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1、通常是指与随机变量有关的，虽然不能完整地刻划随机变量，但却能较为集中地反映随机变量某些方面的重要特征的一些数值。,3.1 随机变量的数学期望；,3.2 随机变量的方差 ；,本章内容：,数字特征,第三章 随机变量的数字特征,定义 设离散型随机变量X的概率分布为,PX = xk = pk ， k =1,2,3,若级数,，则称级数和,为随机变量 X 的数学期望（或均值），,记作E（X）,随机变量 X 的数学期望完全是由它的概率分布确定的，而不应受 X 的可能取值的排列次序的影响，因此要求,否则，称随机变量的数学期望不存在,解 易知,例1 设随机变量X的分布列为,求,若将此例视为甲、乙两队“比赛”，甲
2、队赢的概率为0.6，输的概率为0.4，并且甲队每赢一次得3分，每输一次扣1分，则 E(X) = 1.4 是指甲队平均每次可得分,定义 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分,说明：如果积分 不收敛 ，则称随机变量X的数学期望不存在。,收敛，则称积分值 为X的数学期望（或均值）。记作E(X)，,2. 连续型随机变量的数学期望,试证X的数学期望不存在,证 因为,例2 设随机变量X 服从柯西分布,其密度函数为,即 不收敛，所以X的数学期望不存在,求X的数学期望（page 56）.,例3 设随机变量X的概率密度函数为,解,3. 随机变量函数的数学期望,定理3 设X是随机变量，Y = g(X)是
3、X的连续函数，则有,(1) 若 为离散型变量，其概率函数为,(2)如果X为连续型随机变量，其概率密度为 f(x), 如果积分 收敛,则有,求E(X2)及E(2X-1).,例3.5 设随机变量X的概率密度函数为,证 可将C看成离散型随机变量，分布律为 PX=C=1，故由定义即得E(C)=C.,2. 设C为常数，X为随机变量，则有E(CX)=CE(X),证 设X的密度函数为 ，则有,3. 设 为任意两个随机变量，都有,1. 设C为常数，则有E(C)=C,4. 数学期望的性质,4. 设X, Y为相互独立的随机变量，则有,注：3、4可以推广到有限个的情形,解:,二项分布的均值,Poisson 分布,解
4、:,解:,均匀分布,指数分布,解:,常见随机变量的数学期望,例,为简单计，设 n 是 k 的倍数，设共分成 n / k 组,第 i 组需化验的次数为X i,解:,若,则EX n,例如，,中位数、众数和分位点,定义,定义,定义,例,例,解:,解:,双侧 分位数的概念,设X 为连续型随机变量,其概率密度函数为f ( x ),则对于满足 0 1/2 的 ,则称 x /2 为X 所服从的分布的双侧 分位数,若,标准正态分布的上 分位数 z ,常用 数字,-u/2 = u1-/2,四分位数指,例：page63 例3.11,若E X - E(X)2 存在, 则称其为随机,方差的定义,定义1,即 V(X )
5、 = E X - E(X)2,变量 X 的方差, 记为V (X ) 或 Var (X ),D(X ) 描述 随机变量 X 的取值偏离平均值的平均偏离程度, 数,若 X 为离散型 随机变量，分布律为,若 X 为连续型随机变量 ，概率密度为 f (x),计算方差的常用公式：,(1) V (C) = 0,(2) V (aX ) = a2V(X),（3）若X ,Y 相互独立，则,方差的性质,则,常见随机变量的方差(P.70 ),区间(a,b)上 的均匀分布,E(),N(, 2),例1 设X P (), 求V ( X ).,解,方差的计算,例2 设X B( n , p)，求V(X ).,解引入随机变量,相互独立，,故,例3 设 X N ( , 2), 求 V( X ),解,仅知 r.v.的期望与方差 并不能确定其分布,与,有相同的 期望方差 但是分布 却不相同,例如,K阶原点矩和K阶中心矩的概念,
