《工程力学教程篇第2版 教学课件 ppt 作者 周松鹤 徐永烜 等编 第十三章 虚位移原理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《工程力学教程篇第2版 教学课件 ppt 作者 周松鹤 徐永烜 等编 第十三章 虚位移原理（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、刚体动力学刚体动力学 第十三章 虚位移原理第十三章 虚位移原理 2222 lzyx=+ 一.约束和约束方程 一.约束和约束方程 13-1 约束的分类 广义坐标和自由度 约束： 质点系位形空间的限制条件 约束方程：约束条件的数学表达式 一般的形式 约束： 质点系位形空间的限制条件 约束方程：约束条件的数学表达式 一般的形式： 0);,;,( 111111 tzyxzyxzyxzyxf nnnnnnr & (r=1,s) 1、几何约束与运动约束、几何约束与运动约束 几何约束 ： x 如：单摆 y z M 0),(=zyxf 0 111 = = )z ,y,xz ,y,x(f nnnj ), 1(,
2、nizyx iii 曲面上的质点 一般式 =& 约束方程中不含。 x y l r r rvC= 非定常约束：若约束方程中显含时间非定常约束：若约束方程中显含时间t 运动约束：运动约束：约束方程中含有), 1(,nizyx iii =& C C v r x y ryC= 定常约束：定常约束：约束方程中不包含时间t 几何约束 运动约束 2、定常约束与非定常约束定常约束与非定常约束 v r 0),( 111 = tzyxzyxf nnnj 非定常的运动约束一般式：非定常的运动约束一般式： 0),( 111111 非定常的几何约束一般式：非定常的几何约束一般式： = tzyxzyxzyxzyxf nn
3、nnnnj &LL& 3、完整约束与非完整约束、完整约束与非完整约束 完整约束：约束方程中不包括坐标对时间的导数，或者能够通 过积分消去坐标对时间的导数 &rxc=如：rxc= 二.广义坐标、自由度二.广义坐标、自由度 , snk= 3 2 2 1 2 1 ayx=+=+ 22 12 2 12 b)yy()xx(=+=+ 广义坐标广义坐标: k qq,q 21 ),( 21kii qqqxx = ),( 21kii qqqyy = ),( 21kii qqqzz = ),( 21kii qqqrr = rr i=1,2,n 自由度自由度 n:质点数质点数s:约束方程数约束方程数 2 1 B(x
4、2,y2) A(x1,y1) a b x y 2个自由度2个自由度q1= 1 , q2= 2二个广义坐标二个广义坐标: 二个约束方程 平面质点 二个约束方程 平面质点: , snk= 2 用以确定质点系位置的独立参变量用以确定质点系位置的独立参变量 n个质点组成的质点系 13-2 虚位移13-2 虚位移 一、虚位移的概念一、虚位移的概念 1、虚位移：、虚位移：质点系在给定瞬时为约束所容许的任何微小的位移 M r dr 静止质点可以有虚位移，但肯定没有实位移。 虚位移是微小位移，而实位移可以是微小值，也可以是有限值。 静止质点可以有虚位移，但肯定没有实位移。 虚位移是微小位移，而实位移可以是微小
5、值，也可以是有限值。 2、虚位移与实位移区别2、虚位移与实位移区别 A B A B O C C 1 r 2 r dr 1 r 2 r W r dr 二、虚位移的分析方法二、虚位移的分析方法 1、几何法1、几何法 O A B I A B OAA = AI OA AI A = A AI BI OA AI BI BIB= 虚位移与实位移的关系：虚位移与实位移的关系： 1、在定常系统中，微小的实位移是虚位移之一1、在定常系统中，微小的实位移是虚位移之一如（a）图 2、在非定常系统中，微小的实位移不再成为虚位移之一2、在非定常系统中，微小的实位移不再成为虚位移之一如（b）图 W r （a） W r （b
6、） 2、解析法2、解析法 k k iii i q q r q q r q q r r + + = vvv v 2 2 1 1 j j i k j q q r = = v 1 (i=1,n) ),( 21kii qqqrr = rr 2 1 B A a b x y 1 cosayA= 1 sinaxA= 21 sinsinbaxB+= 21 coscosbayB+= 11 cosaxA= 11 sinayA= 2211 coscosbaxB+= 2211 sinsinbayB= 13-3 虚位移原理13-3 虚位移原理 1、虚功：1、虚功：作用于质点或质点系上的力在给定虚位移上所作的功。作用于质
7、点或质点系上的力在给定虚位移上所作的功。 rFw v v = 2、理想约束：2、理想约束： 约束力在质点系的任何虚位移中所作元功之和等于零。约束力在质点系的任何虚位移中所作元功之和等于零。 0 1 = = iNi n i rF v v (a) 即约束处无虚位移，如固定端约束，铰支座等；(a) 即约束处无虚位移，如固定端约束，铰支座等； 0= i r v (b) 即约束力与虚位移相垂直，如光滑接触面约束等；(b) 即约束力与虚位移相垂直，如光滑接触面约束等； iNi rF v v (c) 即约束点上约束力的合力为零，如铰链连接；(c) 即约束点上约束力的合力为零，如铰链连接；0= Ni F v
