动量矩定理

《动量矩定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《动量矩定理（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第十一章,动量矩定理,动量定理描述了物体的运动和力之间的关系, 但并不完整. 在运用动量定理时, 不能求力偶或力矩,运动量也不能涉及角速度和角加速度.,而动量矩定理描述了质点系或刚体的运动和力矩之间的关系. 这两个定理一并可完整地描述外力系与受力体运动之间的定量关系.,11 1 质点和质点系的动量矩,1. 质点的动量矩,质点对o点的动量矩矢在z 轴上的投影, 等于其对z 轴的动量矩.,2. 质点系的动量矩, : 定轴转动刚体对转轴的动量矩 如图示我们有:,JZ : 刚体对z 轴的转动惯量.,: 平动刚体的动量矩 刚体平动时, 可将全部质量集中于质心, 作为一个质点计算其对某一点或某一轴的动量矩

2、.,11 4 刚体对轴的转动惯量,刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的度量. 对比一下: 刚体的质量是刚体平动时惯性的度量. 所以, 不妨称刚体的质量为平动惯量, 以此强调一下这两种运动的不相容性.,在如图示的坐标系下, 刚体对三个坐标轴的转动惯量分别为:,定义式: 图中, 刚体对 z 轴的转动惯量,平行轴定理:刚体对于任意轴的转动惯量, 等于刚体对于通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量, 加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积.,这里的Jz 是刚体对过质心轴的转动惯量.,(0、0、zc ),证明:,常见简单形状物体的转动惯量见教材P267.,: (1) 笼统地说某刚体的转动惯量是没有意义的; 转动惯

3、量只有对确定的轴才具有力学意义. (2)所谓 确定的轴 并非仅指真实的转动轴, 只要具有空间的几何意义即可. (3) 同一刚体对于诸多的平行轴来讲, 以过其质心的轴之转动惯量最小.例一. 均质矩形板质量为m , 尺寸如图. 已知板对z2 轴的转动惯量为J2 . 试求板对z1轴的转动惯量.,例二. 已知图示均质三角形薄板的质量为m , 高为h . 求对底边的转动惯量Jx .,h,解: 设三角板的面密度为 , 底边长为a .由转动惯量的定义得,由三角形相似比可知,于是便有:,1. 质点的动量矩定理,11 2 动量矩定理( 对固定点),注意相应的坐标轴的投影式.,2. 质点系的动量矩定理 设有一个质

4、点系 mi i = 1、2、3; 任一个质点对同一固定点的动量矩定理是:,请注意写出相应的直角坐标投影形式,整个质点系对同一点O的动量矩定理为:,交换微分符号与求和号, 并考虑系统的内力对同一点之矩的和为零可得:,称为系统的外力对O点的主矩 即 外力偶矩及外力对O点之矩的矢量和.,质点系对于某定点O的动量矩对时间的一阶导数, 等于作用在质点系的外力对同一点之矩的矢量和.,3. 质点和质点系的动量矩守恒 (1) 全方位守恒: 对于所研究的力学系统, 如果外力系对某定点的主矩(矢)为零 , 则系统对此定点的动量矩是常矢量. (2) 对某一轴(方向)守恒: 对于所研究的力学系统 , 如果外力系对某定

5、轴的主矩为零, 则 系统对此轴的动量矩是常量. (2) 对于所研究的平面力学系统 , 如果外力系对某定点的主矩为 零, 则系统对此点的动量矩是常量.: 动量矩定理本质上也是一个矢量定理, 但是在处理刚体的定轴转动和平面运动问题时, 动量矩定理可视为代数量定理.,例一. 人造卫星沿椭圆轨道运行时, 地心O处于椭圆的一个焦点上 . 我国发射的第一颗人造地球卫星 , 发射初期在近地点A的速度为8.1(km/s) . 已经测得卫星在 近地点的高度是hA =439km , 在远地点的高度是hC =2384km . 已知地球的半径R= 6371km. 求: 卫星在轨道上的B 、C 处的速度.,解: 卫星在

