《应用性问题文科》由会员分享，可在线阅读，更多相关《应用性问题文科（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题9：应用性问题(文科)考点回顾数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题，通过数学应用题，考查学生能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模式；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述和说明。在高考中，应用题的考查已逐步成熟，主要从以下几方面考查。1.考查函数的解析式、定义域、值域、单调性等有关知识的应用，考查构建函数模型并解决函数模型的能力；2.考查数列特别是两类特殊数列及可化为这两类数列的数列求通项、求和等有关
2、知识的应用；3.考查三角函数特别是解三角形的有关知识在实际问题中的应用。4.考查利用不等式及线性规划的有关知识求解实际生活中的最优化问题；5.考查排列组合的基础知识的应用，考查学生的运算能力及分析解决问题的能力；6考查概率统计的有关基础知识的应用，培养学生的实践能力。一、经典例题剖析例1（07重庆文）用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？分析：本例考查了函数模型在实际问题中的应用以及导数法求最值。解析：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为.故长方体的体积为从而令V（x）0，解得x=
3、0（舍去）或x=1，因此x=1.当0x1时，V（x）0；当1x时，V（x）0，故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。从而最大体积VV（x）912-613（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。点评：审清题意，理顺题目中各种量的关系是解决本题的关键。例2(07湖北文)某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件（I）将一
4、个星期的商品销售利润表示成的函数；（II）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？分析：本题命题意图是考查函数的解析式的求法、利用导数求最值、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力解析：（）设商品降价元，则多卖的商品数为，若记商品在一个星期的获利为，则依题意有，又由已知条件，于是有，所以（）根据（），我们有21200极小极大故时，达到极大值因为，所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大点评：准确进行导数运算，掌握运用导数判断函数单调性及求函数极值、最值的方法是解决此题的关键。例3（07安徽文理）某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后
5、每年交纳的数目均比上一年增加d（d0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1r）a1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1r）a2，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.（）写出Tn与Tn1（n2）的递推关系式；（）求证：TnAnBn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列.分析：本小题命题意图主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生的阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力，考查应用所学的知
6、识分析和解决实际问题的能力。解析：（1）我们有（）（2），对反复使用上述关系式，得： 。在式两边同乘以，得：由，得，即 。如果记，则，其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，以为公差的等差数列。 点评：掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、以及求和方法是解决此题的关键。例4. （07山东文） 本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使
7、公司的收益最大，最大收益是多少万元？分析：本例是线性规划在实际问题中的应用，考查了学生分析解决问题的能力。解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得目标函数为二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域如图：作直线，即平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值联立解得点的坐标为（元）答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元点评：本题考查利用线性规划求实际应用问题，考查分析解决问题的能力。例5(07天津文)已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相
8、同的5个红球和4个黑球现从甲、乙两个盒内各任取2个球（）求取出的4个球均为红球的概率；（）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；分析：本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力解析：（）设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件由于事件相互独立，且，故取出的4个球均为红球的概率是（）解：设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件由于事件互斥，且，故取出的4个红球中恰有1个红球的概率
9、为例6. （06江苏）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法（用数字作答）。分析：本题考查排列组合的基本知识极运用知识分析解决问题的能力。解析：由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有点评：分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段,也是基础方法,在高中数学中,只有这两个原理,尤其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处,当遇到比较复杂的问题时,用分类的方法可以有效的将之化简,达到求解的目的.例7在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）（A）36个 （B）24个 （C）18个 （D）6个
10、分析：本例命题意图是考查有排列组合知识及两个原理的运用。解析：依题意，所选的三位数字有两种情况：（1）3个数字都是奇数，有种方法（2）3个数字中有一个是奇数，有，故共有24种方法，故选B点评：本例是限制条件的排列、组合问题中的数字问题，要注意分类整合思想的运用。例8（07全国I文）某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买。根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元。（）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获的利润不超
11、过650元的概率。解析：（）记表示事件：“位顾客中至少位采用一次性付款”，则表示事件：“位顾客中无人采用一次性付款”，（）记表示事件：“位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元”表示事件：“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”表示事件：“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”则，点评：本题主要考查互斥事件的概率及对立事件的概率。例9某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，与水平地面的夹角为 , 试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角BPC最大（不计此人的身高
12、）解：如图所示，建立平面直角坐标系，则A（200，0），B（0，220），C（0，300）， 直线l的方程为即 设点P的坐标为（x，y）， 则 由经过两点的直线的斜率公式 由直线PC到直线PB的角的公式得， 要使tanBPC达到最大，只须达到最小，由均值不等式当且仅当时上式取得等号，故当x=320时tanBPC最大，这时，点P的纵坐标y为 由此实际问题知，所以tanBPC最大时，BPC最大，故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角BPC最大.二、方法总结与2008年高考预测（一）方法总结1 解应用题的一般程序（1）审：审即审题，它是解题的基础。首先通过阅读能准确理解文字表达的题意，分清条件
13、和结论，理顺数量关系，初步预测所属数学模型，这一步是基础 （2）建：建即建立数学模型，也就是将文字语言转化为数学语言，利用已有的数学知识，建立相应的数学模型。熟练掌握常见的基本数学模型，正确进行建“模”是解应用题的关键的一步。 实 际 问 题分析、联想、类比、转化建立数学模型解答数学问题（3）解：解即求解数学模型，得到数学结论。解题时， 一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意优化过程。 （4）答：答即将数学结论还原给实际问题的结果。2分析和解答应用题的基本思路如右图。3中学数学中常见应用问题与数学模型（1）最值问题工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数
14、的最值；（2）预测问题经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决；（3）优化问题实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决；（4）等量关系问题建立“方程模型”解决；（5）测量问题可设计成“图形模型”利用几何知识解决；（6）概率与统计问题在出现如何有效配置资源以及与随机现象统计有关问题时，常用“概率与统计”模型。（7）排列、组合应用文题在排列与组合问题中，常常涉及“人或物的排列、组合；产品的抽样检测”等。（二）2008年高考预测通过对2007年高考试题及考纲分析,笔者认为.08年高考应用题试题数量会保持稳定,一般为两小一大。在小题中考查函数、数列
15、、不等式、排列组合、概率等知识的应用，解答题仍会以概率统计为基本题型进行考察。因此要加强以下几方面训练。1.函数、数列、不等式应用题、排列组合问题以选择填空为主。2概率与统计问题训练以解答题为主。三、强化训练（一） 选择题1. 某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额 如果不超过200元，则不予优惠，如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠，如果超过500元，其500元按条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠 某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次购买上述同样的商品，则应付款( )A 413 7元 B 513 7元 C 546 6元 D 548 7元解析 此人购买的商品原价为168+42390%=638元，若一次
