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1、不忘我心，风清月明 1 历届江苏省高数竞赛题(上册部分) 爱着你们的双哥 2016.2.18 1991.本科 1.sinsin() 2 yxxx 函数其中的反函数为 2.034sinsin cos n xxxxxxn当时，与 为同阶无穷小，则 3.1632xx在时有极大值 ，在时有极小值 的最低次幂次多项式的表达式为 4.( )(1) ,(1) n mn n d P xxm nP dx 设其中为正整数，则 2 2 2 5.(cos)sinxxxdx 2 00,2 6.( )0,2(1)0,( ),max( ) 3 x M f xff x dxMfx 已知在上二次连续可微，证明：其中 不忘我心，
2、风清月明 2 1994.本科一级 111 1.lim() 414242 n nnnn 2 2( ) 2.( )(32) cos,(2) 16 nn x f xxxf 设则 2 3 0 3. 1 (cot ) dx x 4 e e比较与 的大小 2 1 5.,(0) 2 . b a a bxdxabyxaxybx 已知满足，求曲线与直线所围区域面积 的最大值与最小值 1 001 6.( )0,1(0)(1)0,( )0 ( )4max( ) x f xfff x fx dxf x 设在上具有连续的二阶导数，且不恒等于 ，求证： 不忘我心，风清月明 3 1996.本科一级 2 00 6 1 1.0
3、,limlimsin()tan3 , sin6 x x x t adtxxa xxat 若则 2,( )(21)(32)(10099),(0)f xxxxx f 若则 111 3.3cos(), . 222 b xarcxa xa b已知当 大于且趋向于 时，与为等价无穷小，求 2 1 4. x xedx 22 000 sin 5.( )(sin )(sin ),. 23sin4cos xx f uxfx dxfx dxdx xx 若是连续函数，证明并求 21 2 10 6.( ),( ) . t x f tedxt f t dt 设求 7.(0,1) . CxC xC 设曲线 经过点，且位于
4、 轴上方，就数值而言， 上任何两点之间的 弧长都等于该弧以及它在 轴上的投影为边的曲边梯形的面积，求 的方程 222 8.( )(1) (3) ,( ).f xxxxyf x设试问曲线有几个拐点，证明你的结论 不忘我心，风清月明 4 1998.本科一级 22 40 112 1.lim 11 x xx x 23 2.( )(32)f xxxxx函数的不可导点的个数为 2 3 1 2 1,0 3.( ),(2) 1 ,0 1 xx f xf xdx x x 设则 4.ln.xxx 为正常数，使得不等式对任意正数 恒成立，求 的最小值 5.( )0,1(0)(1)(0,1), 2( )(1)( )0
5、. f xff ff 函数在上二阶可导，求证：使得 2 0 6.( )0,2 ( )0, 2 ( )sin( (2 )(0) f xfxn f xnxdxff n 设函数在上导数连续，求证：对任意正整数 ，有 不忘我心，风清月明 5 2000.本科一级 1.( ),( ( )f xxxf f x设函数则 1 2.lim ln1 x x xx xx 14 54 3. (1) x dx x 1 1 21 4.,0 21 x x yx 对于函数点是 . A连续点 .B第一类间断点 .C第二类间断点 .D可去间断点 5.( )( )( )(1sin )( )0f xF xf xxF xx设函数可导，函
6、数，欲使函数在可导，则必有 .(0)0 A f .( 0 )0B f . (0)(0)0C f f .( 0 )( 0 )0D f f 2 0 02 0 ( ) 6.( )(0)0,(0)0,lim ( ) x x x f t dt fxff xf t dt 设连续，求 2 2 0 (1)0 7.( ) 10 y t xtt d y yy x teydx 已知函数由方程组确定，求 8.( ), ( ) , ( )0,( , ) ( )( )( ) ( )( )( ) f x g xa bg xca b f af cf c g cg bg c 设函数在上可微，求证：使得 0 sin ,0 2 9
7、.( ), ( ),( )( ) (). 0, 2 x xx f xx g xF xf t g xt dt x 设函数求函数 222 10.( ,)41yxa aayxx 过抛物线上一点作切线，问 为何值时所作切线与抛物线 所围成的图形面积最小？ 不忘我心，风清月明 6 2002.本科一级 tan 0 1.lim(0) xx k x ee c ckc x 设，则， 2.( )1,) .lim( )0,( )1). B.lim( )0,( )1). C.lim( )=1,( )1). x x x f x Afxf x fxf x fxf x 设函数在上可导，下列结论中成立的是 若则在 ，上有界
