《时变电磁场》由会员分享，可在线阅读，更多相关《时变电磁场（81页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第5章 时变电磁场,1、电磁感应定律,2、全电流定律,3、电磁场的基本方程 分界面边界条件,4、坡印廷定理和坡印廷矢量,5、正弦电磁场,6、动态位,7、达朗贝尔方程的解答,8、准静态电磁场,9、集肤效应、涡流、邻近效应及电磁屏蔽,1. 电磁感应定律,当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感应电动势，这就是法拉第电磁感应定律(Faradays Law of Electromagnetic Induction )。,负号表示感应电流产生的磁场总是阻碍原磁场的变化,图1 感生电动势的参考方向,1. 电磁感应定律,图5.1.2 感生电动势,引起磁通变化的原因分为三类：,称为感生电动势，这是变压器工
2、作的原理，又称为变压器电势。,回路不变，磁场随时间变化,称为动生电动势，这是发电机工作原理，又称为发电机电势。,磁场随时间变化，回路切割磁力线,实验表明：感应电动势 与构成回路的材料性质无关（甚至可以是假想回路），只要与回路交链的磁通发生变化，回路中就有感应电动势。当回路是导体时，才有感应电流产生。,回路切割磁力线，磁场不变,图5.1.3 动生电动势,2. 感应电场（涡旋电场）,麦克斯韦假设，变化的磁场在其周围激发着一种电场，该电场对电荷有作用力(产生感应电流)，称之为感应电场(Electric Field of Induction)。,感应电动势与感应电场的关系为,感应电场是非保守场，电力线
3、呈闭合曲线，变化的磁场 是产生 的涡旋源。,若空间同时存在库仑电场, 即,变化的磁场产生电场,则有,解： (a)线圈静止时，感应电动势是由磁场随时间变化引起的,例 5.1.1 一个 h w 的单匝矩形线圈放在时变磁场 中。开始时，线圈面的法线 与 y 轴成 角，如图所示。求:,(a)线圈静止时的感应电动势；(b)线圈以角速度 绕 x 轴旋转时的感应电动势。,(b) 线圈以角速度 旋转时，穿过线圈的磁通变化既有因磁场随时间变化引起的又由因线圈转动引起的。此时 = t,1. 安培环路定律的局限性,图5.1.5 交变电路用安培环路定律,经过S1面,经过S2面,由电容器的充放电来说明该问题，作闭合曲线
4、 l 与导线交链，应用安培环路定律,2. 全电流定律,2. 位移电流的引入,由电荷守恒定律,得,在恒定电场中，因为任一点没有电荷的堆积，所以有,因此,说明传导电流连续是电荷守恒定律的特例。,再由高斯定律,或,称为电流连续性方程微分形式,电荷守恒定律微分形式,两边取散度,恒定场的安培定律只是 时的退化形式。,安培环路定律在时变场中改写成,上式称为全电流定律(积分形式）,称为运流电流,全电流定律(微分形式）,全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。,麦克斯韦由此预言电磁场是以波动的形式存在的，其传播速度等于光速，而且他断言光就是
5、电磁波，24年后，赫兹第一次用人工产生并检测了电磁波，并测量了电磁波的波速的确等于光速。,解： 忽略极板的边缘效应和感应电场,位移电流密度,位移电流,例 5.1.1 已知平板电容器的面积为 S , 相距为 d , 介质的介电常数为 ，极板间电压为 u(t)。试求位移电流 iD；传导电流iC 与 iD 的关系是什么?,电场,图5.1.6 传导电流与位移电流,1. 电磁场基本方程组,综上所述,电磁场基本方程组 (Maxwell方程)为, 全电流定律麦克斯韦第一方程, 表明电流和变化的电场都能产生磁场；, 电磁感应定律麦克斯韦第二方程 , 表明除电荷外，变化的磁场也能产生电场；, 磁通连续性原理表明
