第一讲 数学是什么(沈航数学文化)

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1、 第一节第一节 数学是什么数学是什么 主讲人主讲人 闻良辰闻良辰 2014-12-192014-12-19 祖冲之的密率祖冲之的密率-355-355/113/113 华罗庚在数论导引中用丢番图理论证明：在华罗庚在数论导引中用丢番图理论证明：在 分母不超过分母不超过336336的分数中最接近。的分数中最接近。 夏道行在其著作中用连分数理论证明：在分母不夏道行在其著作中用连分数理论证明：在分母不 超过超过80008000的分数中最接近。的分数中最接近。 有趣的是，其实只需要初中的知识就可以把界限有趣的是，其实只需要初中的知识就可以把界限 提高到提高到1650016500 =3.1415926535

2、897. 355 /1133.14159292035398. | 355 /113|0.00000026677 2014-12-192014-12-19 祖冲之的密率祖冲之的密率-355-355/113/113 =3.1415926535897. 355 /1133.14159292035398. | 355 /113|0.00000026677 | 355 /113/|20.00000026677 | 355113 | /11320.00000026677 1/11320.00000026677 1/ (11320.00000026677)16586 p q pqp p p 2014-12-

3、192014-12-19 一、数学的一、数学的“定义定义” 恩格斯：数学是研究现实世界中的数量关系与恩格斯：数学是研究现实世界中的数量关系与 空间形式的一门科学。空间形式的一门科学。 随着时间的推移，数学大大发展了，诸如事物的结构、随着时间的推移，数学大大发展了，诸如事物的结构、 数理逻辑等，都成为数学的研究对象；这些，似乎不能包含数理逻辑等，都成为数学的研究对象；这些，似乎不能包含 在上述定义中。人们在寻找数学的新在上述定义中。人们在寻找数学的新“定义定义”。 但是，但是，要给数学下个定义，并不那么容易。要给数学下个定义，并不那么容易。至今难以至今难以 有关于有关于“数学数学”的、大家取得共

4、识的的、大家取得共识的“定义定义”。 2014-12-192014-12-19 1 1古今数学家的说法古今数学家的说法 （美）（美）R R柯朗柯朗（数学是什么）（数学是什么）：“数学，作为人类智数学，作为人类智 慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念，深入细致慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念，深入细致 的思考，以及完美和谐的愿望，它的基础是逻辑和直的思考，以及完美和谐的愿望，它的基础是逻辑和直 觉，分析和推理，共性和个性。觉，分析和推理，共性和个性。” 2014-12-192014-12-19 （法）（法）E E波莱尔：波莱尔： “数学是我们确切知道我们在说什么，并数学是我们确切知道我们在说

5、什么，并 肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。” （英）罗素：（英）罗素：“数学是所有形如数学是所有形如p蕴含蕴含q的命题的类的命题的类”， 而最而最 前面的命题前面的命题p是否对，却无法判断。是否对，却无法判断。 因此因此“数学是我们永远数学是我们永远 不知道我们在说什么，也不知道我们说的是否对的一门学不知道我们在说什么，也不知道我们说的是否对的一门学 科。科。” 2014-12-192014-12-19 1 1）哲学说）哲学说 2 2）符号说 ）符号说 3 3）科学说 ）科学说 4 4）工具说 ）工具说 5 5）逻辑说 ）逻辑说 6 6）创新说 ）创新说

6、 7 7）直觉说）直觉说 8 8）集合说）集合说 9 9）结构说（关系说）结构说（关系说） 1010）模型说）模型说 1111）活动说）活动说 1212）精神说）精神说 1313）审美说）审美说 1414）艺术说 ）艺术说 1515）万物皆数说）万物皆数说 2 2数学的数学的1515个个“定义定义” 2014-12-192014-12-19 哲学说哲学说 亚里士多德：亚里士多德：“新的思想家把数学和哲学看作是相同的。新的思想家把数学和哲学看作是相同的。” 来自古希腊，亚里士多德、欧几里得来自古希腊，亚里士多德、欧几里得 等人。等人。 几何原本：点是没有部分的那种东西；几何原本：点是没有部分的那

7、种东西； 线是没有宽度的长度线是没有宽度的长度 牛顿在自然哲学之数学原理的序言中说，他是把这本书牛顿在自然哲学之数学原理的序言中说，他是把这本书“作为哲作为哲 学的数学原理的著作学的数学原理的著作”，“在哲学范围内尽量把数学问题呈现出来在哲学范围内尽量把数学问题呈现出来”。 2014-12-192014-12-19 哲学是研究最广泛的事物，数学也是研究最广泛哲学是研究最广泛的事物，数学也是研究最广泛 的事物，这是它们的共同点。但是，数学与哲学的研的事物，这是它们的共同点。但是，数学与哲学的研 究对象不同，研究方法也不同。两者虽有相似之处，究对象不同，研究方法也不同。两者虽有相似之处， 但数学不

8、是哲学的一部分，哲学也不是数学的一部分。但数学不是哲学的一部分，哲学也不是数学的一部分。 现在有人说现在有人说“哲学从一门学科中退出，意味着这哲学从一门学科中退出，意味着这 门学科的建立；而数学进入一门学科，就意味着这门门学科的建立；而数学进入一门学科，就意味着这门 学科的成熟。学科的成熟。” 2014-12-192014-12-19 二、数学的特点二、数学的特点 抽象性抽象性 精确性精确性 应用的广泛性应用的广泛性 2014-12-192014-12-19 1 1抽象性抽象性 第一，第一，数学的研究对象本身就是抽象的；数学的研究对象本身就是抽象的； 第二，在数学的抽象中只保留量的关系和空间形

