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1、二次函数常见题型及解题策略,常用公式或结论,（5）中点坐标公式,（7）两直线平行的结论,（5）由特殊数据得到或猜想的结论,(2)几个自定义概念,A,B,P,L,第二问：最短距离问题,A,B,L,A,P,两点之间线段最短,A,B,P,|PA-PB|最大,L,A,B,P ,L,拓展：变动的两线段之差的最大值,三角形两边之差小于第三边,路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）,（1）如图，直线 ,点 在 上，分别在 、 上确定两点 、 ，使得 之和最小。,路径最值问题,路径最值问题,铅垂高法求面积,割补法求面积,A,B(1,0),C(0,-2),O,x,y,X=-1,(-3,0),P,求PBC的
2、周长最小值,A,B(1,0),C(0,-2),O,x,y,X=-1,(-3,0),P,x,O,P,E,D,y,C,A,(-3,0),(0,-2),DE/AC,例3：平滑定理及相似,A,C,B,D,L2,L1,平滑定理,SABC =SABD,x,O,P,E,D,y,C,A,(-3,0),(0,-2),SPED =SCED,几何模型,1.最短距离对称 （1）同侧和最小 （2）同侧差最大,2.面积的代数解法 （1）平滑定理 （2）割补法 （3）铅垂高法,已知：抛物线y=ax2+bx+c（a0)的对称轴为 x=-1,与x 轴交于A ,B 两点，与y 轴交于点 C,其中A(-3,0） 、C（0，-2）
3、（1）求这条抛物线的函数表达式 （2）1.已知在对称轴上存在一点P，使得 PBC的周长最小请求出点P的坐标 2.若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O、点C重合）过点D作 DE/PC交x 轴于点 E,连接PD 、PE 设CD 的长为m ，PDE 的面积为S 求S 与m 之间的函数关系式试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由,在平面直角坐标系中求面积的方法,直接用公式、割补法,近几年命题分析,2010年,近几年命题分析,2011年,近几年命题分析,2012年,函数的交点问题,函数的交点问题,方程法,（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度 （2）表示：用含同一未知
4、数的式子表示其他相关的数量 （3）列方程或关系式,1.求证“两线段相等”的问题,、“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题,3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题,4、“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离最大”的问题,5.常数问题,6.“在定直线（常为抛物线的对称轴，或x轴或y轴或其它的定直线）上是否存在一点，使之到两定点的距离之和最小”的问题,7.三角形周长的“最值(最大值或最小值)”问题,8.三角形面积的最大值问题,三角形面积的最大值问题,9.“一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”,由于该四边形有三个定点，从而可把动四边形分割成一个动三角
5、形与一个定三角形（连结两个定点，即可得到一个定三角形）的面积之和，所以只需动三角形的面积最大，就会使动四边形的面积最大，而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同。,10、“定四边形面积的求解”问题,有两种常见解决的方案： 方案（一）：连接一条对角线，分成两个三角形面积之和； 方案（二）：过不在x轴或y轴上的四边形的一个顶点，向x轴（或y轴）作垂线，或者把该点与原点连结起来，分割成一个梯形（常为直角梯形）和一些三角形的面积之和（或差），或几个基本模型的三角形面积的和（差）,欣赏压轴题：,已知抛物线yax2bxc经过A(1，0)、 B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的
6、对称轴 (1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P是直线l上的一个动点， 当PAC的周长最小时，求点P的坐标； （3）在直线l上是否存在点M，使MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由,解：（1）A(1，0)、B(3，0)在抛物线yax2bxc上， 可设抛物线为ya（x1）（x3）. 又C(0，3) 在抛物线上， 代入，得3a（01）（03），即a=1. 抛物线的解析式为y（x1）（x3）， 即yx22x3. 如解图，连接BC，直线BC与直线l的交点为P, 则此时的点P，使PAC的周长最小.设直线BC的解 析式为ykxb，将B(3，0)，C(0，3)代
7、入，得： 解得：. 直线BC的函数关系式yx3. 当x=1时，y2，即P的坐标(1，2).,（3）存在，点M的坐标为(1，)，(1，)，(1，1)，(1，0). 理由如下： 抛物线的对称轴为： x=1，设M(1，m). A(1，0)、C(0，3)， 根据勾股定理可得MA 2m 24，MC 2m 26m10，AC 210. 若MAMC，则MA 2MC 2，得：m 24m 26m10，得：m1. 若MAAC，则MA 2AC 2，得：m2410，得：m. 若MCAC，则MC 2AC 2，得：m 26m1010，得：m0，m6， 当m6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去. 综上可知
8、，有符合条件的M点，且坐标为(1，)，(1，)，(1，1)，(1，0).,探究二 二次函数与四边形的结合,第41课时 二次函数与几何综合类存在性问题,图412,考向互动探究,第41课时 二次函数与几何综合类存在性问题,解,考向互动探究,第41课时 二次函数与几何综合类存在性问题,考向互动探究,第41课时 二次函数与几何综合类存在性问题,(1)图中已知抛物线上几个点？ 将B、C的坐标代入求抛物线的解析式； (2)画出四边形POPC，若四边形POPC为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，由此能求出P点坐标吗？ (3)由于ABC的面积为定值，求四边形ABPC的最大面积，即求BPC的最大面积,例题分
