笔记数字信号处理

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1、2012-07-04 By lalalala笔记 数字信号处理1 离散时间傅立叶变换(DTFT)ej Fxn= n=-x(n)e-jnxn F-1Xej= 12-ej ejnd DTFT将一个离散信号xn变换为实变量的复值连续函数ej，称为数字频率，以rad（弧度）计。这是一个关于连续变量的函数。2 z变换2.1 双边z变换z Zxn= n=-x(n)z-nxn Z-1Xz= 12jcXzzn-1dz其中，z是复变量。对于Xz存在的z值的集合称为收敛域（ROC），Rx- z Rx+这里，Rx- Rx+是某个正数。并且，反变换中的c是位于ROC内，环绕远点的某一逆时针方向闭合围线。注意：a) 复

2、变量z称为复频率，给出为z=|z|ej，这里的|z|是衰减（阻尼），是实频率。也就是说DTFT里不收敛的x(n)，通过|z|的衰减，实现收敛。因此z变化更具普适意义。b) 函数|z|=1（或z=ej）是在z平面内半径为1的圆，也称为单位圆。如果ROC包括单位圆，那么就可以在单位圆上对z求值：z|z=ej=Xej= n=-x(n)e-j= Zxn因此，DTFT可以认为是z变换X(z)的特例。c) z域LTI稳定性：当且仅当单位圆是在H(z)的ROC内，一个LTI系统就是稳定的。d) z域因果LTI稳定性：当且仅当系统函数H(z)的全部极点位于单位圆内时，一个因果LTI系统是稳定的。2.2 z域的

3、系统表示系统函数H(z)给出为：Hz Zhn= -h(n)z-n; Rh- z= length(a)% B = K by 2 matrix of real coefficients containing bks% A = K by 3 matrix of real coefficients containing aks% b = numerator polynomial coefficients of DIRECT form% a = denominator polynomial coefficients of DIRECT form6.2 FIR滤波器FIR滤波器系统函数为：Hz= b0+b

4、1z-1+ bM-1z1-M=n=0Mbnz-n差分方程表示为：yn= m=0M-1bmxn-m也包含直接型、级联型，还包括线性相位型、频率采样型。6.2.1 线性相位型具有对称脉冲响应或者反对称脉冲响应条件的滤波器都能在线性相位型结构中实现。线性相位的数学表示：H(e-j)=-, -对称脉冲响应：hn=hM-1-n; =0,0nM-1反对称脉冲响应：hn=-hM-1-n; =2,0nM-1线性相位型结构本质上是一种直接型结构，但是比直接型结构节省了50%的乘法。6.2.2 频率采样型传递函数：Hz=hn=ZIDFTHk=(1-z-MM)k=0M-1H(k)1-WM-kz-1=1-z-MMk=

5、1L2HkHkz+H01-z-1+HM/21+z-1可以使用函数dir2fs实现。% Direct form to Frequency Sampling form conversion% C,B,A = dir2fs(h)% C = Row vector containing gains for parallel sections% B = Matrix containing numerator coefficients arranged in rows% A = Matrix containing denominator coefficients arranged in rows% h =

6、impulse response vector of an FIR filter这种FIR滤波器的频率采样型结构比线性相位结构更高效。6.2.3 格型滤波器结构格型滤波器广泛应用于数字信号处理和自适应滤波器的实现中。由于在语音分析和语音合成中，它能实时地以少量的系数对大量的共轭峰进行建模，因此相对于其他的FIR和IIR滤波器结构而言，它是一种优选的实现形式。全零点格型是格型滤波器的FIR滤波器表示，而格式梯形则是格型滤波器的IIR滤波器表示。1. 全零点格型滤波器一长度为M（或阶为M-1）级的格型结构如下图所示，数学表达式有下面的递归方程描述：fmn=fm-1n+Kmgm-1n-1, m=1,

7、2,M-1gmn=Kmfm-1n-1+gm-1n-1, m=1,2,M-1可以使用dir2latc求得格型滤波器系数Km。function K = dir2latc(b)% FIR Direct form to All-Zero Lattice form Conversion% K = dir2latc(b)% K = Lattice filter coefficients (reflection coefficients)% b = FIR direct form coefficients (impulse response)函数latcfilt用于计算格型滤波器的输出序列。2. 全极点格型

8、滤波器设一全极点系统函数给出为：Hz=11+m=1Nanz-n这是一个FIR格型的逆系统。还是使用dir2latc函数，但是没有K0系数。3. 格式梯形滤波器目前还不知道为什么要用格式梯形滤波器。7 FIR滤波器的具体设计7.1 线性相位滤波器1. 对称脉冲响应，M为奇数2. 对称脉冲响应，M为偶数3. 反对称脉冲响应，M为奇数4. 反对称脉冲响应，M为偶数7.2 窗口设计法基本思想即选取某一种合适的理想频率选择性滤波器（非因果，无限长的脉冲响应），然后将它的脉冲响应截断（或加窗）以得到一个线性相位和因果的FIR滤波器。也就是说，加窗即相当于截断。为了从一个脉冲响应为hd(n)的IIR滤波器得到一个FIR滤波器的脉冲响应h(n)，必须在hd(n)的两边将其截断。h(n)可以看作是hd(n)和某一窗函数(n)相乘而得到。响应的，频域上即对应的传递函数的卷积。对于给定的滤波器技术要求，选择滤波器长度M和具有最窄主瓣宽度和尽可能最小的旁瓣衰减的某个窗函数。1. 矩形窗（