一个以学童数学认知为基础小学教师数学专业发展模式

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1、一個以學童數學認知為基礎的小學教師數學專業發展模式 林碧珍 國立新竹師範學院數理教育系 摘 要 本研究在於建立一個以學校為中心的小學教師數學專業發展模式。此教師專業 發展模式的建立，目的在於發展數學教師之學生數學認知知識，以協助教師對學生 學習有更多的瞭解，並能提昇教師在數學課室內教學實踐的能力。本研究以協同行 動研究的方式在新竹市頂埔國小成立一個以學校為中心的數學專業成長團體，此團 體的主要成員為研究者和六位小學數學教師。每週一次兩個半小時的數學成長團體 討論會是教師們製造與討論數學教學實踐相關問題的場所；是我們共同解決問題、 、 大家一起學習、共同分享經驗的時間。本論文主要在描述此數學專業

2、成長模式教師 所從事的認知活動、教師在教室現場的數學教學中所遭遇與學童學習相關的問題； 並闡述用以協助這群教師解決教學實踐的問題之背後所依循的學童數學認知相關的 理論。曾經在成長團體討論會上所討論的議題並尋求解決的有：具體活動、表徵活 動、抽象運思活動的區分；一年級兒童發表解題過程的分組實施；算式提早出現的 處理；避免兩步驟問題記錄成 52734 的教學策略；此成長團體幫助教師建 立與兒童數學學習相關的認知，諸如：一年級兒童在添加型的情境並不將 437 和 347 視為一樣；一年級兒童無法理解以 ”像蹺蹺板 ” 來解釋等號的 意義。 關鍵詞：數學專業發展模式 協同成長團體 協同行動研究 一、研

3、究背景一、研究背景 國民小學數學課程標準已於民國八十二年由教育部公佈教育部，民 82，並 於八十五年九月起全面實施，八十二年課程除延續民國六十四年課程的特色外，在 數學教育目標與教學方法上作了突破性的改變，以因應時代之變遷、社會之需要， 並落實人本教育所倡導之以兒童為本位之教育理念。 八十二年課程和六十四年課程最大的相異點是數學課室內培養兒童的解題文 化 ，兒童被視為是教室中社會互動的主要活動者，是數學課室內共同合作的學習者 而非競爭者；教師是解題活動的佈題者或討論的促進者而非解題者 。這 次數學課程改革，強調教室內以學生為主體的文化，教師必須拋棄沿襲已久的權 威者的角色，教師本身由教室中的主

4、體轉為客體，學生由過去的客體成為學習環 境的主體。這一波數學課程的改革，教師們所面臨的不僅是專業知識與能力的挑戰 ，而且還要調適自己由主為賓的角色所帶來在心理上的衝突與矛盾。由於教師 必須改變自己習慣的教學生活方式，去面對課程改革的不確定性、焦慮、和恐懼， 對教師而言，是一種很大的挑戰；另外，這次的數學課程改革，對於許多老師而言 不夠明確，所倡導的教學方法備感複雜；課程的設計改變太大，與教師原有的專業 知能相去太遠，這些都影響數學課程改革的落實（蕭昭君，民 87） 。 當前的在職教育，不管是課程改革之前或之後，皆未讓教師充分的了解自己在 課程改革中所應扮演的角色，教師沒有充分的認識與自我調整就

5、被迫在教室現場使 用新課程，而降低課程改革的品質。為提昇課程改革的品質，再教育（re-education ）和再社會化（re-socialization）是教師在職教育的兩個主要領域（Patterson Webb, 1990。行動研究能用於 學校與教室，主要是它能加強教師的自我知覺能力及批判能力Cohen Riley et al., 1983; Verschaffel, et al., 199 2; Lin, 1997。 Riley 等人1983以問題的語意結構將加減法文字題分成改變change、併 加combine、比較compare三種類型。Carpenter1985再增加平衡類equ a

