博弈论与信息经济学教学5资料

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1、研究生博弈论与信息经济学 第七讲 不完全信息博弈第七讲 不完全信息博弈(1):Bayes 博弈博弈 董志强 dongzhq Spring,2006 本章主要参考阅读：Fudenberg 和 Tirole 博弈论 ，中文版 183-212；英文 版 209-241 纳什均衡观念的一个潜在假设是， 每个参与人对其他参与人的行动持有正确 的信念（the correct belief） 。为了满足这个假设，要求参与人必须了解其正在参 与的博弈；尤其是，她必须知道其他人的偏好（preferences） 。 但是，在许多情况下，参与人并不完全清楚对手的特征：讨价还价的人们往 往并不知道他人对所议价的物品之

2、价值评估， 企业之间彼此并不清楚对方的成本 函数，斗士并不清楚相互的力量，陪审员并不清楚其他陪审员对于诉讼证据的解 释。在某些情况下，某个参与人比其他的参与人更清楚对手的特征，但是却并不 清楚对手对自己的特征了解多少。 这样的情形中所发生的博弈，称不完全信息博弈。对此类博弈的分析是通过 “贝叶斯博弈”模型(Bayesian game model)来分析的。 71 直观的例子 71 直观的例子 考虑包括两个企业的行业博弈。 参与人参与人：在位者，进入者 行动空间行动空间：在位者选择“建厂” ， “不建厂” ；进入者选择“进入”或“不进 入” 信息结构信息结构：在位者的成本有“高” 、 “低”两种

3、类型，其成本类型是其私有信 息。进入者不知道在位者的成本类型，但他先验地认为在位者高成本概率为p， 低成本概率为1p。在位者知道进入者的先验概率判断其实，为了获得均 衡，有必要假设( ,1)pp是双方的共同知识。进入者只有一种成本类型。 行动顺序行动顺序：两个参与人同时行动 赢利函数赢利函数： 各参与人在不同策略组合下的赢利不仅取决于双方的行动， 也取 决于各自的成本类型。以如下赢利表表示。 在位者高成本的情况在位者高成本的情况(p) 在位者低成本的情况在位者低成本的情况(1-p) 进入者 进入者 进入 不进入 进入 不进入 建厂 0，-1 2，0 建厂 3，-1 5，0 在位者 不建厂 2，

4、1 3，0 在位者 不建厂2，1 3，0 图 7.1 A 图 7.1 B 如果信息是完全的，那么参与人双方就均知道是进行的图7.1A的博弈还是 图7.1B中的博弈。如果是进行7.1A的博弈，那么纳什均衡是（不建厂，进入） ； 如果是进行7.1B的博弈，则纳什均衡是（建厂，不进入） 。 但是， 如果信息是不完全的， 那么进入者将不会知道自己处于哪个博弈之中。 当然，进入着可以对其所处的博弈有一个先验概率，即以概率p处于7.1A的博 弈，以概率1p处于7.1B的博弈之中。如前假设，( ,1)pp是双方的共同知识， 但是在位者很清楚自己的真实类型。 那么，这样的博弈怎么来进行分析呢？我们可以这样考虑

5、：分析图7.1A和 7.1B可发现，进入者2是否应该进入，应取决于在位者的成本：在位者高成本 则进入者应进入，在位者低成本则在位者应不进入。现在，进入者不知道在位者 成本高低，因此它分别计算进入和不进入的预期收益： 222 ()()(1)()EUpUHp UL=+= 11 进入不建厂，进入|t建厂，进入|t 其中， 1 t是在位者的类型，,H L分别表示高成本和低成本的情况。这里的预 期赢利计算为什么只考察了（不建厂，进入|t1=H）和（建厂，进入|t1=L）这两种 情况呢？因为在位者的行动是类型依存的即其行动依赖于其类型： 给定对方 进入，如果自己是高成本则应不建厂，自己是低成本则应建厂。由