9、层分析,解题方法点析,求四边形面积的函数关系式，一般是利用割补法把四边形面积转化为三角形面积的和或差,考向互动探究,第41课时 二次函数与几何综合类存在性问题,探究四 二次函数与圆的结合,图414,考向互动探究,第41课时 二次函数与几何综合类存在性问题,解,考向互动探究,第41课时 二次函数与几何综合类存在性问题,考向互动探究,第41课时 二次函数与几何综合类存在性问题,考向互动探究,第41课时 二次函数与几何综合类存在性问题,(1)已知抛物线上的哪两个点？设经过A、B、C三点的抛物线解析式是ya(x4)(x1)，如何求出C点坐标？ (2)怎么求出顶点M的坐标？ (3)若直线MC与P相切，如
10、何去求证？,例题分层分析,解题方法点析,用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理及勾股定理的逆定理，解二元一次方程组，二次函数的最值，切线的判定等知识点的连接和掌握，能综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键,考向互动探究,“两个三角形相似”的问题,不知道是否有一个角相等的情形： 这种情形在相似性中属于高端问题，破解方法是，在定三角形中，由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度，用观察法得出某一个角可能是特殊角，再为该角寻找一个直角三角形，用三角函数的方法得出特殊角的度数，在动点坐标“一母示”后，分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等，借助于特殊角，为动点寻找一个直角
11、三角形，求出动点坐标，从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了，只需再验证已知角的两边是否成比例？若成比例，则所求动点坐标符合题意，否则这样的点不存在。简称“找特角，求（动）点标，再验证”。或称为“一找角，二求标，三验证”。,2.、“某函数图象上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题,首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点。（若某边底，则只有一种情况；若某边为腰，有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况）。先借助于动点所在图象的解析式，表示出动点的坐标（一母示），按分类的情况，分别利用相应类别下两腰相等，使用两点间的距离公式，建立方程。解出此方
12、程，即可求出动点的横坐标，再借助动点所在图象的函数关系式，可求出动点纵坐标，注意去掉不合题意的点（就是不能构成三角形这个题意）。,3、“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题,这类问题，在题中的四个点中，至少有两个定点，用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标（若有两个动点，显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标），任选一个已知点作为对角线的起点，列出所有可能的对角线（显然最多有3条），此时与之对应的另一条对角线也就确定了，然后运用中点坐标公式，求出每一种情况两条对角线的中点坐标，由平行四边形的判定定理可知，两中点重合，其坐标对应相等，列出两个方程，求
13、解即可。,3、“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题,进一步有： 若是否存在这样的动点构成矩形呢？先让动点构成平行四边形，再验证两条对角线相等否？若相等，则所求动点能构成矩形，否则这样的动点不存在。 若是否存在这样的动点构成棱形呢？先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边相等否？若相等，则所求动点能构成棱形，否则这样的动点不存在。 若是否存在这样的动点构成正方形呢？先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边是否相等？和两条对角线是否相等？若都相等，则所求动点能构成正方形，否则这样的动点不存在。,第41课时 二次函数与几何综合类存在性问题,探究三 二次函数与相似三角形的结
14、合,图413,考向互动探究,第41课时 二次函数与几何综合类存在性问题,解,考向互动探究,第41课时 二次函数与几何综合类存在性问题,考向互动探究,第41课时 二次函数与几何综合类存在性问题,考向互动探究,第41课时 二次函数与几何综合类存在性问题,考向互动探究,第41课时 二次函数与几何综合类存在性问题,(1)将_代入yax22axc，求出抛物线的解析式； (2)根据_的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式； (3)根据抛物线和直线AC的解析式如何表示出点P、点M的坐标和PM的长？ (4)由于PFC和AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和AEM相似时，分两种情况进行讨
15、论：PFC_，PFC_,例题分层分析,考向互动探究,4、“抛物线上是否存在一点，使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题,先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标，分别表示（如果图形是动图形就只能表示出其面积）或计算（如果图形是定图形就计算出它的具体面积），然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程，解之即可。（注意去掉不合题意的点），如果问题中求的是间接动点坐标，那么在求出直接动点坐标后，再往下继续求解即可。,5、“某图形直线或抛物线上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三角形”的问题,6、“某图象上是否存在一点，使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题,7、“题中含有两角相等，求相关点的坐标或线段长度”等的问题,题中含有两角相等，则意味着应该运用三角形相似来解决，此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口。,18.“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下，题中又含有某动图形（常为动三角形或动四边形）的面积为定常数，求相关点的坐标或线段长”的问题,（此为“单动问题”即定解析式和动图形相结合的问题，本类型实际上是