6、lize而將加減法文字題分為四類， 【平衡】類是【改變】和【比較】類的混合型。 【改變】類型的問題是由一個已知的數量最初量經過一個數量的增加或減少的 行為改變改變量，而形成另一個數量最終量的問題。由於最初量的增加而 形成另一個變為較多的數量，由於最初量的減少而形成另一個變少的數量。Carpente r 特別再細分改變類的添加join和分離separate二種類型, 分離型的問題 就是我們熟悉的拿走型問題。 【比較】類型是比較兩個數量多寡的問題，由於在 比較此兩個數量的多寡涉及到何者為比較量Compared set，何者為參照量refer ent set，而區分為比多 比少兩種類型。 【併加】類

7、型問題是描述兩個已知數 量合起來總量的問題。每一種類型可再依未知數的位置而區分為三種題型，今將合 成分解問題依語意結構和未知數的位置的所有類型整理於表一。 表一 合成分解文字題類型及其答對百分比 類型最終量未知最終量未知Riley 1981 Pauwels 1987 呂玉琴 民 86 改變量未知Riley 1981 Pauwels 1987 呂玉琴 民 86 最初量未知Rrilay 1981 Pauwels 1987 呂玉琴 民 86 改變類 添加型 小華有 5 顆彈珠， 小明給他 3 顆，小 華現在有幾顆彈珠 ？ 100一 100二 100三 97二 93一 96二 小華有 5 顆彈珠，小明

8、 給他一些彈珠後，小華 現在有 8 顆彈珠，小明 給小華幾顆彈珠？ 56一 100二 100三 67二 81一 87二 小華有一些彈珠，小明 給他 3 顆彈珠後，小華 現在有 8 顆彈珠，小華 最初有幾顆彈珠？ 28一 80二 95三 43二 73一 88二 改變類 拿走型 小華有 8 顆彈珠， 他給小明 5 顆後， 小華剩下幾顆彈珠 ？ 100一 100二 100三 88二 78一 92二 小華有 8 顆彈珠，他給 小明一些彈珠後，剩下 3 顆，他給小明多少顆 ？ 78一 100二 100三 83二 78一 91二 小華有一些彈珠，他給 小明 5 顆後，剩下 3 顆 ，小華原有多少顆彈珠 ？

9、 39一 70二 80三 78二 83一 89二 總集合未知子集合未知子集合未知 併加類 小華有 5 顆紅色彈 珠和 3 顆藍色彈珠 ，小華共有多少顆 彈珠？ 100一 100二 100三 83二 95一 97二 小華有 8 顆彈珠，其中 有 5 顆是紅色的，其餘 是藍色的，小華有多少 顆是藍色彈珠？ 39一 70二 100三 98二 68一 88二 小華有 8 顆彈珠，其中 有些是紅色的，其餘的 5 顆是藍色的，小華有 多少顆紅色彈珠？ 差量未知參照量未知比較量未知 比較類 比多 小華有 8 顆彈珠， 小明有 5 顆彈珠， 小華比小明多多少 顆彈珠？ 28一 85二 100三 79二 72一

10、 90二 小華有 8 顆彈珠，小華 比小明多 3 顆彈珠，小 明有多少顆彈珠？ 11一 65二 75三 46二 73一 85二 小華有 5 顆彈珠，小華 比小明多 3 顆彈珠，小 明有多少顆彈珠？ 17一 80二 100三 47二 58一 79二 比較類 比少 小華有 8 顆彈珠， 小明有 5 顆彈珠， 小明比小華少多少 顆彈珠？ 22一 75二 100三 78二 82一 93二 小華有 8 顆彈珠，小華 比小明少 3 顆彈珠，小 明有多少顆彈珠？ 6一 35二 75三 38二 66一 87二 小華有 5 顆彈珠，小華 比小明少 3 顆彈珠，小 明有多少顆彈珠？ 28一 90二 95三 44二