6、此，可计算出 2( )1( 1)(1)21EUppp= + =进入 222 ()()(1)()0EUpUHp UL=+= 11 不进入不建厂，不进入|t建厂，不进入|t 因此有 1 2 1 2 p p 进入者进入 进入者不进入 博弈的均衡是： 如果在位者成本高，则不建厂；若 p1/2 则进入者进入，p1/2 则进入者不 进入； 如果在位者成本低，则建厂；进入者是否进入仍取决于对概率 p 的判断。 改进后的例子 改进后的例子 在图 7.1 博弈的例子中，在位者的行动完全依赖于其类型。有时候，情况可 能不象这么简单。考虑图 7.2 的例子该例子将在位者低成本下建厂的赢利改 成了 1.5(若对方进入

7、)和 3.5(若对方不进入)。 在位者高成本的情况在位者高成本的情况(p) 在位者低成本的情况在位者低成本的情况(1-p) 进入者 进入者 进入 不进入 进入 不进入 建厂 0，-1 2，0 建厂 1.5，-1 3.5，0 在位者 不建厂 2，1 3，0 在位者 不建厂2，1 3，0 图 7.2 A 图 7.2 B 从图 7.2 可以发现，当在位者成本较高，则其最优的策略仍是选择不建厂； 但是如果在位者的成本较低，那么是否建厂还要取决于对进入者进入概率的估 计。 在图 7.2B 中（在位者低成本情况） ，如果进入者进入则在位者应不建厂，若 进入者不进入，则在位者应建厂。不妨假设低成本下进入者进

8、入的概率为y，那 么，低成本下，在位者选择建与不建取决于进入者进入的概率。如果 1.53.5(1)23(1)yyyy+ 即 1 2 y ，则在位者选择不建厂。 如果 1 2 y =，那么在位者也将使用混合策略( ,1)xx，0,1x选择建厂或不 建厂。 上述结果描述了低成本在位者对于进入者的最优行动反应。 要求解均衡还需 要考虑进入者对于在位者的最优反应。进入者并不知道在位者的成本，因此她只 能考虑进入或不进入的预期赢利： 2( )1 (1)( 1)(1)11 2 (1)EUppxxxp= + += 进入 2( )0(1)0(1)00EUppxx= + +=不进入 当 1 2(1)p x 时，

9、进入者选择不进入，即0y =； 当 1 2(1)p x =时，进入者选择混合策略( ,1)yy，0,1y。 求解贝叶斯博弈的均衡（贝叶斯博弈纳什均衡）就是要寻找到这样一组 ( , )x y，使得x是低成本在位者的最优策略；同时，给定进入者对于在位者的类 型判断p以及参与人的策略，y是进入者的最优策略。例如，对于任何p，策略 组合(0,1)xy=是一个均衡 （即在位者不建厂， 进入者进入） ； 当且仅当 1 2 p 时， 策略组(1,0)xy=构成一个均衡（低成本在位者建厂，进入者不进入） ；此外， 还有一个混合策略均衡 11 2(1)2 (,) p xy =。 Harsanyi 转换 对于贝叶

10、斯博弈，Harsanyi(1967，1968)给出了一种模拟和处理此类博弈的 方法。即引入自然(Nature)作为一个参与人。在前述行业博弈的例子中，在位者 成本类型的有先验概率( ,1)pp，可以视为自然首先行动，以混合策略( ,1)pp 选择在位者的成本类型。然后，在位者观察到自然的选择，而进入者未能观察到 自然的选择。接着在位者选择建厂或不建厂，进入者选择进入不进入。 Harsanyi 转换使不完全信息博弈转换成不完美信息博弈进行分析。 转换之后 的博弈如下（图 7.3） ： 图 7.3 Note: (1)逆向归纳已经没有用；(2)Harsanyi 转换克服了递阶期望问题。 72 不完全

