第一章、拓扑学基础

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1、1 第一章、拓扑学基础 1.1 拓扑空间 概念 拓扑空间是一个二元组(S, )，这里 S 是给定集合，是由 S 的 一些子集构成的集类，其元素称为开集，并满足如下开集公理： T1 , S（即，, S 是开集） ； T2 若U1，U2，则U1U2（即，对有限交封闭） ； T3 开集的任意并集还是开集（即，对任意并封闭） 。 註记 满足上述开集公理的，也称为集合 S 上的拓扑， （S, ）为相应的拓扑空间，也记为 S。 例子 实数集合上的标准拓扑：开集定义为若干个开区间的并集。 不难验证：这里定义的开集满足开集公理。 只需说明：两个开区间的交集为空集或开区间。 例子 离散拓扑与平凡拓扑 对给定的集

2、合 S，定义下列两个拓扑： (S,1): 1由 S 的所有子集构成，它是 S 上的拓扑（最大拓扑） 。 (S,2): 2=，S，它是 S 上的拓扑（最小拓扑） 。 练习 给出实数集合上三种不同的拓扑空间结构。 练习 设 S 是一个集合，由，S 及 S 的某个固定子集 A 的所有子集构成。 验证是 S 上的拓扑。从而，(S，)是一个拓扑空间。 概念 设(S, )是拓扑空间，称 AS 是闭集，如果 SA 是开集。 拓扑空间 S 的所有闭集构成集合，记为。 命题 拓扑空间 S 中的闭集满足闭集公理 C1 , S； C2 若A1，A2，则A1A2（即，对有限并封闭） ； C3 闭集的任意交集还是闭集（

3、即，对任意交封闭） 。 证明：利用下列等式可证。 S(A1A2)=(SA1)(SA2)，S( Bi i )= (SBi) i 。 註记 开集公理与闭集公理是等价的：若 S 中的某些子集指定为闭集， 并满足闭集公理。则 S 是拓扑空间，其开集由闭集的余集所构成。 概念 对拓扑空间 S，点 uS 的开邻域是指包含 u 的开集 U；子集 AS 的 开邻域是指包含 A 的开子集；一个点（或子集）的邻域是一个子集， 它包含该点（或该子集）的一个开邻域。 例子 对拓扑空间，U=(-1，1)是 0 的开邻域；W=-1，1是 0 的邻域。 概念 设 S 是一个拓扑空间。称 S 是第一可数空间，如果对uS，存在

4、 点 u 的邻域的序列U1，Un，=Un，使得对 u 的任意邻域 U，必有 n 满足UnU（也称Un为点 u 处的邻域基） 。 子集称为 S 的拓扑基，如果任何开集可以表示成中若干个 成员的并。称 S 是第二可数空间，如果 S 有可数拓扑基。 例子 是第二可数空间，它有可数拓扑基，由下列开区间构成： (a，b)，这里 a，b 是有理数。 （註 这里用到有理数在实数集中的稠密性） 结论 任何第二可数空间，也是第一可数空间。 证明：设=Bn是可数拓扑基，sS。令(s)=Bn；sBn即可。 引理 （Lindelof 引理）设 S 是第二可数空间，A 是 S 的子集。 2 则 A 的任意开覆盖，都有可

5、数子覆盖。 证明：设=Bn是 S 的可数拓扑基，A 有开覆盖U。 即，U是 S 的开集，且 AU。对pA，存在，n 使 pBnU。 此时，选定一个(n)使得 pBnU(n)。于是所有这些U(n)构成 A 的一个可数开覆盖。 概念 设 S 是拓扑空间，AS 是子集。 A 的闭包 cl(A)是所有包含 A 的闭集的交； A 的内部 int(A)是所有包含于 A 中的开集的并； A 的边界 bd(A)定义为：bd(A)=cl(A)cl(SA)。 註记 闭包 cl(A)及边界 bd(A)是闭子集；int(A)是开子集。 概念 称 AS 是 S 的稠密子集，如果 cl(A)=S； 称 AS 是 S 的无

