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1、立 体 几 何 中 的 求 距 离 问 题 集美中学数学组 刘 海 江一、记一记，填一填，这些知识你掌握了吗？1、两点间的距离：连接两点的线段的长。求法：（1）纳入三角形，将其作为三角形的一边，通过解三角形求得 （2）用公式，则|AB|= 。 （3）利用向量的模，|AB|=|= （4）两点间的球面距离 ：A，B为半径是R的球O上的两点，若= 则A，B两点间的球面距离为 。 2、点到直线的距离：从点向直线作（相交）垂线，该点与垂足间的线段长。求法：（1）解三角形：所求距离是某直角三角形的直角边长，解此三角形即可。 （2）等积法：所求距离是某三角形的一高，利用面积相等可求此距离。 (3 ) 利用三
2、垂线定理：所求距离视作某平面的斜线段长，先求出此平面的垂线段和射影的长，再由勾股定理求出所求的距离。 （4）利用公式：A的距离为 。 基本思想是将点线距转化为点点距。3、点到平面的距离与直线到平面的距离（重点）（1）从平面外一点引平面的一条垂线，这个点和_的距离，叫做这个点到这个平面的距离。求法： 利用定义、做出平面的垂线，将垂线段纳入某个三角形内，通过解三角形求出此距离；利用等积法、将此距离看作某个三棱锥的高，利用体积相等求出此距离；利用向量、点A，平面，满足，则点A到平面的距离 （ 是平面的法向量 ）（2）一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意_到这个平面的_，叫做这条直线和这个平面的距
3、离。（一条直线和一个平面平行时，直线上任意两点到平面的距离相等）求法：转化为点到平面的距离来求；（具体方法参照点到平面的距离的求法）4、两个平行平面的距离一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也_另一个平面，这条直线叫做两个平面的_，它夹在两个平行平面间的部分叫做这两个平面的_,它的长度叫做两个平行平面的_。求法：转化为点到平面的距离来求；（具体方法参照点到平面的距离的求法）（两个平行平面时，一个平面上任意两点到另一个平面的距离都相等）5、异面直线的距离（难点）（1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫做_。公垂线夹在异面直线间的部分，叫做_。公垂线段的长度叫做_。（2）任意两条异面直线_
4、公垂线，公垂线段长是分别连结两条异面直线 上的点的线段中_。（两平行线间的距离略）求法：（1） 利用距离公式：已知两条异面直线所成的角为，AA是的公垂线，A在上，A在上，在上分别取E，F，已知AE=，AF=，EF=，则公垂线AA的长度 。（2）利用向量，点A，向量，则两条异面直线的距离空间的距离主要指以下八种：（1）两点间的距离；（2）点到直线的距离；（3）点到平面的距离；（4）两平行线间的距离；（5）两异面直线的距离；（6）平面的平行直线与平面间的距离；（7）两个平行平面的距离；（8）两点间的球面距离。八种距离都是指两个点集的元素之间距离的最小值。八种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如
5、两条平行线的距离可转化为点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离。在八种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线的距离是难点。二、练一练，写一写，这些题目你能独立完成吗？1、 直三棱柱中，则点A到平面的距离是 A、 B、 C、 D、2、在中，AB=15，。若所在平面外一点P到A、B、C的距离都是14，则P到的距离是 A、13 B、11 C、9 D、73、设P是的二面角内一点，面，平面，A、B分别为垂足，PA=4，PB=2，则AB的长是 A、 B、 C、 D、4、将一块边长为2的正三角形铁皮沿各边的中位线折叠成一个正四面体，则这正四面体某顶点到其相对面的距
6、离是 A、 B、 C、 D、5、 平面直角坐标系中，A(-2,3),B(3,-2),将平面沿轴折成120的二面角，则折后A，B两点间的距离为 A、 B、 C、 D、以上均不对6、正方体的棱长为1，则异面直线与间的距离为 。7、已知异面直线、的公垂线段AB的长为10cm，点A、M在直线a上，且AM=5cm若直线、所成的角为，则点M到直线的距离是_ _。8、在120的二面角内，放一个半径为5的球，切两个半平面于A，B两点，那么这两点在球面上的最短距离是 。、已知空间三点A（1，），B（，），C（，）则的面积是。10、已知正方形边长为1，过D作PD平面ABCD且PD=1，E、F分别是AB和BC的中点。 求D点到平面PEF的距离； 求直线AC到平面PEF的距离。11、在棱长为1的正方体中， 求点A到直线的距离；求点A到平面的距离。12、在棱长为1的正方体中， 求点到平面的距离； 求平面与平面的距离； 求直线AB到平面的距离。13、平行六面体，AD=3，AB=4 且， ， 求的长；求的长。14、在直三棱柱中，BC=2，D，F，G分别为，的中点，EF与相交于H. 求证：平面ABD； 求证：平面EGF/平面ABD； 求平面EGF与平面ABD的距离。