8、若则在 ，上无界 若则在 ，上无界 3.()1( )(0) y ex yxxyy xy 设由确定，则 4. arcsinarccosxxdx 4 0 11 5.tan,(2) 2(1)2(1) n nn IxdxIn nn 设求证： 6.( ) , ( )( )0,( )( , ) 2. bb x aa f xa bf x dxf x e dxf xa b 设函数在上连续，求证在 内至少有 个零点 不忘我心，风清月明 7 2004.本科一级 1.0sin cos cos2 k xxxxxcxc时，与为等价无穷小，则 21 2.lim( arctan)x x x x 2222 111 3.lim
9、() 4164 n nnnn 4( ) 4. ( )ln(1),4(0) n f xxx nf时 2 sin cos 5. (cossin ) xxx dx xxx 6.( ) , ( )( , )( )( )0( )0 (1)( , )( )( ); (2)( , ),( )( ). b a fxa bf xa bf af bf x dx a bff a bff 设在上连续，在内二阶可导，求证： ，使得 使得 22 22 7.4 ,. ,4. (1),; (2). Dxyx yxDyxPPt PQyxDxyxQ P QPQt Dyx 设 ：在 的边界上任取点 ，设 到原点的距离为 ， 作垂直
10、于交 的边界于点 试将的距离表示为 的函数 求 绕旋转一周的旋转体体积 不忘我心，风清月明 8 2006.本科一级 3 4 1 1. ( ),limln (1) (2)( ) x n f xafff n n 2 () 5 00 1 2.lim(1) x tx x edt x 1 22 0 arctan 3. (1) xdx x 3 4.2. 100/ ,200/. h km hkm h 某人从甲地开汽车出发，沿直线行驶，经过到达乙地停止，一路畅通若开车的最 大速度为求证：该汽车在行驶途中加速度变化率的最小值不大于- 5.( )(,)( )( )1,( )1()f xf xfxf xxR 设在上
11、是导数连续的有界函数，求证： 不忘我心，风清月明 9 2008 本科一级 2 1.,limarctan. 2 x axx abx bxx 当时， 2.,( )ln(1)0. 1 x abf xaxxx bx 当时在时关于 的无穷小阶数最高 24 2 0 3.sincosxxdx 122 4. :3,33,33() . nnnn xxxxxnNx 设数列，求证数列收敛， 并求极限 1 5.( ) , max( )( )( ). bb aaa x b f xa bf xf x dxfx dx ba 设函数在上具有连续的导数，求证 不忘我心，风清月明 10 2010 本科一级 3 0 sin(sin
12、 ) 1.lim (sin ) x xx x 2.,(arctan(tan ),fyfxxy设函数可导，则 2( ) 3.cos, n yxy已知函数则 2 1 4. x x dx x e 4 2 1 5. 1 dx x 3 0 6.( )0, (0, ), ( ) (0)( )( ) 212 c f xcc cc f x dxff cf 设在上二阶可导，证明：使得 不忘我心，风清月明 11 2012 本科一级 34 3 1 (1)(1)(1) 1.lim (1) x xxx x 2( ) 2.ln(1), n yxy则 8 2 0 3.sin xdx 3 1 11 4.arccosdx xx
13、 1 1 23( 1) 5.lim n n n n 求 3 0 (1)( ) 6.( )0(0)0,(0)3,lim x x f ef x f xxff x 设在处三阶可导，且求 7. . (1)( )00 (2)( )(, )(0),(0)(0,(0)( ). f xxx f xffyf x 下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例， 并证明满足条件；若不存在，请给出证明 函数在处可导，但在的某去心邻域内处处不可导； 函数在上一阶可导为极值，且为曲线的拐点 不忘我心，风清月明 12 2014 本科一级 2 ln (1) (4)(31) 1.( ),lim 1 x n hhhn h xe n 设则极限 22 0 1cot 2.lim cos x xx xx 极限 22 3.0( )231, x xf xeaxbxxab若当时，是 的高阶无穷小，则 2 5 00 2 4.limsin( ) x x tx dt x 极限 10 5.( )ln(1)2(2)f xxxxx函数在处的泰勒公式中，带的项为 2 22 , , , 1 6.( )1 1 A B C xx f x xx 他们的类型分别是 （请用分别表示可去，跳跃，第二类间断点） 函数的间断点是 2 2 7.,2, tty dyd y xte ee dxdx 函数的参数方程为则 1 22 1 8.(tan
