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1、第二章 函数与基本初等函数学案5.3 平面向量的数量积自主预习案 自主复习 夯实基础【双基梳理】1.两个向量的夹角(1)定义已知两个 向量a,b,作a,b,则 称作向量a和向量b的夹角,记作a,b.(2)范围向量夹角a,b的范围是0,且a,bb,a.(3)向量垂直如果a,b,则a与b垂直,记作ab.2.向量在轴上的正射影已知向量a和轴l(如图),作a,过点O,A分别作轴l的垂线,垂足分别为O1,A1,则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称 ),该射影在轴l上的坐标,称作a在轴l上的 或在轴l的方向上的 .a在轴l上正射影的坐标记作al,向量a的方向与轴l的正向所成的角为,则由三角函数中的余弦定
2、义有al|a|cos .3.向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义|a|b|cosa,b叫做向量a和b的数量积(或内积),记作ab,即ab|a|b|cosa,b.(2)向量数量积的性质如果e是单位向量,则aeea|a|cosa,e;abab0;aa|a|2,|a|;cosa,b (|a|b|0);|ab| |a|b|.(3)数量积的运算律交换律:abba.对R,(ab)(a)ba(b).分配律:(ab)cacbc.(4)数量积的坐标运算设a(a1,a2),b(b1,b2),则ab 2;ab ;|a|;cos a,b.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两个向量的数
3、量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()(2)向量在另一个向量方向上的正射影为数量,而不是向量.()(3)在四边形ABCD中,且0,则四边形ABCD为矩形.()(4)两个向量的夹角的范围是0,.()(5)由ab0可得a0或b0.()(6)(ab)ca(bc).()考点探究案 典例剖析 考点突破考点一 平面向量数量积的运算例1(1)(2015四川)设四边形ABCD为平行四边形,|6,|4,若点M,N满足3,2,则等于()A.20 B.15 C.9 D.6(2)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为 ;的最大值为 .变式训练:(1)如图,在平行四边形ABC
4、D中,已知AB8,AD5,3,2,则 .(2)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则 . 考点二 用数量积求向量的模、夹角命题点1求向量的模例2(1)已知向量a,b均为单位向量,它们的夹角为,则|ab|等于()A.1 B.C. D.2(2)(2014湖南)在平面直角坐标系中,O为原点,A(1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足|1,则|的最大值是 .命题点2求向量的夹角例3(1)(2015重庆)若非零向量a,b满足|a|b|,且(ab)(3a2b),则a与b的夹角为()A. B.C. D.(2)若向量a(k,3),b(1,4),c(2,1),已知2a3b与c的夹角为钝角,则k
5、的取值范围是 . 变式训练:(1)已知单位向量e1与e2的夹角为,且cos ,向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为,则cos .(2)在ABC中,若A120,1,则|的最小值是()A. B.2C. D.6考点三:平面向量与三角函数例4(2015广东)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m,n(sin x,cos x),x.(1)若mn,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值. 变式训练:已知O为坐标原点,向量(3sin ,cos ),(2sin ,5sin 4cos ),且,则tan 的值为()A. B.C. D.当堂达标:1.已知向量a与b的夹角为30,且|a|1,|2ab|1
6、,则|b|等于()A. B. C. D.2.(2015山东)已知菱形ABCD 的边长为a,ABC60,则等于()A.a2 B.a2C.a2 D.a2 3.已知单位向量e1,e2的夹角为,且cos ,若向量a3e12e2,则|a| .4.已知A,B,C为圆O上的三点,若(),则与的夹角为 .5.(教材改编)已知|a|5,|b|4,a与b的夹角120,则向量b在向量a方向上的正射影的数量为 .巩固提高案 日积月累 提高自我1.若向量a,b满足|a|b|2,a与b的夹角为60,则|ab|等于()A.2 B.2C.4 D.122.已知向量a(1,),b(3,m).若向量a,b的夹角为,则实数m等于()
7、A.2 B.C.0 D.3.设向量e1,e2是夹角为的单位向量,若a3e1,be1e2,则向量b在a方向上的正射影的数量为()A. B. C. D.14.若O为ABC所在平面内任一点,且满足()(2)0,则ABC的形状为()A.正三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形5.ABC的外接圆圆心为O,半径为2,0,且|,则在方向上的正射影的数量为()A.1 B.2 C. D.36.在ABC中,M是BC的中点,AM3,点P在AM上,且满足2,则()的值为 .7.如图,在ABC中,O为BC中点,若AB1,AC3,60,则| .8.在ABC中,若,则点O是ABC的 (填“重心”、“垂心”
8、、“内心”、“外心”).9.已知|a|4,|b|3,(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角;(2)求|ab|;(3)若a,b,求ABC的面积.10.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m(cos(AB),sin(AB),n(cos B,sin B),且mn.(1)求sin A的值;(2)若a4,b5,求角B的大小及向量在方向上的正射影的数量.学案5.3 平面向量的数量积自主预习案 自主复习 夯实基础【双基梳理】1.两个向量的夹角(1)定义已知两个非零向量a,b,作a,b,则AOB称作向量a和向量b的夹角,记作a,b.(2)范围向量夹角a,b的范围是0,且a,bb,a.
9、(3)向量垂直如果a,b,则a与b垂直,记作ab.2.向量在轴上的正射影已知向量a和轴l(如图),作a,过点O,A分别作轴l的垂线,垂足分别为O1,A1,则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影),该射影在轴l上的坐标,称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.a在轴l上正射影的坐标记作al,向量a的方向与轴l的正向所成的角为,则由三角函数中的余弦定义有al|a|cos .3.向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义|a|b|cosa,b叫做向量a和b的数量积(或内积),记作ab,即ab|a|b|cosa,b.(2)向量数量积的性质如果e是单位向量,则aeea|a|cosa,e;abab0
10、;aa|a|2,|a|;cosa,b (|a|b|0);|ab| |a|b|.(3)数量积的运算律交换律:abba.对R,(ab)(a)ba(b).分配律:(ab)cacbc.(4)数量积的坐标运算设a(a1,a2),b(b1,b2),则aba1b1a2b2;aba1b1a2b20;|a|;cos a,b.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()(2)向量在另一个向量方向上的正射影为数量,而不是向量.()(3)在四边形ABCD中,且0,则四边形ABCD为矩形.()(4)两个向量的夹角的范围是0,.(
11、)(5)由ab0可得a0或b0.()(6)(ab)ca(bc).()考点探究案 典例剖析 考点突破考点一 平面向量数量积的运算例1(1)(2015四川)设四边形ABCD为平行四边形,|6,|4,若点M,N满足3,2,则等于()A.20 B.15 C.9 D.6(2)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为 ;的最大值为 .答案(1)C(2)11解析(1),(43)(43)(16292)(1662942)9,故选C.(2)方法一以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(t,0),t0,1,则(t,1),(0,1),所以(t,1)(0,1)1.因为(1,0),所以(t,1)(1,0)t1,故的最大值为1.方法二由图知,无论E点在哪个位置,在方向上的正射影都是,|11,当E运动到B点时,在方向上的正射影的数量最大即为DC1,()max|11.变式训练:(1)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB8,AD5,3,2,则 .(2)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则 .答案(1)22(2)2解析(1)由3,得,.因为2,所以()()