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1、1,13 理论发展：混合战略和均衡的存在性,13A 混合战略,纳什均衡不存在的例子,“猜硬币”博弈不存在纳什均衡.猜硬币博弈一个非常,突出的特点是每个参与者都试图能先猜中对方的战略,在博弈中,一旦每个参与者都竭力猜测其他参与者的,2,战略选择,就不存在纳什均衡(至少不存在第11C节,不确定的,而博弈的结果必然包含这种不确定性.,所定义的纳什均衡）,因为这时参与者的最优行为是,3,表示对所有参与者 选择战略 的概率，,4,下面定义混合战略纳什均衡,5,对于任何给定的战略组合,收益函数取值确定.而混合,战略中, 参与者的收益是不确定的,他们关心的是他们,的期望收益.用 表示参与者 的期望,收益.其
2、中 代表混合战略组合，,代表除 之外的战略组合，,因此期望收益可以定义为：,6,定义：在 个参与者博弈的战略式表述,中, 混和战略组合 是一个纳什,均衡.如果对于所有的 下式成立：,代表 的混合战略空间.,混合战略的一个应用,他的最优反应战略会是 。如果引入混合战略，就可以,7,参与者1,证明其逆命题：如果（针对其他参与者的战略选择）,参与者2,参与者1,参与者2,图 1.3.1,图 1.3.2,8,对于参与者2的任何一个混合战略 ，1,的最优反应要么是 要么是 ，但不会是 。其中,参与者2选择 的概率为 ，选择 的概率为 。,容易得出当 时，参与者1选择 ；当 时,参与者1选择 。因为当 时
3、的期望收益为 。,由此说明 的混合战略严格优于纯战略 。,9,此博弈无纯纳什均衡.,猜硬币博弈,但却有混和战略纳什均衡.,令( q, 1- q )为参与人2的一个混合战略，q为选择,正面的概率， 1- q为参与人2选择反面的概率. 则,参与人1选择正面的期望收益为：,10,参与人1选择反面的期望收益为：,如果,即,则参与人1选择正面.,如果,即,则参与人1选择反面.,则参与人1选择正反面无差异.,如果,即,以上分析同样适合参与者2，于是，该博弈的,11,混合战略均衡为,该博弈混合战略纳什均衡的一般解法：,令( q, 1- q )为参与人1的一个混合战略，q为选择,正面的概率， 1- q为参与人
4、1选择反面的概率；,令( r, 1- r )为参与人2的一个混合战略，r 为选择,正面的概率， 1- r 为参与人2选择反面的概率.,参与人1的期望收益为：,参与人1的混合战略,应满足：,12,对函数,关于q 求导数，并令导数,等于0 得,同理可求混合战略纳什均衡时参与人2的混合战略,所以，混合战略纳什均衡时，求参与人2的混合,战略为,也为,于是该博弈的混合战略纳什均衡解为,那么，博弈的结果是什么呢？,13,博弈双方要么选择正面，要么选择反面.,由此可见，,博弈的解不等同于博弈的结果.,注意：,在混合战略纳什均衡下，,参与人的纯战略,选择是无差异的.,也就是说选择任何纯战略都是最优的.,因此，
5、混合战略纳什均衡遭到人们的质疑！,显然，混合战略纳什均衡解要劣于纯战略纳什均衡解.,换言之，混合战略纳什均衡解作为对博弈结果的预测,远不如纯战略纳什均衡解对博弈结果的预测.,14,例131 社会福利博弈.在这个博弈里,参与者是,政府也有两个战略:救济和不救济.政府想帮助流浪汉,政府和一个流浪汉,流浪汉有两个战略:找工作和游荡:,但前题是后者必须试图寻找工作,否则,前者不予帮助,而流浪汉只有在得不到政府救济时才找工作.,这个博弈的收益矩阵如下:,15,这个博弈不存在纳什均衡（纯策略）.,16,就是说,在混合战略均衡中,流浪汉以0.2的概率选择,的概率选择找工作以0.8的概率选择游荡.,为什么解的
6、是政府的最优化问题,得到的却是流,浪汉的混合战略.,即政府选择纯战略救济(即 )的期望收益为,解释如下：给定流浪汉选择混合战略,选择纯战略不救济(即 )的期望收益为：,如果一个混合战略( )是政府的最优选择,17,那一定意味着政府在救济与不救济之间是无差异的,因此,如果 ,政府将选择不救济;如果,政府将选择救济;只有在 时, 政府才会选择,即：,混合战略或任何纯战略.,为了找出政府的均衡混合战略,需要求解流浪汉,的最优化问题, 给定政府和流浪汉的混合战略分别为,流浪汉的期望收益为：,18,最优化的一阶条件为：,我们可以对 做类似于对 所作的解释。,流浪汉的最优选择是游荡;只有当 时，流浪汉,此
7、博弈的混合战略纳什均衡的解为：,才会选择混合战略 ,或任何纯战略.,如果 ,流浪汉的最优选择是找工作;如果,所以，,例13A2 性别战博弈的混合战略,令 为帕特的一个混合战略，为选择歌剧的概,率,且令 为克里斯的一个混合战略,其中她选,择歌剧的概率为 .如果帕特的战略为 ，则,19,克里斯选择歌剧的期望收益为：,选择拳击的期望收益为：,当 时克里斯的最优选择为歌剧 ;当,时,克里斯的最优选择为拳击 ;当,时,克里斯可以任意选择拳击和歌剧.类似地分析克里,斯的情况,容易得出 .该博弈的混合战略均衡：,20,监察博弈,代理商为委托人干活，有两个战略选择：工作（w）与偷懒（S）若工作将使代理商花费g
8、，并获得委托人的付给他的工资w（g w）.如果这些信息为共同知识，两个局中人进行完全信息静态博弈.,为限制过多的各种应当考虑到的情况发生，不妨假设gh0.,21,博弈的收益矩阵如下：,委托人,代理商,该博弈不存在纯战略纳什均衡.,下面求该博弈的混合战略纳什均衡。,代理商的期望收益为：,22,为求纳什均衡,其实（2）式的左边就是代理商偷懒时的期望收益，,右边恰为代理商工作时的期望收益.也就是在纳什均衡,时，代理商工作和偷懒是无差异的.,类似地，通过求委托人的期望收益最大，,可以得到,23,在纳什均衡时，它使得委托人在检查与不检查无差异.,于是监察博弈的纳什均衡为,纳什均衡时委托人的期望收益为,对
9、纳什均衡时委托人的期望收益求最大值可得：,24,纳什均衡的存在性,定理(Debreu,;Glicksberg;Fan,1952),25,总结:纳什均衡概念是博弈预测的强有力工具,但,扰博弈论专家的一大难题,当一个博弈有多个均衡时,它也有不足之处.特别是博弈可能有多个均衡,一直困,一般很难确定应该出现那一个均衡.甚至在极端情况,下,不能使用纳什均衡.,按照纳什均衡概念,得均衡解为(U , L).但实际情况中,很可能不会是(U , L). 因为参与者1选择U的风险太大.,26,一旦参与者2犯错误或故意选择R ,参与者1的收益将,会是1000 ,而参与者2选择R ,参与者1的收益只是,损失了05,参与者1的损失巨大.所以参与者1应该选择,D ,以确保至少54的收益.实际结果很可能是(D ，L ),这就是博弈分析中的“稳健性”分析.,美国斯坦福大学威尔逊(Robert Wilson)教授在,1971年证明了下述定理:,奇数定理(The Oddness Theorem):几乎所有有限,博弈的纳什均衡个数有限,并且是奇数.,