9、式而第二，在数学的抽象中只保留量的关系和空间形式而 舍弃了其他一切；舍弃了其他一切； 第三，数学的抽象是一级一级逐步提高的，它们所达第三，数学的抽象是一级一级逐步提高的，它们所达 到的抽象程度大大超过了其它学科中的抽象；到的抽象程度大大超过了其它学科中的抽象； 第四，核心数学主要处理抽象概念和它们的相互关系第四，核心数学主要处理抽象概念和它们的相互关系。 2014-12-192014-12-19 2 2精确性精确性 数学的精确性表现在数学推理的逻辑严格性和数学结论数学的精确性表现在数学推理的逻辑严格性和数学结论 的确定无疑性。的确定无疑性。 汉克尔说：汉克尔说：“在大多数科学里，一代人要推倒另

10、一代在大多数科学里，一代人要推倒另一代 人所修筑的东西，只有数学，每一代人都能在旧建筑上增添人所修筑的东西，只有数学，每一代人都能在旧建筑上增添 一层新楼。一层新楼。” 2014-12-192014-12-19 关于关于“晶体的结构有多少种晶体的结构有多少种”的讨论的讨论 曾经，许多物理学家、化学家、晶体学家给出了各曾经，许多物理学家、化学家、晶体学家给出了各 不相同的结论。不相同的结论。 数学家介入以后，运用数学家介入以后，运用“群群”的理论，得到了明确的理论，得到了明确 的答案：晶体的结构只能有的答案：晶体的结构只能有240240种。种。 而且，数学家的推理是如此精确，让人信服，使得而且，

11、数学家的推理是如此精确，让人信服，使得 之后就不再有人去研究这一问题了，因为结论已经之后就不再有人去研究这一问题了，因为结论已经 确定无疑。确定无疑。 2014-12-192014-12-19 3 3应用的广泛性应用的广泛性 华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之 巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。 例子：例子：哈雷彗星的发现；哈雷彗星的发现； 海王星的发现；海王星的发现； 电磁波的发现。电磁波的发现。 2014-12-192014-12-19 哈雷彗星的发现哈雷彗星的发现 古时人们

12、认为彗星的出现是不祥之兆，直到古时人们认为彗星的出现是不祥之兆，直到1717世纪，英世纪，英 国天文学家哈雷开始计算彗星轨道时，发现国天文学家哈雷开始计算彗星轨道时，发现16821682年、年、16071607年和年和 15311531年出现的彗星有相似的轨道，他判断这三颗彗星其实是同年出现的彗星有相似的轨道，他判断这三颗彗星其实是同 一颗彗星，并预言它将在一颗彗星，并预言它将在17581758年底或年底或17591759年初再次出现。年初再次出现。17591759 年，这颗彗星果然出现了。虽然哈雷已在此前的年，这颗彗星果然出现了。虽然哈雷已在此前的17421742年逝世，年逝世， 但为了纪念

13、他，这颗彗星称为但为了纪念他，这颗彗星称为“哈雷彗星哈雷彗星”。 哈雷彗星的回归周期为 哈雷彗星的回归周期为7676年，最近一次的回归是在年，最近一次的回归是在19861986 年；下一次回归是在年；下一次回归是在20622062年。年。 2014-12-192014-12-19 海王星的发现海王星的发现 这个太阳系最远的行星（之一），这个太阳系最远的行星（之一）， 是是18461846年在数学计算的基础上发现年在数学计算的基础上发现 的。天文学家分析了天王星运动的的。天文学家分析了天王星运动的 不规律性，推断出这是由其他行星不规律性，推断出这是由其他行星 的引力而产生的。勒未累计算出它的引力

14、而产生的。勒未累计算出它 应处的位置，观察员在指定位置发现应处的位置，观察员在指定位置发现 了该行星。了该行星。 航海家航海家2 2号拍摄号拍摄, 1989.8., 1989.8. 2014-12-192014-12-19 电磁波的发现电磁波的发现 英国物理学家麦克斯韦概括了由实验建立英国物理学家麦克斯韦概括了由实验建立 起来的电磁现象规律，把这些规律表述为起来的电磁现象规律，把这些规律表述为“方方 程的形式程的形式”，用纯粹数学的方法推导出可能存，用纯粹数学的方法推导出可能存 在着电磁波并且这些电磁波应该以光速传播者。在着电磁波并且这些电磁波应该以光速传播者。 据此，他提出了光的电磁理论。此外，他的结据此，他提出了光的电磁理论。此外，他的结 论还推动了人们去寻找纯电起源的电磁波。论还推动了人们去寻找纯电起源的电磁波。 24 24年后，德国物理学家赫兹在振荡放电实年后，德国物理学家赫兹在振荡放电实 验中证实了电磁波的存在，不久，意大利的马验中证实了电磁波的存在，不久，意大利的马 可尼和俄国人波波夫又在此基础上独立地发明可尼和俄国人波波夫又在此基础上独立地发明 了无线电报。从此，电磁波走进了千家万户。了无线电报。从此，电磁波走进了千家万户。 2014-12-192014-12-19 谢谢 谢！谢！