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1、1 第一章、拓扑学基础 1.1 拓扑空间 概念 拓扑空间是一个二元组(S, ),这里 S 是给定集合,是由 S 的 一些子集构成的集类,其元素称为开集,并满足如下开集公理: T1 , S(即,, S 是开集) ; T2 若U1,U2,则U1U2(即,对有限交封闭) ; T3 开集的任意并集还是开集(即,对任意并封闭) 。 註记 满足上述开集公理的,也称为集合 S 上的拓扑, (S, )为相应的拓扑空间,也记为 S。 例子 实数集合上的标准拓扑:开集定义为若干个开区间的并集。 不难验证:这里定义的开集满足开集公理。 只需说明:两个开区间的交集为空集或开区间。 例子 离散拓扑与平凡拓扑 对给定的集
2、合 S,定义下列两个拓扑: (S,1): 1由 S 的所有子集构成,它是 S 上的拓扑(最大拓扑) 。 (S,2): 2=,S,它是 S 上的拓扑(最小拓扑) 。 练习 给出实数集合上三种不同的拓扑空间结构。 练习 设 S 是一个集合,由,S 及 S 的某个固定子集 A 的所有子集构成。 验证是 S 上的拓扑。从而,(S,)是一个拓扑空间。 概念 设(S, )是拓扑空间,称 AS 是闭集,如果 SA 是开集。 拓扑空间 S 的所有闭集构成集合,记为。 命题 拓扑空间 S 中的闭集满足闭集公理 C1 , S; C2 若A1,A2,则A1A2(即,对有限并封闭) ; C3 闭集的任意交集还是闭集(
3、即,对任意交封闭) 。 证明:利用下列等式可证。 S(A1A2)=(SA1)(SA2),S( Bi i )= (SBi) i 。 註记 开集公理与闭集公理是等价的:若 S 中的某些子集指定为闭集, 并满足闭集公理。则 S 是拓扑空间,其开集由闭集的余集所构成。 概念 对拓扑空间 S,点 uS 的开邻域是指包含 u 的开集 U;子集 AS 的 开邻域是指包含 A 的开子集;一个点(或子集)的邻域是一个子集, 它包含该点(或该子集)的一个开邻域。 例子 对拓扑空间,U=(-1,1)是 0 的开邻域;W=-1,1是 0 的邻域。 概念 设 S 是一个拓扑空间。称 S 是第一可数空间,如果对uS,存在
4、 点 u 的邻域的序列U1,Un,=Un,使得对 u 的任意邻域 U,必有 n 满足UnU(也称Un为点 u 处的邻域基) 。 子集称为 S 的拓扑基,如果任何开集可以表示成中若干个 成员的并。称 S 是第二可数空间,如果 S 有可数拓扑基。 例子 是第二可数空间,它有可数拓扑基,由下列开区间构成: (a,b),这里 a,b 是有理数。 (註 这里用到有理数在实数集中的稠密性) 结论 任何第二可数空间,也是第一可数空间。 证明:设=Bn是可数拓扑基,sS。令(s)=Bn;sBn即可。 引理 (Lindelof 引理)设 S 是第二可数空间,A 是 S 的子集。 2 则 A 的任意开覆盖,都有可
5、数子覆盖。 证明:设=Bn是 S 的可数拓扑基,A 有开覆盖U。 即,U是 S 的开集,且 AU。对pA,存在,n 使 pBnU。 此时,选定一个(n)使得 pBnU(n)。于是所有这些U(n)构成 A 的一个可数开覆盖。 概念 设 S 是拓扑空间,AS 是子集。 A 的闭包 cl(A)是所有包含 A 的闭集的交; A 的内部 int(A)是所有包含于 A 中的开集的并; A 的边界 bd(A)定义为:bd(A)=cl(A)cl(SA)。 註记 闭包 cl(A)及边界 bd(A)是闭子集;int(A)是开子集。 概念 称 AS 是 S 的稠密子集,如果 cl(A)=S; 称 AS 是 S 的无
6、处稠密子集,如果 Scl(A)在 S 中稠密; 称 S 是可分的拓扑空间,如果它有可数的稠密子集; 称 uS 是 A 的聚点,如果 u 的任意邻域中包含 Au的点; 称 A 的所有聚点的集合为 A 的导集,记为 der(A); 称 A 的点 a 是孤立点,如果存在 a 的邻域 U,使 UA=a。 结论 AS 是无处稠密的int(cl(A)=。 证明:反证。若 V=int(cl(A) ,它是 S 的开子集。 从而有 S=cl(Scl(A)cl(SV)=SV,这与 V 相矛盾。 利用等式 Sint(cl(A)=cl(Scl(A)(下面命题)推导如下: 反证。若 Scl(Scl(A),则 V=Scl
7、(Scl(A)是 S 的非空开集。 但是,V=S(Sint(cl(A)=int(cl(A),与假设矛盾。 例子 是可分的拓扑空间:有理数集合是的稠密子集。 命题 设 S 是拓扑空间,AS 是子集,则有下列结论 (1)ucl(A)对 u 的任意邻域 U,有 UA ; (2)uint(A)存在u 的邻域 U,使得 uUA; (3)ubd(A)对 u 的任意邻域 U,有 UA ,且 U(SA) 。 证明:只证明(1),(2)-(3)的证明是类似的。 由定义,ucl(A)存在闭子集 CA,使 uC存在 u 的邻域 U, 使得 UA=。从而结论(1)成立。 命题 设 A,B 是 S 的子集,则有下列结论
