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1、第一章 三維歐氏空間中的張量目录：习题1.1 正交坐标系的转动1习题1.2 物理量在空间转动变换下的分类6习题1.3 物理量在空间反演变换下的进一步分类8习题1.4 张量代数12习题1.5 张量分析18习题1.6 Helmholtz定理31习题1.7 正交曲线坐标系35习题1.8 正交曲线坐标系中的微分运算38习题1.1 1、 设三个矢量形成右（左）旋系，证明，当循环置换矢量的次序，即当考察矢量时，右（左）旋系仍保持为右（左）旋系。证明：， 对于右旋系有V0. 当循环置换矢量次序时， 。（*） 所以，右旋系仍然保持为右旋系 同理可知左旋系情况也成立。 附：（*）证明。由于张量方程成立与否与坐标
2、无关，故可以选取直角坐标系，则结论是明显的。 2、 写出矢量诸分量在下列情况下的变换矩阵：当Cartesian坐标系绕z轴转动角度时。解：变换矩阵元表达式为 故 3、 设坐标系绕z轴转角，再绕新的y轴（即原来的y轴在第一次转动后所处的位置）转角，最后绕新的z轴（即原来的z轴经第一、二次转动后所处的位置）转角；这三个角称为Euler角。试用三个转动矩阵相乘的办法求矢量诸分量的在坐标轴转动时的变换矩阵。解：我们将每次变换的坐标分别写成列向量， 则 绕-轴转角相当于“先将坐标系的-轴转回至原来位置，再绕原来的y-轴（固定轴）转角，最后将y-轴转至-轴的位置”。因而 同理有 易知： ， /上面的解答让
3、人疑惑。就结论本身让人觉得没有什么物理意义，分别绕原来的z轴，y轴，z轴转动怎么可能呢？且绕y轴转角等效于绕原来y轴转角，怎么说？ 实际上， 而， 就直接可以得到：这个结果与物理学中的数学方法F.W.拜伦 R.W.福勒 著（P12） 结果一致（上面运算结果由Matlab验算过）4 设、与是矢量的Cartesian坐标，则 称为矢量a的循环坐标。设坐标系作一有限转动R()，这里是相应的Euler角，试写出矢量诸循环坐标系转动时的变换矩阵。解：由题意得： （1） 所以坐标变换后，经变换矩阵D变为，即 （2）又 ，所以 （3）所以由（2）、（3）得最后得详细步骤：（结果经Matlab验算，正确）因此
4、三四两题课本给出答案均无误。5、试证坐标系作无限小转动的变换矩阵可写成I，其中是反对称矩阵，而I是二阶单位张量；并指出的几何意义。证：为了清楚起见，我们先用矩阵语言证明是反对称矩阵：由于长度是转动变换不变量，于是，故是反对称矩阵（上面，）下面用分量语言证明：处理时，要特别小心行向量和列向量，因为这在分量语言中是看不出来的。为了以示区别，由于是做无限小转动，所以可以写成： （1）又由于 （长度是旋转不变量） （2） 所以，由于的任意性，可得到=0即 即，为反对称矩阵的矩阵元若不加以区分，很容易得到这样一个错误的结论：虽然哑指标可以任意的换字母，但是那里面的在两个项中是不一样的（有行向量和列向量的
5、区别）由此可将（1）（2）两式写成矩阵形式， （ I为二阶单位矩阵，的元为之前的，即是反对称矩阵）引入矢量，使，其中为三阶全反对称张量，则因为恒等式得 则 （3）结合（1）式右边，得出由此可知为坐标系所做的无限小角转动的角位移。同时，由 ，及可知，的所以本身是矢量与的标积，其大小就是无穷小角位移在j方向上的分量的大小应该说，这个题目的另一意义在于对叉积可以变成点积运算：，可惜的这只能在三维空间中成立，关键是只在三维空间中成立。不过也没什么，叉积本身只在三维空间中有通常意义。6、试证三维空间的转动变换（1.1.4）矩阵的矩阵元满足关系式（1.1.20）与（1.1.22）证：由表达式（1.1.4）