6、处稠密子集，如果 Scl(A)在 S 中稠密； 称 S 是可分的拓扑空间，如果它有可数的稠密子集； 称 uS 是 A 的聚点，如果 u 的任意邻域中包含 Au的点； 称 A 的所有聚点的集合为 A 的导集，记为 der(A)； 称 A 的点 a 是孤立点，如果存在 a 的邻域 U，使 UA=a。 结论 AS 是无处稠密的int(cl(A)=。 证明：反证。若 V=int(cl(A) ，它是 S 的开子集。 从而有 S=cl(Scl(A)cl(SV)=SV，这与 V 相矛盾。 利用等式 Sint(cl(A)=cl(Scl(A)(下面命题)推导如下： 反证。若 Scl(Scl(A)，则 V=Scl

7、(Scl(A)是 S 的非空开集。 但是，V=S(Sint(cl(A)=int(cl(A)，与假设矛盾。 例子 是可分的拓扑空间：有理数集合是的稠密子集。 命题 设 S 是拓扑空间，AS 是子集，则有下列结论 (1)ucl(A)对 u 的任意邻域 U，有 UA ； (2)uint(A)存在u 的邻域 U，使得 uUA； (3)ubd(A)对 u 的任意邻域 U，有 UA ，且 U(SA) 。 证明：只证明(1)，(2)-(3)的证明是类似的。 由定义，ucl(A)存在闭子集 CA，使 uC存在 u 的邻域 U， 使得 UA=。从而结论(1)成立。 命题 设 A，B 是 S 的子集，则有下列结论

8、 (1)ABint(A)int(B)，cl(A)cl(B)，der(A)der(B)； (2)Scl(A)=int(SA)， Sint(A)=cl(SA)， cl(A)=AderA=Abd(A)； (3)cl()=int()=，cl(S)=int(S)=S，cl(cl(A)=cl(A)， int(int(A)=int(A)； 证明：由定义及上述命题不难直接验证，这些结论成立。 命题 设 A，B，Ai（iI）是 S 的子集，则有下列结论 (1)cl(AB)=cl(A)cl(B)，der(AB)=der(A)der(B)， int(AB)int(A)int(B)； (2)cl(AB)cl(A)cl

9、(B)，der(AB)der(A)der(B), int(AB)=int(A)int(B)； (3)cl( Ai iI ) cl(Ai) i ，cl( Ai iI ) cl(Ai) iI ， int( Ai iI ) int(Ai) i ，int( Ai iI ) int(Ai) iI 。 3 证明：由定义不难直接验证，这些结论成立（反证(1)中第二式） 。 概念 设 S 是拓扑空间，un是 S 中序列。称un是收敛序列，如果存在 点 uS，对 u 的任意邻域 U，N，当 nN 时，unU。 此时，称un收敛于 u 或 u 是un的极限点，记为unu 或limnun=u。 命题 设 S 是第一

10、可数空间，AS。 则 acl(A)存在 A 中的序列an，使得ana。 证明：由定义不难直接验证，结论成立。 取点 a 处的可数邻域基Un，使得Un+1Un。由条件UnA , 取anUnA。对 a 的任意邻域 U，存在 N，使得UNU。 从而，当 nN 时，UnUNU。即，当 nN 时，anU。 例子 实数序列2，0，3/2，-1/2，4/3，-2/3，有聚点 1，-1。 例子 设 S 是平凡空间，则 S 中的任意序列收敛到 S 中的任意点。 概念 称 S 是一个 Hausdorff 空间，如果任意不同的两点有不相交的邻域； 称 S 是正则空间，如果它是 Hausdorff 空间，且对任意闭子