6、轨道运行中只受地球的引力作用, 故卫星对地心O的动量矩守恒.,又,例二. 质量为m 的小球 悬挂在一绳索下端且以匀速率在水平面内作圆周运动.试分析小球对O, A 两点的动量矩及其守恒问题.,结论: 动量矩是否守恒, 与矩心的选择有关.,例三. (书上例11 1 )高炉运送矿石的卷扬机如图示. 已知鼓轮的半径为R, 质量为m1 , 鼓轮绕O 轴转动. 小车和矿石的总质量为m2 . 作用在鼓轮上的力偶矩为M , 鼓轮对转轴的转动惯量为Jo , 轨道的倾角为 . 不计摩擦及绳子的质量.求: 小车的加速度.,: 平动物体对任何一点的动量矩都很容易求得. 将若干个平动物体与一个转动物体作为一个系统运用动

7、量矩定理可以避免某一些未知力的出现 , 从而可简化解题的步骤.,解: 取整个系统为研究对象, 受力及运动分析如图,11 3 刚体绕定轴转动的微分方程,例一 . (书上 习11 7)通风机的转动部分以初角速度o 绕中心轴转动 , 空气的阻力矩与角速度成正比, 即 M = k , k为常数. 若转动部分对转轴的转动惯量为J .问: 经过多少时间其转动的角速度减少为初角速度的一半 ? 又在此时间内共转了多少转 ?,例二 . 电动绞车提升一质量为m 的物体 , 在其主动轴上作用有一个力偶其矩为M . 已知主动轴齿轮和从动轴齿轮各自对其转轴的转动惯量分别为 J1 和 J2 . 传动比 z2 : z1 =

8、 i ; 从动轮上的鼓轮半径为R . 不计绳索的质量和各处摩擦.求: 重物的加速度.,取主动轮分析:,取从动轮及物块系统分析:,将上面二式代入前面的(1) 、(2) 式后解得:,由对A点的动量矩定理,由对B点的动量矩定理,: 定常流动的不可压缩流体的动反力矩.上一章讨论了一段运动的理想流体的动量定理 , 下面我们讨论相应的动量矩定理. 由于静水压力、静反力及重力构成平衡力系, 故图中不再画出.,由定常流动和不可压缩我们已知动量的改变量,我们进一步可求得对固定点O的动量矩的改变量,例一. ( 书上 例11 2 )水涡轮以等角速度 绕通过点O 的铅直轴转动, 求从涡轮叶片间流过的水流给涡轮的转动力

9、矩.,解: 设水涡轮有n 个叶片, 取其中两叶片间的水流为研究对象, 如图所示.,例二. 水柱在管内的流量Q = 1 m/s , 在进出口处的速度大小均为30m/s , 结构的尺寸如图. 求: C、D 处的动约束反力 .,解: 整体分析 , 由,11 5 质点系相对质心的动量矩定理,质点系相对质心的绝对动量矩和相对动量矩 设一运动的 质点系 mi ; i = 1、2、3n C: 质量中心,对质心的绝对动量矩:,对质心的相对动量矩:,所以, 对质心的绝对动量矩就等于相对动量矩.,但是 , 对除了质心以外的任何动点 , 其绝对动量矩和相对动量矩是不相等的.,二. 质点系对任意定点的动量矩与对质心的

10、动量矩之间的关系.,例: 质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动, 轮心为A , 质心为C , 偏心距 AC = e . 轮子的半径为R , 对轮心A轴 的转动惯量为JA . 图示运动瞬时, C、A、B 三点同在一铅直线上. 求: (1) 当轮子只滚不滑时 , 若VA 已知, 求轮子的动量和对地面B 点的动量矩 . (2) 当轮子又滚又滑时 , 若VA 、 已知 , 求轮子的动量和对地面B点的动量矩.,(2),解: (1) 由只滚不滑可得,求: (1) 当轮子只滚不滑时 , 若VA 已知, 求轮子的动量和对地面B 点的动量矩 . (2) 当轮子又滚又滑时 , 若VA 、 已知 , 求轮子的动量

