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1、黑龙江省大庆市2017届高三第三次教学质量检测（三模）数学（理）试题 第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则 （ ）A B C D2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3. 设为等差数列的前项和，若，则首项（ ）A B C D 4. 在区间内随机取两个数分别为，则使得方程有实根的概率为（ ）A B C. D5. 我国古代数学典籍九章算术“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相
2、逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果（ ）A B C. D6. 给出下列四个命题：若，则或；,都有；若是实数，则是的充分不必要条件；“” 的否定是“” ；其中真命题的个数是（ ）A B C. D7.已知等比数列的公比，则的前项和（ ）A B C. D8. 函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（ ）A向右平移个单位长度 B向左平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度9. 在平行四边形中，则（ ）A B C. D10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A B C. D11. 已知点分别为双曲线的右焦点与右支上的一点，为坐标原
3、点，若，且，则该双曲线的离心率为（ ）A B C. D12. 设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（ ）A B C. D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，则 14. 不等式组表示的平面区域为，直线与区域有公共点，则实数的取值范围为 15. 某校高三年级要从名男主和名女生中任选名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是 16. 巳知函数是定义在上的奇函数，且当时，都有不等式成立，若，则的大小关系是 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程
4、或演算步骤.） 17. 已知在中，角的对边分别为,且. （1）求的值；（2）若,求的取值范围.18. 五一期间，某商场决定从种服装、种家电、种日用品中，选出种商品进行促销活动.（1）试求选出种商品中至少有一种是家电的概率；（2）商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高元，规定购买该商品的顾客有次抽奖的机会: 若中一次奖，则获得数额为元的奖金；若中两次奖，则获得数额为元的奖金；若中三次奖，则共获得数额为 元的奖金. 假设顾客每次抽奖中奖的概率都是，请问: 商场将奖金数额最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？19. 如图，在四棱锥中，底面, 是直角梯形，且是的中
5、点.（1）求证: 平面平面；（2）若二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值.20. 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆，离心率，且椭圆过点.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于不同的两点，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.21. 已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）设是曲线图象上的两个相异的点，若直线的斜率恒成立，求实数的取值范围；（3）设函数有两个极值点且,若恒成立，求实数的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程将
6、圆为参数）上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线.（1）求出的普通方程；（2）设直线与的交点为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解关于的不等式；（2）设，试比较与的大小.理科数学 参考答案：(请各位阅卷教师核对答案和评分标准后，再开始阅卷）一 二132 14 15 16 17解： （1）由，应用余弦定理，可得 化简得则 （2）即 所以 法一.,则 = = = 又 得，又因为，当且仅当时“”成立。所以 又由三边关系定理可知综上 18解：设选出的 种商品中至少有一种是家电为事件A，
7、从 种服装、 种家电、 种日用品中，选出 种商品，一共有种不同的选法，选出的 种商品中，没有家电的选法有种， 所以，选出的 种商品中至少有一种是家电的概率为 设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量，其所有可能的取值为0，.（单元：元），表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以，同理; 顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是， 由，解得，所以最高定为元，才能使促销方案对商场有利. 19.解： （1）平面平面 , ，AC又平面， 平面平面平面 (2)如图，以 为原点，为中点）、分别为 轴、 轴、 轴正向，建立空间直角坐标系，则设，则 ，取 为面的法向量 设为面的法向量，则，即取，则，则，依题意，则
8、于是设直线 与平面所成角为 ，则 . 20 解：（）由题意可设椭圆方程为则， 解得：椭圆方程为，（）设，不妨，设的内切圆的半径，则的周长为因此最大，就最大， 由题知，直线 的斜率不为零，可设直线的方程为，由得，得 .则，令，可知，则 ，令，则，当时，在上单调递增，有， 即当时，这时所求内切圆面积的最大值为故直线内切圆面积的最大值为. 21. 解：（1），令或， 的单调增区间为；单调减区间为.（2） 即，所以，令在上单调递增， ，对恒成立， ,对恒成立，又 ，当时取等号，故.（3），因为函数有两个极值点，所以是方程的两个根，即，所以是方程的两个根，所以有， 来源:学+科+网Z+X+X+K 来源:Z。xx。k.Com令，则，设， 在上单减，故. 22.解 ：(1)设为圆上的任意一点，在已知的变换下变为上的点，则有 (2) 解得： 所以则线段的中点坐标为，所求直线的斜率，于是所求直线方程为.化为极坐标方程得：，即23解：（1） 得或或，解得或或，所以不等式的解集为 （2）由（1）易知，所以由于且，所以，即，所以.