11、集 A 及点 xA，A 与 x 有不相交的邻域。 称 S 是一个正规空间，如果它是 Hausdorff 空间，且 S 的任意 两个不相交的闭子集，有不相交的邻域。 练习 证明 Hausdorff 空间中的单点集都是闭子集。 结论 设 S 是第一可数空间，则 S 是 Hausdorff 空间S 中的任何序列 至多有一个极限点。 证明：由定义不难直接验证，结论成立。 设 xy，且对 x 的任意邻域Un，y 的任意邻域Vn，有UnVn 。 不妨设，Un是 x 处的可数邻域基，Vn是 y 处的可数邻域基。 进一步，可以假定这两个邻域基满足前述命题中的序关系。 取anUnVn，则anx，any。矛盾。

12、命题 设 S 是第二可数空间，且 S 是正则空间，则 S 是正规空间。 证明：设 A，B 是 S 中不相交的闭子集，pA。由正则性条件，存在 点 p 的开邻域Up，B 的开邻域UB，使得UpUB=cl(Up)B=。 由于Up；pA是 A 的一个开覆盖，利用 Lindelof 引理推出， 存在可数个成员Uk；k=0，1，2，也构成 A 的开覆盖。 即，A Uk k0 ，cl(Uk)B=。 类似地，有开集的序列Vk，使得 B Vk k0 ，cl(Vk)A=。 令G0=U0，Gn+1=Un+1 cl(Vk) n k=0 ，Hn=Vn cl(Uk) n k=0 。 Gn，Hn都是开集，且 A Gn n

13、0 =G，B Hn n0 =H，GH=。 练习 证明任何第二可数空间都是可分空间。 提示：在拓扑基的每个成员中取一个元素，构成稠密可数子集。 练习 设 S 是一个 Hausdorff 空间。证明：S 是正则空间对pS， p 的任意邻域 U，存在 p 的闭邻域 V，使得 VU。 提示：可以假设 U 是开邻域，F=SU 是闭子集。 1.2 度量空间 概念 集合 M 上的度量是一个映射 d: MM，并满足 M1 非负性：d(m，m)=0,mM，d(m，n)0，mn； 4 M2 对称性：d(m，n)=d(n，m)，m，nM； M3 三角不等式：d(m，l)d(m，n)+d(n，l)，m，n，lM。 带

14、有度量 d 的集合 M 称为一个度量空间，记为(M，d)或 M。 例子 n是度量空间，这里n=(x1,x2,xn)；xi，i=1,2,n。 d(x1,x2,xn),( y1,y2,yn)= (xi yi)2。 可以验证：d 满足 M1-M3，称n为由欧氏度量确定的度量空间。 概念 设(M，d)是度量空间，mM，0。 令D(m)=mM；d(m，m)0，使得D(m)U。 证明：开集公理 T1，T3 显然成立。关于 T2，只需验证任何两个开球 的交可以表示成一些开球的并。 设 pD(m)D(n)，00。 反证。若 d(u，B)=0，对n，bnB，使得 d(u，bn)0，N，m，nNd(un，um)0

15、，N，当 nN 时，d(un，u)0，当d1(u1，u1 )0，d1(u1，u1 )0，当d1(u,v)0，当 u，vA，d(u，v)0，上述断言不成立。 任取p1S，因 S D(p1)，取p2SD(p1)。 因 S D(p1)D(p2)，取p3SD(p1)D(p2)，。 序列pn是无限的，且 d(pi，pj)，i，j。 利用条件，它有收敛的子序列，此子序列是柯西序列。矛盾。 据此断言，对=1/n，点集An=p1,pn()，使 S= D(pi) n() i=1 。 令 A= An n1 ，不难看出，A 是 S 的可数子集，且 S=cl(A)。 11 概念 设 S 是度量空间，AS。称 A 是全有界的，如果对0， 存在 S 的有限子集p1,pn，使得 A D(pi) n i=1 。 推论 度量空间 S 是紧致空间它是完备的、全有界的。 完备度量空间 S 的