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1、第三章 三维转动群 3.0 李群简述 李群是一种连续群，每个群元可以用一组（m 个）独立的实参数描写，这些参数称为群参 数。这组参数可以在欧氏空间的某个区域内连 续变化，这个区域称为参数空间。 通常选取合适的群参数，使得 独立实参数的数目定义为连续群的阶，也是参 数空间的维数。 1. 参数空间内，群参数和群元一一对应 2. 单位元对应的群参数都为0 3. 群参数连续变化时，群元也连续变化 李群的群参数 群元乘法规则g(a)g(b)=g(c)可以通过群参数 a,b,c的函数关系体现：c=F(a;b) 群的乘法规则要求 当F(a;b)对于a和b是连续可微函数时，G为李群 当a和b为小量时 3.01
2、 李群的局域性质 无穷小元素 幺正变换算符 非无穷小群元 生成元 生成元反厄米 定义厄米生成元 X + i = Xi Ji= iXi= i g ai a=0 g(a) = eia iJi 生成元的对易关系 阿贝尔群 生成元彼此对易 非阿贝尔群 Jacobi恒等式 结构常数 Xi;Xj = C k ijXk Xi;Xj;Xk + Xj;Xk;Xi + Xk;Xi;Xj = 0 C k ij =C k ji; C l ijC n kl + C l jkC n il + C l kiC n jl = 0 3.02 李群的整体性质 连通性：群中任意两元素在参数空间中的对应 点，可以通过一条完全包含在群
3、空间内的路径 连接，则参数空间连通。这样的李群称为简单 李群；反之，混合李群。 混合李群一般由若干连通区域组成，每个连通 区域称为叶，恒元所在的连通区域对应的群元 素构成李群的不变子群，其余区域构成相应陪 集。 A B O A B 李群的整体性质 连通度：参数空间内，可以连续变化的曲线的 组数。 数学上已证明：若简单李群G为n度连通，则 一定同态于某单连通的李群G（1对n），G称 为G的覆盖群。覆盖群的真是表示是G的n值表 示。 紧致性：若参数空间为欧氏空间中包含边界的 闭区域，则紧致；若开区域，则非紧致。 紧致建立参数空间的积分将有限群对群元求 和进行推广。 群积分 对群元的求和变为对群参数
4、的积分 权函数W(r) 1 g X R2G ! Z dR ! Z drW(r) W(0) = W(r) Det Fi(a;r) aj a=0 3.03 有限群到紧致李群的推广 群表示的正交定理 特征标正交定理 Z dRDa (R)D b (R) = 1 na ab Z dRa(R)b(R) = ab 有限群到紧致李群的推广 线性表示等价于幺正表示 等价的幺正表示可以通过幺正的相似变换联系 实表示等价于实正交表示 可约表示完全可约。 不可约表示的充要条件 hji = Z dR(R)(R) = 1 ai= hiji = Z dRi(R)(R) 3.1 三维空间中的转动 三维欧氏空间中的位置矢量 R
5、为保持空间两点间距离不变的固有转动，全 部的R构成三维转动群。 以三维欧氏空间为表示空间，有实表示D D(R)组成三维幺模实正交矩阵群，称为SO(3) 群，是O(3)群的不变子群 r = 3 X i=1 xi ei r 0 = D(R) r;r0= r DT(R)D(R) = 1;DetD(R) = +1 R r ! r 0; 3.1.1 SO(3)的生成元 无穷小元素 M为反对称实矩阵 生成元 R = 1 + M = 1 + aiXi RTR = 1 ) M T = MM = 0 0zy z0x yx0 1 A = aiXi Xi= g ai a=0 Xx= 0 000 001 010 1
6、A Xy= 0 001 000 100 1 AXz = 0 010 100 000 1 A Xx= 0 000 001 010 1 A Xy= 0 001 000 100 1 A Xx= 0 000 001 010 1 A Xy= 0 001 000 100 1 A 厄米生成元 构造厄米生成元 对易关系 无穷小元素 非无穷小元素 Ji= iXi Jz= 0 0i0 i00 000 1 A Jx= 0 000 00i 0i0 1 A Jy= 0 00i 000 i00 1 A Ja;Jb = i X c abcJc R = 1 iwaJa= 1 iw n J R = eiw n J = R( n
7、;w) 绕坐标轴的转动 绕z轴转动w角 同样 R(ez;w) = eiwJz= 1 + (iwJz) + 1 2 (iwJz)2+ = 0 coswsinw0 sinwcosw0 001 1 A R(ex;w) = 0 100 0coswsinw 0sinwcosw 1 AR(ey;w) = 0 cosw0sinw 010 sinw0cosw 1 A 3.2 轴转动表示法 绕n轴转动w角 n为单位矢量，方位角为 转动角 w R( n;w) (;) 2 0; 2 0;2)x y z R( n;w) = R( n;2 w) n : ( ; + ) w 2 0; 3.2.1 三维转动群的类 绕n轴转
