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1、 1 第三章 一元函数微分学的应用 教研室：高等数学教研室 课程名称 高等数学 I（上） 授课专业及班次 授课内容 第三章 一元函数微分学的应用 授课方式及学时 讲授，12 学时 目的 与 要求 通过本章的学习，使学生：理解函数的极值概念；掌握求函数的极值，判断函数 的增减性与函数图形的凹凸性，求函数图形的拐点等方法；能描绘函数的图形，会解 较简单的最大值和最小值的应用问题，会计算曲率和曲率半径。 重点 与 难点 重点：单调性和凹凸性的判别，最大值最小值的求法。 难点：凹凸性的判别，极值和最值的求法，描绘函数的图形。 讲授内容 及 时间分配 第一节 函数的单调性与极值 (2学时) 第二节 函数
2、的最值及其应用 (1.5学时) 第三节 曲线的凹凸、拐点 (1.5 学时) 第四节 渐近线、函数作图 (2学时) 第五节 相关变化率 (1学时) 第六节 曲率、曲率半径 (2学时) *第七节 微分学在经济学中的应用 本章总结 (2 学时) 教 具 主要 参考资料 1、高等数学,同济大学数学系编,高等教育出版社,2007 2、高等数学,北京邮电大学数学教研室编,北京邮电大学出版社,2000. 3、高等数学,湖南省 21 世纪数学教材编写组编, 复旦大学出版社, 2007. 4、高等数学教与学参考，阎国辉编，西北工业大学出版社，2003. 2 第三章第三章 一元函数微分学的应用一元函数微分学的应用
3、 在本章中，我们将利用导数来研究函数的某些性态以及利用这些性态来描绘函数图形和解决一些实际 问题 第一节 函数的单调性与极值 一、函数单调性的判别一、函数单调性的判别 函数的单调增加或减少， 在几何上表现为图形的升降.容易知道， 曲线随 x 的增加而上升时， 其切线 （如 果存在）与 x 轴正向的夹角成锐角；曲线随 x 的增加而下降时，切线与 x 轴正向的夹角为钝角.曲线的升降 与曲线切线的斜率密切相关，而曲线切线的斜率可以通过相应函数的导数来表示. 定理定理 1 设设 f（x）C（ a，b ） ，在，在（a，b）内可导，内可导， （1）若若x（a，b） ，有有 f(x)0，则则 f（x）在在
4、a，b上严格单调增加上严格单调增加. （2）若若x（a，b） ，有有 f（x）0，则则 f（x）在在a，b上严格单调减少上严格单调减少. 证证 x1，x2a，b ，不妨设 x1x2，应用拉格朗日中值定理，有 f（x2） f（x1）=f（） （x2 x1） ，（x1，x2）. 由 f（x）0（f（x）0） ，得 f（）0（f（）0）,故 f(x2)f(x1)f(x2)f(x1),即 f(x)在a,b 上严格单调增加(减少),定理获证. 例例 1 证明 y=sinx 在 , 2 2 上严格单调增加. 证证 因 sinxC（ , 2 2 ）,(sinx)=cosx0,x（ , 2 2 ）. 所以 y
5、=sinx 在 , 2 2 上严格单调增加. 从定理证明易知,若在(a,b)内除个别点使得 f(x)=0 外,其余处处满足定理条件,则定理结论仍成立.此外, 定理中的闭区间换成其他区间(如开的、半开半闭或无穷区间等),定理的结论仍成立.例如,y=x3在( ,+) 内其导数 y=3x20,但仅在 x=0 时,y=0.因此,y=x3在( ,+)内是严格单调增加的(见图 3 1).另外,当定理 1 的(1)和(2)中的严格不等号“”和“”分别换为“”和“”时，则分别得到单调增加和单调减少的结论. 3 图 3 1 例例 2 讨论 f(x)= 2 e x 的单调性. 解解 f(x)的定义域为( ,+).
6、 f（x）= 2x 2 e x ，当 x（ ，0）时，f(x)0；当 x（0，+）时，f(x)，故 f(x)在（，0） 内严格单调增加，在（0，+）内严格单调减少，如图 3 2 所示. 图 3 2 例例 3 证明当 x0 时，有 xln（1+x）. 证证 令 f（x）=x ln（1+x） ，则 f（x）C（ 0，+） ）.又 f(x)= 1 x x+ 0，x（0，+） ， 故 f（x）在0，+）严格单调增加，从而 f（x）f（0）=0.因此，当 x0 时， xln（1+x）. 二、函数的极值二、函数的极值 在例 2 中函数单调区间的分界点 x=0 具有特别意义：f（x）在 x=0 的左侧邻近严
7、格单调增加，在 x=0 右侧邻近严格单调减少.从而存在 0 的某邻域 U（0） ，对x 0 U（00）总有 f（x）f（0） ，这就是下面有 关函数极值的概念. 定义定义 设 f（x）在 U（x0）内有定义，若x 0 U(x0)，有 f（x）f（x0） （或 f（x）f（x0） ） ，则称 f （x）在 x0点取得极大值（极小值）f（x0） ，点 x0称为极大（极小）值点. 由定义可知，极值是局部性概念，是在一点的邻域内比较函数值的大小而产生的.因此，对于一个定义 在（a，b）内的函数，极值往往有很多个，且某一点取得的极大值可能会比另一点取得的极小值还要小， 如图 3 3 所示.直观上看，图
