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1、1 二次型及其矩阵表示,1. 二次型的引入与定义,考察在平面直角坐标系,的二次曲线的形状,作坐标变换(坐标轴逆时针旋转,得新坐标系,则同一点P在新老两种坐标系下坐标之间的关,系为:,下方程为,),若用向量语言即为,(1),于是将(1)式代入原方程,整理得,即,由此很容易判定该二次曲线为椭圆曲线.,自然会问:,从原坐标系,到新坐标系,的旋转角,是如何确定的?,本章正是从这个问题入手,引入“二次型”的概,念及其化标准形的方法.给出这类问题统一的解决方,新坐标系下方程如何容易,求出?,法.,再看二次曲线的一般方程:,该如何作坐标变换(如何选择旋转坐标轴的角度,代数语言即如何寻找满足要求的二阶方阵),
2、使得,从而判别原二次曲线的形状.,其方程形如,空间解析几何里面,在讨论二次曲面分类时,,线性替换化简一个二次齐次多项式,使它只含有平,也遇到向类似的问题,即将,通过坐标轴旋转化为 “标准型”(只含平方项,再通,过平方项前面系数的符号就可判别这个二次曲面的,大致上述问题,从代数的观点来看,就是用变量的,方项,对于一般的二次齐次多项式,我们有如下定义:,定义5.1 (二次型),设P是一个数域,一个系数在数域 P的,二次齐次多项式,称为数域P中一个n元二次型,简称二次型,2. 线性替换,为研究二次型,我们常常希望通过变量的线性,替换化简二次型,为此,我们引入“线性替换”:,我们看到:,称为由,到,的
3、一个线性替换,,定义5.2(线性替换),设,是两组文字,系数在,数域 P 中的一组关系式,或简称线性替换,如果系数行列式,那么该线性替换就称为是非退化的,线性替换也记为,非退化线性替换即为,其中,注 通常的坐标轴旋转是一种老坐标到新坐标,的非退化的线性替换.,(为什么?),二维的情形,若坐标轴逆时针旋转,则,但非退化的线性替换在几何上反映的并非都是坐标,轴旋转(保持长度单位不变),情况很复杂就是,哪些线性替换对应坐标轴旋转,这将在后面的欧氏,空间中加以讨论,3. 二次型的矩阵,令,则二次型可写成,其中,且 A 为对称矩阵,称(对称阵)A为二次型 f 的矩阵.,即,例1. 二次型,的矩阵为,命题
4、1,二次型和它的矩阵是相互唯一决定的,证明:,给定一个对称阵,显然由,确定的二次型,的矩阵为 A.,则,且,另一方面,若对称阵A和B均为二次型 f 的矩阵,,即若,4. 二次型的变量替换,设有从 X到Y 的非退化线性替换 X =CY,将二次,仍为关于,的二次型.,不妨设,的,矩阵为B,即,则,从而,思考:为什么要考虑非退化的线性替换?,一般的线性替换将二次型仍然变成二次型吗?,定义5.3 (合同,或称相合),数域 P上n阶方阵 A与B称为合同的(或相合),,如果有数域 P上n阶可逆阵C,使得,命题2,合同关系是一种等价关系即,(反身性)A与自身合同;,(传递性)若A与B合同,B与D合同,则A 与D合同.,(对称性)若A 与B合同,则B与A合同;,(反身性),(对称性)若 A 与B合同,,(传递性)若A与B合同,B与D合同,即存在可,从而B与A合同;,从而 A 与D合同.,证明:,综上所述,对于二次型,经过非,退化线性替换 XCY,,将原二次型变为关于Y 的二,次型,则 A与B合同,,反之,可以作非退化线性替换,又可将,“还原”成关于X的二次型,这是因为,这种“可逆”关系正是我们考虑非退化线性替换,的原因,它保证了前后两个二次型性质的一致性.,本节重点:,1 二次型的矩阵的写法,注意非平方项.,2 方阵之间的合同关系.,之间的关系.,3 二次型经过非退化线性替换前后两个对称阵,