数中的余弦定
2、义有al|a|cos .3.向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义|a|b|cosa，b叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cosa，b.(2)向量数量积的性质如果e是单位向量，则aeea|a|cosa，e；abab0；aa|a|2，|a|；cosa，b (|a|b|0)；|ab| |a|b|.(3)数量积的运算律交换律：abba.对R，(ab)(a)ba(b).分配律：(ab)cacbc.(4)数量积的坐标运算设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则ab 2；ab ；|a|；cos a，b.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两个向量的数
3、量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()(2)向量在另一个向量方向上的正射影为数量，而不是向量.()(3)在四边形ABCD中，且0，则四边形ABCD为矩形.()(4)两个向量的夹角的范围是0，.()(5)由ab0可得a0或b0.()(6)(ab)ca(bc).()考点探究案 典例剖析 考点突破考点一 平面向量数量积的运算例1(1)(2015四川)设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4，若点M，N满足3，2，则等于()A.20 B.15 C.9 D.6(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为 ；的最大值为 .变式训练：(1)如图，在平行四边形ABC
4、D中，已知AB8，AD5，3，2，则 .(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 . 考点二 用数量积求向量的模、夹角命题点1求向量的模例2(1)已知向量a，b均为单位向量，它们的夹角为，则|ab|等于()A.1 B.C. D.2(2)(2014湖南)在平面直角坐标系中，O为原点，A(1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足|1，则|的最大值是 .命题点2求向量的夹角例3(1)(2015重庆)若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A. B.C. D.(2)若向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知2a3b与c的夹角为钝角，则k
5、的取值范围是 . 变式训练：(1)已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos ，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos .(2)在ABC中，若A120，1，则|的最小值是()A. B.2C. D.6考点三：平面向量与三角函数例4(2015广东)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值. 变式训练：已知O为坐标原点，向量(3sin ，cos )，(2sin ，5sin 4cos )，且，则tan 的值为()A. B.C. D.当堂达标：1.已知向量a与b的夹角为30，且|a|1，|2ab|1
6、，则|b|等于()A. B. C. D.2.(2015山东)已知菱形ABCD 的边长为a，ABC60，则等于()A.a2 B.a2C.a2 D.a2 3.已知单位向量e1，e2的夹角为，且cos ，若向量a3e12e2，则|a| .4.已知A，B，C为圆O上的三点，若()，则与的夹角为 .5.(教材改编)已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则向量b在向量a方向上的正射影的数量为 .巩固提高案 日积月累 提高自我1.若向量a，b满足|a|b|2，a与b的夹角为60，则|ab|等于()A.2 B.2C.4 D.122.已知向量a(1，)，b(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m等于()
7、A.2 B.C.0 D.3.设向量e1，e2是夹角为的单位向量，若a3e1，be1e2，则向量b在a方向上的正射影的数量为()A. B. C. D.14.若O为ABC所在平面内任一点，且满足()(2)0，则ABC的形状为()A.正三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形5.ABC的外接圆圆心为O，半径为2，0，且|，则在方向上的正射影的数量为()A.1 B.2 C. D.36.在ABC中，M是BC的中点，AM3，点P在AM上，且满足2，则()的值为 .7.如图，在ABC中，O为BC中点，若AB1，AC3，60，则| .8.在ABC中，若，则点O是ABC的 (填“重心”、“垂心”
8、、“内心”、“外心”).9.已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求ABC的面积.10.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且mn.(1)求sin A的值；(2)若a4，b5，求角B的大小及向量在方向上的正射影的数量.学案5.3 平面向量的数量积自主预习案 自主复习 夯实基础【双基梳理】1.两个向量的夹角(1)定义已知两个非零向量a，b，作a，b，则AOB称作向量a和向量b的夹角，记作a，b.(2)范围向量夹角a，b的范围是0，且a，bb，a.
9、(3)向量垂直如果a，b，则a与b垂直，记作ab.2.向量在轴上的正射影已知向量a和轴l(如图)，作a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为，则由三角函数中的余弦定义有al|a|cos .3.向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义|a|b|cosa，b叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cosa，b.(2)向量数量积的性质如果e是单位向量，则aeea|a|cosa，e；abab0
10、；aa|a|2，|a|；cosa，b (|a|b|0)；|ab| |a|b|.(3)数量积的运算律交换律：abba.对R，(ab)(a)ba(b).分配律：(ab)cacbc.(4)数量积的坐标运算设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则aba1b1a2b2；aba1b1a2b20；|a|；cos a，b.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()(2)向量在另一个向量方向上的正射影为数量，而不是向量.()(3)在四边形ABCD中，且0，则四边形ABCD为矩形.()(4)两个向量的夹角的范围是0，.(
11、)(5)由ab0可得a0或b0.()(6)(ab)ca(bc).()考点探究案 典例剖析 考点突破考点一 平面向量数量积的运算例1(1)(2015四川)设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4，若点M，N满足3，2，则等于()A.20 B.15 C.9 D.6(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为 ；的最大值为 .答案(1)C(2)11解析(1)，(43)(43)(16292)(1662942)9，故选C.(2)方法一以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t0,1，则(t，1)，(0，1)，所以(t，1)(0，1)1.因为(1,0)，所以(t，1)(1,0)t1，故的最大值为1.方法二由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的正射影都是，|11，当E运动到B点时，在方向上的正射影的数量最大即为DC1，()max|11.变式训练：(1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则 .(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 .答案(1)22(2)2解析(1)由3，得，.因为2，所以()()