8、(d) 即虚功之和即为零。如连接两质点的无重刚性杆。(d) 即虚功之和即为零。如连接两质点的无重刚性杆。 0 1 = = iNi n i rF v v 3、虚位移原理（虚功原理）3、虚位移原理（虚功原理） 具有双侧、定常、理想约束的质点系，在给定位置平衡的充要条 件是：所有主动力在质点系任何虚位移中的元功之和等于零 具有双侧、定常、理想约束的质点系，在给定位置平衡的充要条 件是：所有主动力在质点系任何虚位移中的元功之和等于零。 0 1 = = ii n i rFw v v 0)( 1 =+= = iziiyiixi n i zFyFxFw 证明：（1）必要性证明：（1）必要性 命题：如质点系平
9、衡，则上式成立。命题：如质点系平衡，则上式成立。 解析式解析式 0=+ Nii FF vv 0=+ iNii rFF v vv ）（ 0)( 111 =+=+ = iNi n i ii n i iNii n i rFrFrFF v v v v v vv 0 1 = = iNi n i rF v v Q0 1 = = ii n i rF v v （2）充分性（2）充分性 命题：上式成立，则质点系平衡。命题：上式成立，则质点系平衡。 反证法。设上式成立，而质点系不平衡。反证法。设上式成立，而质点系不平衡。 0)(+= iNiiiRi rFFrF v vv v v 0)( 1 + = iNiii n
10、 i rFrF v v v v 0 1 = = iNi n i rF v v Q与命题矛盾0 1 = ii n i rF v v 所以，质点系不可能进入运动，而必定成平衡。所以，质点系不可能进入运动，而必定成平衡。 例例13-1：已知已知 OA=L， 求系统在图示位置平衡 时，力偶矩 ， 求系统在图示位置平衡 时，力偶矩M与力与力F的 关系（不计摩擦） 的 关系（不计摩擦） 0 1 = = n i ii rF r r A B F M O 1 C 2 C 0 90= gm1 gm2 gm3 基本步骤：基本步骤： 1.确定系统是否满足原理的应用条件确定系统是否满足原理的应用条件 2.分析主动力作用
11、点的虚位移分析主动力作用点的虚位移 3.求主动力的虚功之和求主动力的虚功之和 BA rr=Q LFM = 2 C r = 0W 0= MrF B =MFL0)(=MFL 0Q ABAB BA rr = Lrr BA = 0= MLF A B F r M O gm1 gm2 gm3 A r 1 C r B r 例13-2：结构及其受力如图所示，求结构及其受力如图所示，求A端的约束力偶。端的约束力偶。 解：解： 将固定端将固定端A变成固定铰链 将约束力偶变为主动力偶 给出虚位移（如图所示） 确定虚位移的关系 变成固定铰链 将约束力偶变为主动力偶 给出虚位移（如图所示） 确定虚位移的关系 a2 2
12、=r 2 rr= C C rr 3 1 1 = 0 1 = = n i ii rF r r 0 2211 =+ A MrFrF 0)2 3 2 ( 21 =+ A MaF a F 0Q) 3 1 (2 21 FFaM A += aaa 1 F r 2 F r AB C M DD C r 1 r A M 2 r 例13-3:例13-3: 图示椭圆规机构图示椭圆规机构,连杆连杆A、B长为长为l,，杆重和摩擦力不计， 求 ，杆重和摩擦力不计， 求:在图示位置平衡时主动力在图示位置平衡时主动力FA和和FB之间的关系。之间的关系。 1.几何法几何法 0=+ BBAA xFyF coslyA=sinlxB
13、= tan:= B A F F 则 2.解析法解析法 coslxB= lsinyA= 0= BBAA xFyF 解：解： 00)sincos(=+lFlF BA 0)sincos(=+lFlF BA sinlxB= lcosyA= x y 0 B F r A F r xB yA 解：解： 例13-4：例13-4：图示平面缓冲机构，各杆的重量和摩擦不计，弹簧原 长为 图示平面缓冲机构，各杆的重量和摩擦不计，弹簧原 长为l，刚性系数为，刚性系数为k。求。求:平衡时平衡时P与与 之间关系。之间关系。 sin2lkkF= sinlxA=coslxA= sinllxB+=coslxB= cos2lyC=
14、 0= CBA yPxFxF Plk=cos2 lk P 2 arccos= 02:=+ BC xFyP有 解析法解析法 0)2cos4(=+Psinklsin 0 F r F r l l l l l 0 A C B k y x P r sin2lyC= 例13-5A:例13-5A: 图示桁架，各杆长度均为图示桁架，各杆长度均为l。求。求:FDE,FBC内力。内力。 解：解： 01510=+ EEDDEDED xFxFyx 0 2 3 2 3 2 15 2 3 10=+ EDCADECA FllF l l CA = EDDE FF= kN66.13= DE F 几何法几何法:先求先求FDE, AD lx 2 3 = CE l y 2 = CE lx 2 3 = 0) 2 3 2 3 2 15 2 3 10(=+ AEDDE lFlF l l CA