8、3 3 上的函数在取得极值的地方，其切线（如果存在）都是水平的 事实上， 4 我们有下面的定理. 图 3 3 定理定理 2费马（费马（Fermat）定理）定理 设函数设函数 f（x）在某区间在某区间 I 内有定义，在该区间内的点内有定义，在该区间内的点 x0处取极值，处取极值， 且且 f(x0)存在，则必有存在，则必有 f(x0)=0. 证证 不妨设 f（x0）为极大值，则由定义，x 0 U(x0),当 xx0时，有 0 0 ( )()f xf x xx 0， 故 0 ()fx = 0 lim xx 0 0 ( )()f xf x xx 0； 当 xx0时，有 0 0 ( )()f xf x
9、xx 0， 故 0 ()fx + = 0 lim xx+ 0 0 ( )()f xf x xx 0. 从而得到 f(x0)=0. f(x)的零点,通常称为 f(x)的驻点.定理 2 给出可导函数取得极值的必要条件:可导函数的极值点必是驻点. 但此条件并不充分,例如 x=0 是函数 y=x3的驻点,却不是其极值点，如图 3 1 所示. 另外,连续函数在其导数不存在的点处也可能取到极值.例如,y=x在 x=0 处取极小值，如图 1 6 所 示. 因此,对连续函数来说,驻点和导数不存在的点都有可能是极值点,那么如何确认呢? 定理定理 3 设设 f(x)在在 x0处连续处连续,在在 0 U(x0)内可
10、导内可导, （1）若若x 0 U( 0 x),f(x)0, x( 0 x+),f(x)0,则则 f（x）在在 x0取得极大值取得极大值； （2）若若x 0 U( 0 x),f(x)0, x( 0 x+),f(x)0,则则 f（x）在在 x0取得极小值取得极小值. 5 证证 只证（1）.由拉格朗日中值定理，x 0 U( 0 x),有 f（x） f（x0）=f（1） （x x0） ， x1x0. 由 f（x）0，得 f（1）0，故 f（x）f（x0）. 同理，x 0 U( 0 x+)，有 f（x） f（x0）=f（2） （x x0） ，x02x. 由 f（x）0，得 f（2）0，故 f（x）f（x
11、0）.从而 f（x）在 x0取极大值. 由定理 3 的证明可知，如果 f（x）在 0 U(x0)内符号不变，则 f（x）在 x0就不取得极值. 例例 4 求 f（x）=x3 3x2 9x+5 的极值. 解解 f（x）=3x2 6x 9=3（x+1） （x 3）. 令 f（x）=0，得驻点 x1= 1，x2=3. 当 x（ ， 1）时，f（x）0； 当 x（ 1，3）时，f（x）0； 当 x（3，+）时，f（x）0. 故得 f（x）的极大值为 f（ 1）=10，极小值为 f（3）= 22. 例例 5 求 f（x）= 32 x的极值. 解解 f（x）= 3 2 3 x （x0） ，x=0 是函数一
12、阶导数不存在的点. 当 x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）0.故 f（x）在 x=0 处取得极小值 f（0）=0. 定理定理 4 设设 f（x）在在 U（x0）内具有二阶导数，且内具有二阶导数，且 f（x0）=0，f(x0)0,则则 （1） 当当 f(x0)0 时时，f（x）在在 x0取极大值取极大值； （2） 当当 f(x0)0 时时 ,f(x)在在 x0取极小值取极小值. 证证 将 f（x）在 x0处展开为二阶泰勒公式，并注意到 f（x0）=0，得 f（x） f（x0）= 0 2! f (x ) (x x0)2+o(x x0)2). 因为 xx0时，o（ （x x0）2）是比（x
13、 x0）2高阶的无穷小量，所以， 0 U(x0,) U(x0),使当 x 0 U(x0,) 时，上式右端的正负取决于第一项.故当 f(x0)0 时，x 0 U(x0,),有 f（x）f（x0） ，即 f（x0）为极小 值；当 f(x0)0 时，x 0 U(x0,),有 f（x）f（x0） ，即 f（x0）为极大值. 例如，对于例 4 的驻点 x1= 1，x2=3 分别有 f( 1)= 120,f(3)=120,故 f（ 1）为极大值，f（3） 为极小值. 例例 6 求 f（x）=x3 3x 的极值. 解解 f（x）=3x2 3=3（x+1） （x 1） ， f(x)=6x. 6 令 f（x）=
14、0 得 x=1.由于 f( 1)= 60,所以 f（ 1）=2 为极大值；f(1)=60,所以 f（1）= 2 为极 小值. 邵阳学院理学与信息科学系教案尾页邵阳学院理学与信息科学系教案尾页 1、思考题、思考题 课堂思考题课堂思考题： （1）判别 xxxfsin 2 1 )(= 的单调性。 （2）证明：当0x时， 2 )1ln( 2 x xx+。 （3）求函数()3 2 52)(xxxf=的极值。 （ 3 1 3 10 )( x x xf =，3) 1 (, 0)0(= 极小值极大值 ff） 预习：预习：第三章第二节、第三节。 课外作业课外作业：P127：1(1,3,5)，2(2)，4(2,4
15、,6)，6。 2、课后分析、课后分析（学生反映、经验教训、改进措施）： 第二节 函数的最大（小）值及其应用 若 f（x）C（ a，b ） ，且在（a，b）内只有有限个驻点或导数不存在的点，设其为 x1，x2，xn， 由闭区间连续函数的最值定理知 f（x）在a，b上必取得最大值和最小值.若最值在（a，b）内取得，则 它一定也是极值，而 f（x）的极值点只能是驻点或导数不存在的点.此外，最值点也可能在区间的端点 x=a 或 x=b 处达到.于是,f(x)在a,b上的最值可以用如下方法求得: , max xa b f(x)=maxf(a),f(x1),f(xn),f(b), , max xa b f(x)=minf
