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1、第一章 行列式1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1);解 =2(-4)3+0(-1)(-1)+118-013-2(-1)8-1(-4)(-1)=-24+8+16-4=-4.(2);解 =acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc=3abc-a3-b3-c3.(3);解 =bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2=(a-b)(b-c)(c-a).(4).解 =x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3=3xy(x+y)-y3-3x2 y-x3-y3-x3=-2(x3+y3).2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:(1)1 2 3
2、 4;解 逆序数为0(2)4 1 3 2;解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32.(3)3 4 2 1;解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.(4)2 4 1 3;解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.(5)1 3 (2n-1) 2 4 (2n);解 逆序数为:3 2 (1个)5 2, 5 4(2个)7 2, 7 4, 7 6(3个) (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, , (2n-1)(2n-2) (n-1个)(6)1 3 (2n-1) (2n) (2n-2) 2.解 逆序数为n(n-1) :3 2(1个)5 2, 5 4 (2个
3、) (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, , (2n-1)(2n-2) (n-1个)4 2(1个)6 2, 6 4(2个) (2n)2, (2n)4, (2n)6, , (2n)(2n-2) (n-1个)3. 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.解 含因子a11a23的项的一般形式为(-1)ta11a23a3ra4s,其中rs是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42.所以含因子a11a23的项分别是(-1)ta11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44,(-1)ta11a23a34a42=(-1)2a11a23a3
4、4a42=a11a23a34a42.4. 计算下列各行列式:(1);解 .(2);解 .(3);解 .(4).解 =abcd+ab+cd+ad+1.5. 证明:(1)=(a-b)3;证明=(a-b)3 .(2);证明.(3);证明(c4-c3, c3-c2, c2-c1得)(c4-c3, c3-c2得).(4)=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d);证明=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d).(5)=xn+a1xn-1+ +an-1x+an .证明 用数学归纳法证明.当n=2时, , 命题成立.假设对于(n-1
5、)阶行列式命题成立, 即Dn-1=xn-1+a1 xn-2+ +an-2x+an-1,则Dn按第一列展开, 有=xD n-1+an=xn+a1xn-1+ +an-1x+an .因此, 对于n阶行列式命题成立.6. 设n阶行列式D=det(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转, 依次得, , ,证明, D3=D .证明因为D=det(aij), 所以.同理可证.7. 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式):(1), 其中对角线上元素都是a, 未写出的元素都是0;解(按第n行展开)=an-an-2=an-2(a2-1).(2);解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得,再
6、将各列都加到第一列上, 得=x+(n-1)a(x-a)n-1.(3);解 根据第6题结果, 有此行列式为范德蒙德行列式.(4);解(按第1行展开).再按最后一行展开得递推公式D2n=andnD2n-2-bncnD2n-2, 即D2n=(andn-bncn)D2n-2.于是 .而 ,所以 .(5) D=det(aij), 其中aij=|i-j|;解 aij=|i-j|,=(-1)n-1(n-1)2n-2.(6), 其中a1a2 an0.解.8. 用克莱姆法则解下列方程组:(1);解 因为, , ,所以 , , , .(2).解 因为, , ,所以, , , , .9. 问l, m取何值时, 齐次
