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1、2014 年考研之方程 部分 - 1 - 理工类 说明 ： (1) 只对数学一要求的在左上角加 “ ”. (2) 记号 08120表示 08 年数 一第 20 题 . (3) 例题中 “Ai、 Bi、 Ci”分别表示 “基本题、综合题、应用题 ” 常微分方程 考试要求 1.了解微分方程及其解、阶、通解、特解和初始条件等概念 . 2.掌握 变量可分离 的微分方程、 齐次 微分方程及 一阶线性 微分方程的解法 . 3.会解 伯努利方程和全微分 方程，会用简单的 变量代换 解某些微分方程 . 4.会用 降阶法 解下列微分方程： ()= ( )ny f x ， = ( , )y f xy ， = (
2、, )y f yy . 5.理解线性微分方程 解的性质及解的结构 . 6.掌握二阶常系数 齐次 线性微分方程的解法 ,并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程 . 7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的 和与积 的二阶常系数非齐次线性微分方程 . 8.会解 欧拉方程 . 9.会用微分方程解决一些简单的应用问题 . - 内容分为三大部分 .一阶微分方程求解及应用 ; .二阶微分方程求解及应用 ; . 欧拉方程 ; IV差分方程 . - 考题常出类型 A.基本题： 给出方程直接求解 . B.综合题 ：给出与微分、积分、级数等有关的表达式，然后转化成微分方程求解 . C.应
3、用题： 根据实际问题列出微分方程求解 . 2014 年考研之方程 部分 - 2 - - 本章主要解决的两个问题：一是 解方程 ,二是 列方程解应用题 . 解方程时，要首先掌握方程所属类型 . 因不同类型的方程有不同的解法。同一个方程可能属于多种不同的类型，应选择较易的方法求解。用公式时应注意它的使用条件。 应用题列方程时，要根据题意，分析条件，搞清问题所涉及到的基本物理量或几何量的意义，建立数学模型 . 通过逻辑推理等综合手 段列出微分方程，使问题得到解决。这是考察考生综合应用能力的重要方面，是考试的 难点 内容之一 . 内容提要 预备知识：几个基本概念 1.微分方程的定义： 一阶：形如 =
4、( , )y f xy 或 ( , , )=0F x y y (方程中可缺 少 ,xy,但必含 y ) n 阶： ( ) ( -1 )= ( , , , , )nny f x y y y 或 ()( , , , , )=0nF x y y y 2.微分方程的解： 使所给微分方程成为恒等式的函数 =( )y gx . 通解 :含有 n 个独立的任意常数的解 1= ( , , , )ny g x c c 称为 n 阶微分方程的通解 . 注意 : 中任 意常数的个数必须与方程的阶数相等 . 特解 :根据初始条件确定了任意常数的值的解 . 初 始条件： 一阶 00( )=yx y ; 二阶 00( )
5、=yx y ， 01( )=y x y .一阶微分方程求解及应用 (变量可分离、齐次、线性、 贝努利、 全微分 ) 1.变量可分离方程 : 形如 ( ) ( )dy h x g ydx 解法 : 分离变量 dxxhygdy )()( , 两边积分 Cdxxhygdy )()(- 2.齐次方程： 形如 )( xyfdxdy 2014 年考研之方程 部分 - 3 - 解法 :(化齐次方程为变量可分离方程 ) 令 =yux , 则 =yxu , )(ufdxduxu Cxxdxuuf du ln)(注意 :一定要将变量还原，即将 =yux 代回所求解中 . - 3.线性方程： 形如 + ( ) =0
6、y P x y (1) -齐次 ; + ( ) = ( )y P x y Q x (2) -非齐次 . 性质： 若 0y 是齐次 (1)的一个非零解，则 0Cy 是其通解； 若 1y , 2y 都是非齐次 (2)的解 ,则 12-yy是齐次 (1)的解 ； 若 *y 是非齐次 (2)的特解， Y 是齐 次 (1)的通解， 则 *+yY是非齐次 (2)的通解 。 - 解法： 公式法 : 齐次 ()= P x dxy Ce ； 非齐次 ( ) ( )= ( ) +P x d x P x d xy e Q x e d x C ( ) ( ) ( )= + ( )P x d x P x d x P x