11、和对地面B点的动量矩.,习 11 2 ( b ) 无重刚杆OA 以角速度0 绕O 轴转动, 质量为m = 25 kg , 半径R = 200mm 的均质圆盘在A 点与OA 杆铰接, 且相对OA 杆以角速度r 逆时针转动( 与0 同向 ) . 已知0 = r = 4rad/s , 求圆盘对O 轴的动量矩.,解:,下面用已经学过的知识来计算 圆盘的绝对角速度:,取圆盘上B 点为动点, OA 杆为动系. 由速度合成定理:,再以A 为基点 分析B 点的速度, 可得B 相对A 点的速度:,本题中圆盘的运动是 行星轮 的运动, 除了可用我们学过的 基点法 分析其运动以外, 还可用 绕两个平行轴转动的合成

12、来分析它的运动. 特别是速度和角速度的合成问题. 因为它的处理方式更简单. 详 见 五版 上册 p 415,三. 质点系相对质心的动量矩定理 刚才我们已经得知, 对任意固定点O的动量矩和运动系统的质心的动量矩, 它们之间的关系是:,: (1) 无论质心作什么运动, 质点系相对质心的动量矩定理都具有最简单的形式. (2) 有质量对称面的刚体在作平行此平面的运动时, 对过质心且垂直于对称面的轴的动量矩定理为:,11 6 刚体的平面运动微分方程,由前面的质心运动定理我们得知,刚才我们得到,、(2)式一并是可描述刚体平面运动的动力学方程. 写成相应坐标下的投影形式有:,这就是刚体的平面运动微分方程 .

13、 为了表达简洁, 这里省掉了上下的一些标号.,去掉微分符号,取圆轮分析其运动和受力如图:,由 (1) 、(2) 、(3),例一. 均质圆轮半径为r, 质量为m , 沿水平面作纯滚动. 设圆轮对质心的惯性半径 为 , 作用于圆轮的力偶为M. 求轮心的加速度. 如果圆轮与地面间的静摩擦系 数是FS . 问M 应该满足什么条件才不致使圆轮滑动?,由纯滚动的力学条件:,例二. 均质圆柱轮半径为r , 质量为m . 受到干扰后在半径为R的圆弧槽内运动. 设槽 面足够粗糙 , 轮子只滚不滑. 求质心的运动微分方程.,解:取均质圆柱轮为研究对象. 质心的运动是绕O 点的圆周运动, 用角坐标可描述质心C的运动

14、.,由质心运动定理和对质心的动量矩定理,由(1) 、(3) 、(4) 可得:,例三. 均质杆AB 长L重P , 与水平面成角. 杆端A放在光滑水平面上, 初始静止. 如无初速度释放B端, 求此瞬时杆对地面的压力.,.,解: 本题为动力学的初瞬时问题,由对质心的动量矩定理,由水平面约束及杆的运动特点可得,由质心运动定理,取圆柱体分析,例四. ( 习 11 26 ) 板 的质量为m1 , 受水平力 F 的作用而沿水平面运动. 板与平面间的动摩擦系数为f . 在板上放一质量为 m2 的均质实心圆柱 , 此圆柱在板上只滚不滑 . 求板的加速度 .,取平板分析,即是,以圆柱质心O 为动点 , 平板为动系

15、 , 则有:,即是,由 (1) 、(2) 、(3) 、(4) 得,例五. ( 习11 22 )半径为r 的均质圆柱体的质量为m , 放在粗糙的水平面上. 设其中心C 的初速度为VO , 方向水平向右; 同时圆柱的初角速度为o , 方向如图示 , 且有or VO . 若圆柱体与水平面的摩擦系数为f , 问经过多少时间圆柱体才能只滚不滑地向前运动 ? 并求该瞬时圆柱体中心C 的速度.,解: 取圆柱体分析, o r VO , 在以后的运动中转动加速, 而质心运动减速 .,由质心运动定理,由对质心的动量矩定理,由只滚不滑,可令,则有,此时圆柱体质心的速度为,由前面得,例六. ( 习11 28 ) 均质圆柱体A和B 的质量均为m , 半径均为r . 一绳缠在二轮上如图所示 . 不计绳子的重量及转轴处的摩擦.求: (1) 圆柱体B 下落时其质心的加速度; (2) 若在圆柱体A 上作用一逆时针转向的力偶 , 其矩为M . 求圆柱体B 的质心 加速度向上的条件.,取B 轮,由运动学的关系可得,由 (1) 、(2) 、(3) 、(4) 可得,