6、磁场是无源场,磁力线总是闭合曲线；, 高斯定律表明电荷以发散的方式产生电场(变化的磁场以涡旋的形式产生电场)。,全电流定律,性能方程,电磁感应定律,磁通连续性原理,高斯定律,3. 电磁场的基本方程 分界面边界条件,如：对第一方程两边取散度,左边为零，右边整理后得,将电荷守恒定律 带入上式,(1) 麦克斯韦第一、二方程是独立方程，后面两个方程可以从中推得。,当,静电场,恒定电场,恒定磁场,(2) 静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。,时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导方式与前三章类同，归纳如下：,2. 分界面上的衔接条件,电场：,磁场：,折射定律,例 5.3.1 试推时变场中导理想导体与
7、理想介质分界面上的衔接条件。,解： 理想导体中 J = E 为有限值，当 , E=0 ;, 在理想导体内部没有电磁场，即 E=0，B=0 ；,为此：, 分界面介质侧的衔接条件为,电磁波的全反射, 电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律坡印亭定理；, 坡印亭矢量是描述电磁场能量流动的物理量。,1. 坡印亭定理（Poynting Theorem）,在时变场中，电、磁能量相互依存，总能量密度为,体积V内储存的能量,设体积元 dV 中储存的能量 wdV 随时间的变化率为,4. 坡印廷定理和坡印廷矢量,取体积分，得,物理意义：体积V内电源提供的功率，减去电阻消耗的热功率，减去电磁能量的增加率
8、，等于穿出闭合面S的电磁功率。,若体积内含有电源则,坡印亭定理,注：磁铁与静电荷 产生的磁、电场不构成能量的流动。,在静态场中，场量是动态平衡下的恒定量，坡印亭定理为,在静态场中，场域内无源即: Ee =0 坡印亭定理为,在静态场中，场域内无源且为非导体即： =0 坡印亭定理为,一般情况下的坡印亭定理,它描述了空间一点电磁能量传输或流动特性。表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单位面积上的电磁能量，亦称为功率流密度，S 的方向代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。,2. 坡印亭矢量,以导体表面为闭合面，则导体吸收的功率为,表明，导体电阻所消耗的能量是由外部传递的。,例 5.4.1 导线
9、半径为a ，长为 l ，电导率为 ，试用坡印亭矢量计算导线损耗的能量。,电源提供的能量一部分用于导线损耗,另一部分传递给负载,电场强度,磁场强度,图5.4.1 同轴电缆中的电磁能流,例 5.4.2 用坡印亭矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量的过程。设电缆为理想导体，内外半径分别为R1 和R2 。,解： 理想导体内部电磁场为零。电磁场分布如图所示。,电场强度,磁场强度,坡印亭矢量, 穿出任一横截面的能量相等，电源提供的能量全部被负载吸收。, 电磁能量是通过导体周围的介质传播的，导线只起导向作用。,这表明：,单位时间内流入内外导体间的横截面A的总能量为,1. 电磁场基本方程的相量形式,正弦电
10、磁场的相量形式与正弦稳态电路中的相量类同，后者有三要素：振幅(标量，常数)、频率和相位。,前者也有三要素：振幅（矢量、空间坐标的函数）, 频率和相位。如果F的三个分量初相位相同，则有,1） 正弦时变场量的相量形式,5. 正弦电磁场,2）正弦电磁场基本方程组的相量形式,2. 坡印亭定理的相量形式,在正弦电磁场中，坡印亭矢量的瞬时形式为,称之为平均功率流密度。,S 在一个周期内的平均值为,容易证明,同理,其实部为平均功率流密度，虚部为无功功率流密度。,定义,坡印亭矢量的复数形式,取体积分且体内无源，利用高斯散度定理，有,闭合面S内吸收的功率为,有功功率 无功功率,坡印亭定理的相量形式推导过程,取散