8、动w角 vs 绕n轴转动w角 绕不同轴转动相同角度的转动群元同类。 用转动角w标记类Cw ， 通常选取Cw 中的R(ez ,w)作为代表 R( n0;w) = R( n! n0)R( n;w)R( n0! n) R( n0! n) n0= n 互为逆元素 w 2 0; 3.2.2 三维转动群的基础表示 绕n轴转动w角 n轴的方位角 R( n;w) = R(ez! n)R(ez;w)R1(ez! n) (;) R(ez! n) = R(ez;)R(ey;) = S(;) y z x = 0 coscossincossin sincoscossinsin sin0cos 1 A 三维转动群的基础表
9、示 可以验证 特征标 R(n;w) =S(;)R(ez;w)S1(;) = 0 B n2 x(1 cosw) + cosw nxny(1 cosw) nzsinwnxnz(1 cosw) + nysinw nxny(1 cosw) + nzsinwn2 y(1 cosw) + cosw nynz(1 cosw) nxsinw nxnz(1 cosw) nysinwnynz(1 cosw) + nxsinwn2 z(1 cosw) + cosw 1 C A nx= sincos; ny= sinsin; nz= cos R( n;w) = eiw n J = eiw aJa (w) = 1 +
10、2cosw 3.2.3 轴转动表示法的参数空间 群参数 所有的矢量构成参数空间， (wx;wy;wz) = (w; n(;) =f wg w20; 20; 20;2) R( n;w) = R( n;2w) )R( n;) = R( n;) 参数空间的连通性 简单李群 a b 参数空间只有一叶参数空间只有一叶 a b 参数空间的连通度 路径1：无跳跃 a b 路径2：1次跳跃 a a R(n;) =R(n;) 路径3： 2次跳跃=没有跳跃 结论：根据跳跃次数的奇偶，有两类不同的 路径，所以SO(3)群连通度为连通度为2. aa 3.2.4 参数空间上的积分 参数空间 特征标的内积 f wg 1
11、g X R2G ! 1 22 Z 0 sin2 w 2 dw Z 0 sind Z 2 0 d hijji= 2 Z 0 dwsin2 w 2 i(w)j(w) 3.3 SO(3)群的欧拉角表示 绕n轴转动w角也可通过下述步骤实现 1. 绕z轴转动alpha角 2. 绕y轴转动beta角 3. 绕z轴转动gamma角 R(ez;) r = r 0; 0 2 R(e0 y;) r 0 = r 00; 0 R(e00 z;) r 00 = r 000; 0 2 R( n;w) = R(e00 z;)R(e 0 y;)R(ez;) = R(;) 写成绕固定轴转动的乘积 其中 特征标 参数空间上的积分
12、 R(;) = R(ez;)R(ey;)R(ez;) = 0 ccc ssccs sccs scc+ csscs+ ccss scssc 1 A c= cos;s= sin (;) = (1 + cos)cos( + ) + cos Z dR = 1 82 Z 2 0 d Z 0 sind Z 2 0 d 3.4 SU(2)群 二维幺模幺正矩阵 一般形式 全部的二维幺模幺正矩阵构成群，即SU(2) u = ab ba Det u = 1 u+u = uu+= 1 jaj2+ jbj2= 1 3.4.1 SU(2)生成元 无穷小元素 M为厄米矩阵 生成元 u = 1iM M + = M M =
13、zxiy x + iyz = wii i= M wi w=0 x= 01 10 y= 0i i0 z= 10 01 生成元 对易关系 令，有 SU(2)群元 i;j = 2i X k ijkk Ji= 1 2 i Ji;Jj = i X k ijkJk u = eiw aJa = eiw n J = ei w 2 n 生成元对易关系与 SO(3)群相同，意味着 二者的局域性质局域性质相同 3.4.2 SU(2)群的基础表示 二维幺模幺正矩阵的一般形式 特征标 用w标记类 u = ei w 2 n n : (sincos;sinsin;cos) (w) = 2cos w 2 u( nz;w) =
14、 eiw=20 0eiw=2 u = ei w 2 n n : (sincos;sinsin;cos) u = ei w 2 n n : (sincos;sinsin;cos) w20;2; 20; 20;2) = 122cos w 2 i( n)sin w 2 u = ei w 2 n n : (sincos;sinsin;cos) 参数空间 u的具体形式 参数空间的性质 w20;2; 20; 20;2) u = ei w 2 n = 122cos w 2 i( n)sin w 2 u( n;w) = u( n;4w) =u( n;2w) u( n;2) =122 2 参数空间的连通性和连通度
