《第2章优化设计第二部分_约束最优化方法(补充全20111203)概要》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第2章优化设计第二部分_约束最优化方法(补充全20111203)概要（154页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、*a. 约束随机方向搜索法 b. 复合形法 c. 罚函数法 (1) 外点罚函数法 (2) 内点罚函数法 等,*1、线性规划与二次规划问题 2、一般非线性规划,第二章 Part2 优化设计（补充全）,一、线性规划引例：某车间生产A和B两种产品。为了生产A和B，所需的原料分别为每台2与3个单位，所需工时分别为每台4和2个单位。现在可以应用的原料为100个单位，工时为120个单位。每生产一台A和B分别可得利润6元和4元。应当安排生产A、B各多少台，才能获得最大的利润？,解：设A、B产品的台数各生产x1, x2台。 目标函数利润函数,限制条件：,21 线性规划与二次规划问题,原问题表述为：,标准化后：
2、,线性规划问题目标函数与约束函数均是线性的,线性规划问题相关定理 1、线性规划问题的可行域D是凸集。 2、若线性规划问题存在最优解，则目标函数的 最优值可在某个极点（顶点）达到。,x1,x2,D,z 减小的方向,最优解,最优解：x1=x2=20,二、线性规划问题的单纯形求解算法介绍 1947年提出，后有许多改造，形成许多变种。应用较 广，具权威性。 现举例说明该算法的基本思想,极点1234？ 极点154？ 极点14？,思想：从一个基本可行解（极点）出发，求另一个使目标函数值下降的基本可行解,引入松弛变量 x3、 x4、 x5，原式化成标准形式,其中,1） 如另x1=x2=0，则有,上面的解是可
3、行解， x1=x2=0对应于点1基本可行解,基变量,2）通过某些判定条件。令x5=x2=0,新的解是可行解， x1=3，x2=0 对应于点5另一基本可行解,基变量,非基变量,3）通过某些判定条件。令x5=x4=0,新的解是可行解， x1=4.2，x2=5.2 对应于点5最优基本解,基变量,关键点：每次取三个基变量，根据一些判定条件选择。前后两次迭代的基变量相差一个。 极点154,非基变量,一般形式的线性规划问题,其中,三、利用MATLAB求解线性规划问题,linprog(C, A, b, Aeq, beq，Lb, Ub), C=1;-3;1; Aeq=2 -1 1; beq=8; A=-2 -
4、1 0;1 2 0; b=-2;10; Lb=0;0;0; x=linprog(C,A,b,Aeq,beq,Lb,) Optimization terminated successfully. x = 0.8082 4.5959 10.9794, C=-4;-1; A=-1 2 2 3 1 -1 b=4;12;3; Lb=0;0; x=linprog(C,A,b,Lb,) Optimization terminated successfully. x = 4.2000 1.2000,引例：某车间生产A和B两种产品。为了生产A和B，所需的原料分别为每台2与3个单位，所需工时分别为每台4和2个单位
5、。现在可以应用的原料为100个单位，工时为120个单位。每生产一台A和B分别可得利润6元和4元。应当安排生产A、B各多少台，才能获得最大的利润？,标准化后,MATLAB求解,四、二次规划问题,其中,quadprog(H, f, A, b, Aeq, beq，Lb, Ub), f=-2;-6; H=1 -1;-1 2; A=1 1;-1 2;2 1; b=2;2;2; Lb=0;0; x=quadprog(H,f,A,b,Lb) Optimization terminated successfully. x = 0.4000 1.2000,习题：用Matlab求解下列优化问题,22 约束最优化方
6、法概述,在工程实际中，所有设计问题几乎都是约束非线性规划问题。,目前对于约束非线性最优化问题的解法较多，可以分为两大类。 直接法：用原来的目标函数限定在可行域内进行搜索，且在搜索的过程中一步步的降低目标函数值，直到求出在可行域内的一个最优解。主要方法有：有约束变量轮换法、随机试验法、随机方向搜索法、复合形法、可行方向法等。 间接法：将约束最优化问题通过变换，转成为无约束最优化问题，然后再用无约束最优化方法来求得最优解。主要方法有：消元法、拉格朗日乘子法、罚函数法等。,目前约束最优化问题的算法收敛速度的判断比无约束最优化问题困难，约束最优化问题的研究和进展情况远不如无约束最优化问题。 在本章将主
7、要介绍随机方向搜索法、复合形法、罚函数法。,22 约束随机方向搜索法,一、基本原理,约束随机方向搜索法是解决小型约束最优化问题的一种较为有效的直接求解方法。 约束随机方向搜索法是一种数值迭代解法，其基本思想可用二维最优化问题来进行说明。,二、初始点的选择,三、随机搜索方向的产生,四、随机方向搜索的计算过程和算法框图,随机方向搜索法计算框图,随机方向搜索法计算框图（续）,一维搜索过程,例、用随机方向法求解下列优化问题,取,迭代13次，求得,迭代过程显示,一维搜索说明简单过程,搜索方向,不可行点,23 复合形法,一、复合形法的基本原理,复合形法的基本原理,二、初始复合形的产生2012年12月6日,
