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1、案例: “均值不等式”复习课的设计教学要求：系统复习均值不等式及其等价式、特例式，使学生领会其中“”或“”中取“=”的充要条件，掌握放缩不等式的相关配凑技巧，并培养学生的探究精神与心智素质。教学重点：熟练运用均值不等式及其推论放缩不等式。教学难点：求函数表达式与最值时，“”或“”中“=”成立的条件。教学过程1、知识联系（如下框图）对于个正数而言，积定则和有最小值；和定则积有最大值。其中：（公式中除外）；在的限制条件下，所有“”或“”中取“=”的充要条件是。点评 上述知识联系把均值不等式变式为核心的知识点，发挥其辐射作用，形成了专题内容诸多知识点的网络联系。2、正例例1 如果，且，求证：。（课本
2、例题）说明：课本已经给出了此题的分析证法与综合证法（证法1，证法2），这里再用均值不等式探索另外两种证法。证法3 由于，且，则=， 。证法4 =。 。说明：根据均值不等式放缩不等式的常用辅助技巧是：添项与拆项。若采用下列两个简单公式， ，则能避免繁琐的叠加、叠乘。例2 已知、都是小于1的正数，求证 中至少有一个不大于。证法1 假设由于，则3=2。即33，矛盾。故假设不成立，即原结论正确。证法2假设那么 由于，则。与式矛盾，故假设不成立，即原结论正确。证法3假设由于，则。则，同理可得：，则 推出： ，这是自相矛盾的。故假设不成立，即原结论正确。说明 上述3种证法都在反证法中用到均值不等式，3种不
3、同的思维切入口导致了相应不同的的矛盾出口，这样可以培养学生的逆向思维能力与发散思维能力。点评 上述两例通过成题新法、一题多法的教学策略，可帮助学生克服对已学知识进行复习的轻视态度与厌倦心理，激发学生加深领会基础知识、基本技能与基本方法，并引导学生把专题知识结构同化到自己的原有认知结构中去。3、反例例3 求的最小值。错解1 =16， 。错因：的充要条件是：且，即且，这是自相矛盾的。错解2 错因：的充要条件是 且，即，这是不可能的。解法1 =其中，当即时，。 解法2 取正常数易得 其中取“=”的充要条件是 且，即且。 因此，当时， 说明 用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的充要条件，特别地，
4、如果多次运用均值不等式求最值，则要考虑每次“”（或者“”）中“=”成立的诸条件是否相容。点评 例3采用剖析错解、讲述正确解的教学策略，把学生置身于原有认知结构与新问题矛盾冲突的情境之中，刺激学生消除肤浅、狭隘的思维定势，促使学生保持旺盛的求知欲，并引导学生顺应新问题、新体会，调整原有认知结构而达到平衡。4、练习下面提供一组练习题（课前印好，随堂分发给全班学生）可酌情将其中部分题分别作为当堂练习（及时练评）、课堂作业（部分提示）与自习作业（给出答案）母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图的圆心角为（ ）A B C D 设，则的最大值是 若椭圆长轴、短轴、焦距的长度之和等于8，则长半轴的取值范围
5、是 。当长半轴取最小值时，椭圆的离心率等于 。已知，求证：1。设， 求证： ； 用铁皮做体积为定值V的封闭圆柱，怎样设计才使用料最少？已知非负实数满足求证：0。（答案或提示：略）点评 这组练习题难易适当、便于学生在完善认知结构的同时来回味、消化所学知识。案例分析一、 教学设计回顾及分析1、以定理出发，引出一系列常用公式与重要结论，并以网络框图的形式画出专题知识结构，便于学生系统掌握专题知识结构中各知识点之间的来龙去脉。2、例1从课本例题出发挖掘出另外两种证法，唤醒学生的求知欲与探究心；例2的三种证法以不同的途径导致相应不同的矛盾出口，提高学生运用反证法证题的信心与技巧，便于学生把专题知识结构同
6、化到自己原有的认知结构中去。3、例3首先剖析了学生作业与试卷中普遍出现的两种错误的原因；然后用合理变形、待定系数法的处理技巧，便于学生弥补思维缺陷，重视最值存在的检验过程。由辨析错解到探求正解，便于学生顺应新情境来调整原有认知结构而达到新平衡。4、提供了一组由易到难的练习题，有利于学生主体作用的发挥。二、 启示本专题复习课的教学设计发挥了教师的主导作用，着眼于学生的成长成才。1、有利于激活学生学习的内驱力教学设计注重了克服高三学生普遍存在的零星记忆与系统理解、机械套用与变通活用、定势思维与发散思维之间的矛盾，特别采用由旧解到新解、由一解到多解、由错解到正解的例题讲授策略，因而能够激活学生的学习
7、内驱力。2、有利于学生掌握知识体系获得的知识如果没有完整的结构把它们联系在一起，那么它们多半会被遗忘。教学设计重视挖掘专题内容诸多知识点的交织联系，突出核心知识点的辐射衍生作用，循序诱导学生把专题知识结构内化到认知结构中去，因而能够帮助学生类比领悟、关联记忆、整体把握知识体系。3、有利于学生提高心智素质离开同化与顺应的认知环节，就难以刺激学生产生思维的灵感。教学设计精选典型例题促使学生同化，辨析流行错解激发学生顺应，因而能够帮助学生发散思维、克挫顿悟，掌握科学方法论，逐渐提高心智素质。4、利于学生减轻课业负担仅仅通过减少题量与降低难度，不会使学生感到轻松愉快。即使是很少很简单的知识，如果它们是孤立枯燥的，那么学生学起来也会厌倦；如果学生的悟性太差，那么学生因困惑仍感重负。教学设计遵循学生的认知规律，有序引导学生深刻领会解题技巧，及时消化当堂练习，独立完成少量作业，交流讨论自习作业，因而有利于学生提高思维能力与减轻课业负担，达到良性循环的情境。