7、线性方程组有非零解？解 系数行列式为.令D=0, 得m=0或l=1.于是, 当m=0或l=1时该齐次线性方程组有非零解.10. 问l取何值时, 齐次线性方程组有非零解？解 系数行列式为=(1-l)3+(l-3)-4(1-l)-2(1-l)(-3-l)=(1-l)3+2(1-l)2+l-3.令D=0, 得l=0, l=2或l=3.于是, 当l=0, l=2或l=3时, 该齐次线性方程组有非零解.第二章矩阵及其运算1. 已知线性变换:,求从变量x1, x2, x3到变量y1, y2, y3的线性变换.解 由已知:,故 ,.2. 已知两个线性变换, ,求从z1, z2, z3到x1, x2, x3的
8、线性变换.解 由已知,所以有.3. 设, , 求3AB-2A及ATB.解 ,.4. 计算下列乘积:(1);解 .(2);解 =(13+22+31)=(10).(3);解 .(4) ;解 .(5);解=(a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3 a13x1+a23x2+a33x3).5. 设, , 问:(1)AB=BA吗?解 ABBA.因为, , 所以ABBA.(2)(A+B)2=A2+2AB+B2吗?解 (A+B)2A2+2AB+B2.因为,但 ,所以(A+B)2A2+2AB+B2.(3)(A+B)(A-B)=A2-B2吗?解 (A+B)(A-B)A2-B2.因为
9、, ,而 ,故(A+B)(A-B)A2-B2.6. 举反列说明下列命题是错误的:(1)若A2=0, 则A=0;解 取, 则A2=0, 但A0.(2)若A2=A, 则A=0或A=E;解 取, 则A2=A, 但A0且AE.(3)若AX=AY, 且A0, 则X=Y .解 取, , ,则AX=AY, 且A0, 但XY .7. 设, 求A2, A3, , Ak.解 , ,.8. 设, 求Ak .解 首先观察, , .用数学归纳法证明:当k=2时, 显然成立.假设k时成立，则k+1时，,由数学归纳法原理知:.9. 设A, B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵.证明 因为AT=A, 所以(
10、BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB,从而BTAB是对称矩阵.10. 设A, B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.证明 充分性: 因为AT=A, BT=B, 且AB=BA, 所以(AB)T=(BA)T=ATBT=AB,即AB是对称矩阵.必要性: 因为AT=A, BT=B, 且(AB)T=AB, 所以AB=(AB)T=BTAT=BA.11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1);解 . |A|=1, 故A-1存在. 因为,故 .(2);解 . |A|=10, 故A-1存在. 因为,所以 .(3);解 . |A|=20, 故A-1存在. 因为,所以 .(4)(a
11、1a2 an 0) .解 , 由对角矩阵的性质知.12. 解下列矩阵方程:(1);解 .(2);解 .(3);解 .(4).解 .13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1);解 方程组可表示为,故 ,从而有 .(2).解 方程组可表示为,故 ,故有 .14. 设Ak=O (k为正整数), 证明(E-A)-1=E+A+A2+ +Ak-1.证明 因为Ak=O , 所以E-Ak=E. 又因为E-Ak=(E-A)(E+A+A2+ +Ak-1),所以 (E-A)(E+A+A2+ +Ak-1)=E,由定理2推论知(E-A)可逆, 且(E-A)-1=E+A+A2+ +Ak-1.证明 一方面, 有E=(E-A
12、)-1(E-A).另一方面, 由Ak=O, 有E=(E-A)+(A-A2)+A2- -Ak-1+(Ak-1-Ak)=(E+A+A2+ +A k-1)(E-A),故 (E-A)-1(E-A)=(E+A+A2+ +Ak-1)(E-A),两端同时右乘(E-A)-1, 就有(E-A)-1(E-A)=E+A+A2+ +Ak-1.15. 设方阵A满足A2-A-2E=O, 证明A及A+2E都可逆, 并求A-1及(A+2E)-1.证明 由A2-A-2E=O得A2-A=2E, 即A(A-E)=2E,或 ,由定理2推论知A可逆, 且.由A2-A-2E=O得A2-A-6E=-4E, 即(A+2E)(A-3E)=-4
13、E,或 由定理2推论知(A+2E)可逆, 且.证明 由A2-A-2E=O得A2-A=2E, 两端同时取行列式得|A2-A|=2,即 |A|A-E|=2,故 |A|0,所以A可逆, 而A+2E=A2, |A+2E|=|A2|=|A|20, 故A+2E也可逆.由 A2-A-2E=O A(A-E)=2EA-1A(A-E)=2A-1E,又由 A2-A-2E=O(A+2E)A-3(A+2E)=-4E (A+2E)(A-3E)=-4 E,所以 (A+2E)-1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2 E)-1,.16. 设A为3阶矩阵, , 求|(2A)-1-5A*|.解 因为, 所以=|-2A-1|=(-2)