8、三、复合形法的迭代过程和算法框图,复合形法计算框图,复合形法计算框图（续）,复合形法计算框图（续）,四、复合形法算例,各次迭代结果：,24 罚函数法,一、罚函数法的基本原理,一系列无约束优化问题的解,逼近原问题的最优解,对罚函数的进一步说明,总结求解过程,二、外点罚函数法,(一) 基本原理,化成标准形式,外点法：罚函数的无约束最优解在可行域外部。,外点罚函数法计算框图,理论最优解X*,数值最优解X* 外点法,三、内点罚函数法,(一) 基本原理,内点罚函数法计算框图,四、混合罚函数法,内点形式的混合罚函数法,可直接令,注：初始迭代点应在严格满足不等式约束的区域内。,*25 MATLAB求解非线性
9、规划问题与应用实例,考虑如下约束优化问题,A线性不等式约束的系数矩阵 b 线性不等式约束的右端向量 Aeq线性等式约束的系数矩阵 beq线性等式约束的右端向量 C(X) 与 Ceq(X)是非线性约束函数返回的向量。 Lb与Ub是变量的上下限。,x = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, Lb, Ub, nonlcon),求解上述约束优化问题 的MATLAB函数,非线性约束函数，需要定义外部函数，计算并返回C(X)与Ceq (X)向量,例,其中,x = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, Lb, Ub, nonlcon),在Matlab
10、命令窗口中输入 A=-1 -2 -2;1 2 3； b=0;72； x0=10;10;10； x, fval=fmincon(-x(1)*x(2)*x(3), x0,A,b) 结果：x* =24, 12, 8T fval= -2.3040e+003,例,定义两个外部函数，分别计算目标函数值与约束函 数值。 约束函数化成标准形式,目标函数与约束函数均为非线性,function C, Ceq=fcon(x) g1=1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2); g2=-x(1)*x(2)-10; C=g1;g2; Ceq=; function y=fobj(x) y=exp(x(1)*(4*x(
11、1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);,x = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, Lb, Ub, nonlcon),x,fevl = fmincon(fobj, x0, , , , , , , fcon),得解：x*=-9.5474, 1.0474T, f(x*)=0.0236,x = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, Lb, Ub, nonlcon),例,与前题的区别：多了一个等式约束。,function C, Ceq=fcon(x) g1=1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2); g2=-
12、x(1)*x(2)-10; C=g1;g2; Ceq= =-x(1)2+x(2); function y=fobj(x) y=exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);,x,fevl = fmincon(fobj, x0, , , , , , , fcon),得解：x*=-1.1121, 1.2367T, f(x*)=1.9660, C, Ceq=fcon(x) C = 0 -8.6246 Ceq = 0,最优解满足等式约束，且在第一个不等式约束的边界上。,例,与前题的区别：多了设计变量下限的约束。 计算目标函数与非线性约束函数值的外部函数
13、不变。,x,fevl = fmincon(fobj, x0, , , , , Lb, , fcon), Lb=-2;2;,得解：最优解 x*=-1.4142, 2.000T 最优值 f (x*)=2.3549,x,feval = fmincon(fobj, x0, , , , , Lb, , fcon),轮式车辆前轮转向梯形四杆机构的优化设计,一般轮式车辆多为后轮驱动，前轮导向。,工程实例,当车辆绕转向中心O作等角速转向时，要求全部车轮作无侧向滑动的纯滚动。,0,梯形机构形状改变，实现转向,转向中心O,M,L,与分别为外导向轮、内导向轮轮轴线之偏转角。,若取为自变量，则可由上式解出,问题描述：
14、设计一梯形转向机构，当在一定范围内变动（030）时， 能按式（1）变化,取l1和0为设计参数，则 l2不再独立,给定，p为多少？,根据连杆长度l2不变来解出。,p,0,外转向臂与水平轴的夹角,内外转向臂与水平轴的夹角,1,3,根据连杆长度l2不变来解出,p,0,1,3,希望的结果,若将的变化范围分布很多等分点，如30个等分点,要求在这些等分点上，p与E的差值小，于是，可构造下面的函数,受到的限制条件,L,受到的限制条件,总结,L,以212吉普车数据为例：M148cm，L296cm,其中目标函数的计算重新改写为,目标函数 function y=Jeepobj(x) alpha=0:1:30; alpha=alpha*pi/180; y=0; for i=1:31 alphai=alpha(i)； betae=atan(tan(alphai)/(1-0.5*tan(alphai); Ai=2*x(1)2*sin(x(2)+alphai); Bi=2*x(1)2*cos(x(2)+alphai)-296*x(1); Ci=2*x(1)2*(1-