6、得 坐标的转动变换： （1） 则， 此即（1.1.20） 式将（1）式两边同时乘以，并对指标i求和 （2） 由 得 可得正交关系 （3） 代入（2）式可得即,从而此即（1.1.22）式。习题1.2在空间转动变换下1 若是一个二阶张量，是一个矢量，则也是一个矢量。证： 因为： 所以故为一矢量2 若是一个矢量，证明是一个二阶张量。证：因为所以,为二阶张量3 若是一个二阶对称张量，是一个二阶反对称张量，则。解：故原题得证。4证明二阶张量的对角分量之和是一个标量。 解：设二阶张量的对角量之和为： 经过一转动变换后： 而：，所以： 上式表明是一个标量。5证明：习题1.31 证明：构成右（左）旋系三个矢量
7、、在空间反演变换后成为左（右）旋系。证明：对于右旋系来说， 空间反演变换后， ，变为左旋系。 同理可证左旋系变为右旋系的情况。2若是一个二阶张量，是一个二阶赝张量，则是一个赝标量。证明：在空间反演变换下， 而只有一个值，故是一个赝标量。3证明：当坐标系旋转或偶数个坐标轴反向时，变换行列式等于1；当奇数个坐标轴反向时，变换行列式等于。证明：对坐标系旋转来说， 由坐标旋转的连续性，的值要么保持不变，要么连续变化由于开始时，显然， 所以始终等于1 或者这样理解：做两次转动，可以看作一个转动变换，所以始终等于1对坐标轴反向来说，其变换行列式形式为： ，表示1或。偶数个坐标轴反向时，有偶数个，其值为1；
8、当奇数个坐标轴反向时，有奇数个，其值为。得证。4. 设是笛卡儿坐标，求当空间坐标系作旋转与反演变换时诸体积积分的变换规律，式中是一个标量函数解: 空间坐标系做旋转变换时,有 其中（是转动矩阵）所以做反演变换时,有5. 使用两矢量的循环分量表示它们的标积（点乘）与矢积（叉乘）；并用球谐函数表示矢径的诸循环分量。解: 由,，因此，A就是变换矩阵，于是我们可得基坐标公式：于是因此： 即有,注意： 是不成立的，因为上式是在直角坐标系中推出的，有赖于直角坐标系的一些特殊性质预先如上面，先计算出方向向量的点积即可或者：求出A-1即可得到 6.证明:对(1.3.16)有对哑指标求和,此时有,且有令中,令中,
9、合并后有得证.对(1.3.17)由(1.3.16)有,此时有,故有故习题1.4 1证明：证明： 且 所以，2将下述量写成矢量表达式1） 2）解：1）2)关键一点:若是点乘：找脚标相同的；若是叉乘：找，按顺序，3设I为二阶单位张量，试证： 证明：先验证恒等式 （*）方程两边同乘以得 上式只是证明了当i=j时是成立的当时，左边为0， 对于右边：因为，所以当时，必有（此时j必与某个脚标相同） 所以右边也等于0 当时，i必与m,n,l中的某一个形同，不妨设为m。而m,n,l互不相同，若不然为0；所以右边等于（*）两边同乘以得：即 证毕。4证明：若对任意矢量，是一个标量（或赝标量）；则是一个矢量（或轴矢
10、量）。若对任意轴矢量，是一个标量（或赝标量），则是一个轴（或极）矢量。证： 先证明是矢量。 在空间转动下，由是标量可知： 又是极矢量， 所以， 即 所以，是矢量 当空间反演变化时， 由于是标量， 即 所以，是极矢量同理可证，其它三种情形5证明：证明：6证明： 证明：1）2）由第一问可得: 3) 4) 7证明： 证明：1）2）3） 但是，（因为n矩阵内容不变，所以可以交换） 而是两两反对称的，所以A只能为零4）不错的证明！当然，也可以实际计算：，写出关于n的各阶张量，逐个检验分量。工作量很大，也比较烦。8、 证明：以下假定1.42式已证利用是常矢量，可以提出平均符号外1).2).3).4).5).=6).=7).=9、证明： 证明：10、证明： 证明：先证： 证明如下：再证： 所以有上面普遍处理了一个基本式：与一般的两向量的矢量积比较，就是k分量由标量变为矢量。所以只要处理好位置就可以了。并且我们可以得到一个更强的结论：，T是对称的二阶张量这其实是很显然的，因为叉乘只涉及一个指标，对左边，只涉及第一个指标，对右边只涉及第二个指标，而由于T的对称性，行向量等于列向量，即第一个指标和第二个指标等同，因此结论成立。可想而知，对点乘也应成立，但是这里有一个细节