11、信息博弈：基本概念 72 不完全信息博弈：基本概念 称参与人的私有信息（private information）为其“类型”(type)。许多情况 下，参与人的类型由其赢利函数决定，因此常将赢利函数等同于其类型。 用 i 表示参与人i的一个特定类型， i H表示参与人i所有可能类型的集合， 即 ii H，称 i H为参与人i的类型空间，1,2,in=?。 不同类型的参与人往往具有不同的行动空间，即i的行动空间 i A随其类型 i 而变化，即( ) iii AA=。比如，企业选择产量（产量是其行动空间）的范围倚赖 N 进入者进入者 进入者 在位者 在位者 进入者 高成本 p 低成本 1p 建厂

12、x=0 进入 进入 进入 进入 不进入 不进入不进入 不进入 (0，-1) (2，0) (2，1)(3，0) (1.5，-1)(3.5，0) (2，1) (3，0) 不建厂 1-x=1 不建厂 1-x 建厂 x 于其成本函数。而给定其他参与人任何一种策略组合，参与人i有最优的反应行 动 * i a，而此时最优行动 * i a也将因参与人类型不同而可能不同，即 *( ) iii aa=。 对于参与人i，她不知道其他人的类型。当她采取任何行动( ) iii aA时，对 于其他所有参与人i的任一可能的类型组合 111 ( ,) iiin + =?，若给定 其他参与人类型与其最优行动 j a的一个对应

13、组合 *( ),1,2, jj aji jn=?，参与 人i的赢利为 () * 11 ( ),( ),(), iiinni u aaa? 假定，其他参与人的类型组合刚好为 i 的概率为P(|) iii 。假设博弈开始 前参与人对 1, , n ?的分布具有共同的信念，可记联合概率 1 ( ,) in P?为任一参 与人i的先验信念。显然，P(|) iii 实际上就是参与人i观察到自身类型 i 后对 其他人刚好面临类型组合 i 的概率推断，它实际上是一个条件概率： ( ,) P(|) ( ) ( ,) (,) jj ii iii i ii ji H P P P P = = 上述公式即概率论中的B

14、ayes公式。 因为i并不知道 i ，因此我们假设她最大化不确定条件下的期望赢利。i的 期望赢利可根据V-N-M预期效用函数刻画如下： () * ( )P(|)(), i iiiiiiiii E uu aa = 参与人i的行动目标是最大化( ) i E u，其最优行动满足 () * () arg maxP(|)(), iii i iiiiiiiii aA au aa 1,in=? 显然， * i a将是类型依存的，即 *( ) iii aa=。 Harsanyi公理公理：假定概率分布函数 1 ( ,) n P?是所有参与人的共同知识。 这一公理表明参与人关于自然行动的理念是一样的。 Defin

15、ition: （n人静态Bayes博弈）参与人类型空间, in HH?；条件概率 1, , n PP?； 策略空间 11 ( ),() nn AA?； 赢利函数 1111 (,),(,) nnnn u aau aa?。 i知道 i 。则一个n人静态Bayes博弈可由四元组 , , , GAP u=表示。 博弈的顺序为： 自然N选择 1 ( ,) n =?， ii H；参与人i观察到 i ，但不能观察到 j ， ji，但i知道(|) iii P n个参与人同时选择行动(策略)1 1 (,) n aaa=?，( ) iii aA 1 请注意，这里是静态博弈，行动和策略被看作是一回事。 i得到赢利 1 (,) ini u aa? Note: 这个定义并不排除局中人j可能获取i类型的某种信息。譬如当所有 人的类型空间只有一个元素时，不完全信息静态博弈就退化成完全信息静态博 弈。 Definition: （n人静态Bayes博弈的纯策略纳什均衡纯策略Bayes纳什 均衡）n人静态Bayes博弈 , , , GAP u=的纯策略Bayes纳什均衡是一个类型依 存的策略组合 * 1 ( ) n ii i a = ，满足 (