11、 58一 72二 註：Pauwels1987（取自 DeCorte Riley, 1981。 小華有一些彈珠 ，小明給小華 3 顆後，小華現在有 8 顆彈珠，小華最初有幾顆彈珠？是一個改變 類添加型最初量未知的問題情境。從語意結構上，小明給小華 3 顆彈後，使得 小華的量增加了，兒童使用的對應策略是往上累加的策略。而實際上在數學格式化 的要求下，卻反而需轉換為最終量減去改變量，才能得到最初量。如果兒童的發展 時期尚處於完全仰賴題目中的增加或減少的語意來掌握數量間的關係，尚未能進行 最初量和改變量合成為最終量和最終量能分出最初量和改變量之間的可逆 關係，兒童僅能將問題記錄成 38，但尚無法轉換成

12、 835 的列式記錄 。 在【比較】類型中，問題中未知數所在的位置愈在前面，並不是決定問題難度 的主要因素，參照量未知是比較類型問題中最困難的類型。問題的難度增高是 由於受到題目中的敘述語詞的不一致性的影響Lewis Verschaffel, et al., 1992; Verschaffel, 1994; Lin, 1997。一致性語言的比較類型問題定義為當題目中 的未知數是關係句中的主詞而且關係詞與運算符號相一致。 小明有 5 顆彈珠，小華 比小明多 3 顆彈珠，小華有多少顆彈珠？是一個具有一致性語言的比較型問題， 小華的彈珠數量是未知數，小華是關係句子中的主詞，而且比多與加法相 對應，在

13、表一中是屬於比較類型的比較量未知。不一致性語言的比較類型問題為當 題目中的未知數是關係句中的受詞，而且關係詞與運算符號不一致。 小華有 8 顆彈珠，小華比小明多 3 顆彈珠，小明有多少顆彈珠？為一個具有不一致性語 言的比較型問題，小明的彈珠數量是未知數，是關係句中的受詞，而且關係詞比 多是與減法運算有不一致的對應，在表一中是屬於比較類型的參照量未知 。 有關教師對於加減法文字題的認知，多次反應在數學成長團體的討論會上。從 多次的討論會中，可以看到教師們在加減法文字題認知上的成長，當比較教師初加 入成長團體的第一次討論會與在第一學期末實施教師對學生之加減法問題瞭解 之前後測，表二之資料顯示教師在

14、加入成長團體的活動之後能列出比較多的有關學 生在解決花園裡有紅花 15 朵，白花 21 朵，紅花比白花少幾朵？的方法和比較 能具體地說明學生解決問題的困難在哪裡，而且能提出更多的理由來解釋學生解題 困難的原因。在初入成長團體時，成員們提出學生能解決一個比少問題的策略 僅止於算式或只給答案；並僅能提出二個造成學生解題困難的原因： ”少” 對孩子 而言較為困難，題目中的敘述詞紅花比白花少幾朵與較多數量的白花無法互 相呼應。 從表二中問題一的資料顯示：教師們在加入成長團體後能提出學生更多的解題 方法，所列出的解題方法不僅是算式列式而且更包含了不同的表徵型式；再者，教 師們比較能清楚而具體地提出造成學

15、生學習困難的原因。他們認為學生解【比較】 類型的比少問題所遭遇的困難是由於：比較型問題是屬於比較高層次的加減 法文字題類型；誰比誰少比誰比誰多較為困難；題意和順序無法對應 ，在題目的敘述上，少的在前面多的在後面與題目中紅花比白花不容易對應。 表二 教師對學生之加減法問題瞭解 問題一：花園裡有紅花 15 朵，白花 21 朵，紅花比白花少幾朵？ 您認為兒童會出現哪些不同的解法？學生解這個問題的困難在哪裡？為什麼？ 【前測】兒童可能的答案造成學生學習困難的理由 惠惠 1152136 21521，6 32115，6 4計算錯誤 “少”對孩子而言較難 計算不熟練常出錯也是學習障礎 玲玲 136 26 35 不懂少幾朵的差別 一對一對應，沒有確實對應 蓉蓉 1152136 21521 321