11、度，展开为,此项可用于求解电磁场问题的等效电路参数,例 5.5.1 平板电容器如图所示，当两极板间加正弦工频交流电压 u(t) 时，试分析电容器中储存的电磁能量。,解：忽略边缘效应及感应电场, 则电场满足无旋性质，可表示为,根据全电流定律，由位移电流产生的磁场为,整理得,图5.5.1 两圆电极的平板电容器,显然，电容器中储存电场能量，磁场能量忽略不计,电磁场近似为EQS场。,复坡印亭矢量,电容器吸收功率,(无功功率),图5.5.1 两圆电极的平板电容器,解：忽略边缘效应及位移电流，则时变磁场可用恒定磁场的方法计算。,显然，螺线管中储存磁场能量，电场能量忽略不计，电磁场近似为MQS场。,从安培环
12、路定律，得,从电磁感应定律，得,复坡印亭矢量,螺线管吸收的功率,(无功功率),例 5.2 N匝长直螺线管，通有正弦交流电流i(t)。试分析螺线管储存的电磁能量。,结束,设单位长度有 n 匝线圈,应用安培环路定律，有,l1,（1）,则由（1）得,（2）,i 为任意值，再将（2）代入（1）可得,管外处处成立,（3）,结合（2）、（3）考虑，可知（2）式在管内处处成立，即,1. 动态位的引入,考察 Maxwell 方程组的微分形式,称为动态位。,由,由,6. 动态位,经整理后，得,由,由,（2）,（1）,洛仑兹条件（规范）,定义A 的散度,2. 动态位的微分方程 达郎贝尔方程,这是非齐次波动方程,达
13、朗贝尔方程, 简化了动态位与场源之间的关系，使得 A 单独由 Jc 决定， 单独由 决定，给解题带来了方便；, 洛仑兹条件是电流连续性原理的体现。,洛仑兹条件的重要意义, 确定了 的值，与 共同唯一确定A；,对达朗贝尔方程 (1) 两边取散度,交换微分次序,将达朗贝尔方程 (2)代入上式，得,整理得,它表明洛仑兹条件（ ）隐含着重要的物理意义。,1) 若场不随时间变化，波动方程蜕变为泊松方程,非齐次波动方程,达朗贝尔方程,2) 在时变场中的无源区，达朗贝尔方程变为齐次波动方程,因此可推测：达朗贝尔方程的解既有泊松方程的解答形式，又应有波动性。,7. 达朗贝尔方程的解答,以位于坐标原点时变点电荷
14、为例，然后推广到连续分布场源的情况。,（ 除 q 点外）,代入得,做函数代换，令,代入上式得一维齐次波动方程：,式中 具有速度的量纲,在球坐标系中，具有球对称性的展开式为,1. 点源动态位的解答,一维齐次波动方程：,（1） 的振幅与r成反比，随着r 的增大振幅越来越小，到无穷远，振幅为零，波便消失。（2） 作为时间的函数，随 r 的增大以速度v 落后。,通解为,式中 ， f1，f2 是具有二阶连续偏导数的任意函数， 称为组合变量.,通解的特点：,1）通解的物理意义：,f1 在 时间内经过 距离后不变,说明它是以有限速度 v 向 r 方向传播，称之为入射波或正向行波。,有,在无限大均匀媒质中没有
15、反射波，即 f2=0。,它表明： f2 在 时间内, 以速度v 向(-r )方向前进了 距离,故称之为反射波。,图5.6.1 的物理意义,图5.6.2 波的入射、反射与透射,由此推论，时变点电荷的动态标量位为,可以证明：该解满足齐次波动方程。,2. 达朗贝尔方程的解答和推迟位,当点电荷不随时间发生变化时，波动方程蜕变为 ，其特解为,连续分布电荷产生的标量位可利用迭加原理获得,无反射,当场源不随时间变化时，蜕变为恒定磁场中的磁矢位A。, 电磁波在真空中的波速与光速相等。光也是一种电磁波。,它表明： f1是一个以速度 沿 r 方向前进的波。,若激励源是时变电流源时，仿上述方法推导，得到A的表达式、,（无反射）, 表明：t 时刻的响应取决于 时刻激励源的情况。故称 A、 为滞后位。, 它具有速度的量纲；且通解中的 经过 后得以保持不变，必有自变量不变，即,