7、 d xC e e Q x e d x 常数变易法 : 将 ()= ( ) P x dxy C x e 代入所求方程确定 ()Cx 便得解 . 说明 :在套公式前要将方程化成标准形，即 y 的系数为 1. - 4.贝努利方程： 形如 + ( ) = ( ) ( 0 ,1 )ny P x y Q x y n 解法 :(化贝努利方程为线性方程 ) 变形 为 1+ ( ) = ( )nny y P x y Q x , 令 1= nzy =(1 ) nz n y y (1 ) ( ) (1 ) ( )z n P x z n Q x 2014 年考研之方程 部分 - 4 - 注意 :一定要将变量还原，即
8、将 1= nzy 代回所求解中 . - 5.全微分方程 : 形如 ( , ) + ( , ) = 0P x y d x Q x y d y, 且 xQyP ， ( , )xy D (单连域 ) 解法 : 观察法 ： 观察出 ( , )uxy ,使 =+du Pdx Qdy ,则 ( , )=u xy C 即为通解 . 折线积分法 ： yyxx dssxQdtytPyxu 00 ),(),(),( 0, 00( , )x y D ， 则 ( , )=u xy C 即为通解 . - 说明： 一阶微分方程中最基本的类型是 :“可分离变量 ”和 “线性方程 ” 齐次方程 u=y/x 可分离变量 贝努利
9、方程 z=y1-n 线性方程 有时可视 x 为未知函数， y 为自变量得 到线性方程或贝努利方 程 . 例题分析 基本题 : 解题途径 :一是套题型 ,按类型求解 ; 二是作适当变换 ,化成典型类型 . A1: 06310 设非齐次线性方程 + ( ) = ( )y P x y Q x 有两个不同的解 12( ), ( ), Cy x y x 为任意常数，则该方程的通解是 ( ). (A) 12( ) ( )C y x y x ; (B) 1 1 2( )+ ( ) ( )y x C y x y x; (C) 12( )+ ( )C y x y x ; (D) 1 1 2( )+ ( )+ (
10、 )y x C y x y x。 - A2：设 1()yx是 + ( ) = ( )y P x y Q x 的一个特解， C 为任意常数，则该方程的通解可表示为( ). 2014 年考研之方程 部分 - 5 - (A) ()1=+P x dxy Cy e ； (B) ()1=+ P x dxy y Ce ; (C) ()1=+P x dxy Cy e ; (D) ()1=+ P x dxy y Ce 。 A3:0610206202 (1 )=yxy x A3:08109 + =0, (1)=1xy y y - A4: 0510105201 12 ln , (1 ) 9x y y x x y A
11、4: 12 年数 123 若 ()fx满足 ( )+ ( ) 2 ( )= 0( )+ ( )= 2 xf x f x f xf x f x e ，求 ()fx。 练习： 1.08210 08312 (y+x2e-x)dx-xdy=0 答案： ()xy x C e 2. 90303 xexxyy s in)(lnc o s 答案： s in ( ln )xy e x x x C 3. 11210 11110 xeyy x cos , 0)0( y 答案： sinxy e x - A5: s in c o s 2 c o sy x y x x A5: s in 1 c o s 0y x d x x d y 答案： cosy x x C A6: 96308 x yxyy 22 A6: 99205 22( ) 0 , ( 1 ) 0y x y d x x d y y ， x 0. 答案： 2 2 2y x y x - A7: 93103 22, (1) 1x y x y y y 答案：221 xy x A7: 07314 321 xyxydxdy， 1)1( y 答案： 1 lnxy x - A8:97203 2 2 23 2 2 0x x y y d x x x y d y 答案： 3 2 2x x xy C A9: 12212 求 230y d x