8、 (1)ABint(A)int(B),cl(A)cl(B),der(A)der(B); (2)Scl(A)=int(SA), Sint(A)=cl(SA), cl(A)=AderA=Abd(A); (3)cl()=int()=,cl(S)=int(S)=S,cl(cl(A)=cl(A), int(int(A)=int(A); 证明:由定义及上述命题不难直接验证,这些结论成立。 命题 设 A,B,Ai(iI)是 S 的子集,则有下列结论 (1)cl(AB)=cl(A)cl(B),der(AB)=der(A)der(B), int(AB)int(A)int(B); (2)cl(AB)cl(A)cl
9、(B),der(AB)der(A)der(B), int(AB)=int(A)int(B); (3)cl( Ai iI ) cl(Ai) i ,cl( Ai iI ) cl(Ai) iI , int( Ai iI ) int(Ai) i ,int( Ai iI ) int(Ai) iI 。 3 证明:由定义不难直接验证,这些结论成立(反证(1)中第二式) 。 概念 设 S 是拓扑空间,un是 S 中序列。称un是收敛序列,如果存在 点 uS,对 u 的任意邻域 U,N,当 nN 时,unU。 此时,称un收敛于 u 或 u 是un的极限点,记为unu 或limnun=u。 命题 设 S 是第一
10、可数空间,AS。 则 acl(A)存在 A 中的序列an,使得ana。 证明:由定义不难直接验证,结论成立。 取点 a 处的可数邻域基Un,使得Un+1Un。由条件UnA , 取anUnA。对 a 的任意邻域 U,存在 N,使得UNU。 从而,当 nN 时,UnUNU。即,当 nN 时,anU。 例子 实数序列2,0,3/2,-1/2,4/3,-2/3,有聚点 1,-1。 例子 设 S 是平凡空间,则 S 中的任意序列收敛到 S 中的任意点。 概念 称 S 是一个 Hausdorff 空间,如果任意不同的两点有不相交的邻域; 称 S 是正则空间,如果它是 Hausdorff 空间,且对任意闭子
11、集 A 及点 xA,A 与 x 有不相交的邻域。 称 S 是一个正规空间,如果它是 Hausdorff 空间,且 S 的任意 两个不相交的闭子集,有不相交的邻域。 练习 证明 Hausdorff 空间中的单点集都是闭子集。 结论 设 S 是第一可数空间,则 S 是 Hausdorff 空间S 中的任何序列 至多有一个极限点。 证明:由定义不难直接验证,结论成立。 设 xy,且对 x 的任意邻域Un,y 的任意邻域Vn,有UnVn 。 不妨设,Un是 x 处的可数邻域基,Vn是 y 处的可数邻域基。 进一步,可以假定这两个邻域基满足前述命题中的序关系。 取anUnVn,则anx,any。矛盾。
12、命题 设 S 是第二可数空间,且 S 是正则空间,则 S 是正规空间。 证明:设 A,B 是 S 中不相交的闭子集,pA。由正则性条件,存在 点 p 的开邻域Up,B 的开邻域UB,使得UpUB=cl(Up)B=。 由于Up;pA是 A 的一个开覆盖,利用 Lindelof 引理推出, 存在可数个成员Uk;k=0,1,2,也构成 A 的开覆盖。 即,A Uk k0 ,cl(Uk)B=。 类似地,有开集的序列Vk,使得 B Vk k0 ,cl(Vk)A=。 令G0=U0,Gn+1=Un+1 cl(Vk) n k=0 ,Hn=Vn cl(Uk) n k=0 。 Gn,Hn都是开集,且 A Gn n
13、0 =G,B Hn n0 =H,GH=。 练习 证明任何第二可数空间都是可分空间。 提示:在拓扑基的每个成员中取一个元素,构成稠密可数子集。 练习 设 S 是一个 Hausdorff 空间。证明:S 是正则空间对pS, p 的任意邻域 U,存在 p 的闭邻域 V,使得 VU。 提示:可以假设 U 是开邻域,F=SU 是闭子集。 1.2 度量空间 概念 集合 M 上的度量是一个映射 d: MM,并满足 M1 非负性:d(m,m)=0,mM,d(m,n)0,mn; 4 M2 对称性:d(m,n)=d(n,m),m,nM; M3 三角不等式:d(m,l)d(m,n)+d(n,l),m,n,lM。 带
14、有度量 d 的集合 M 称为一个度量空间,记为(M,d)或 M。 例子 n是度量空间,这里n=(x1,x2,xn);xi,i=1,2,n。 d(x1,x2,xn),( y1,y2,yn)= (xi yi)2。 可以验证:d 满足 M1-M3,称n为由欧氏度量确定的度量空间。 概念 设(M,d)是度量空间,mM,0。 令D(m)=mM;d(m,m)0,使得D(m)U。 证明:开集公理 T1,T3 显然成立。关于 T2,只需验证任何两个开球 的交可以表示成一些开球的并。 设 pD(m)D(n),00。 反证。若 d(u,B)=0,对n,bnB,使得 d(u,bn)0,N,m,nNd(un,um)0
15、,N,当 nN 时,d(un,u)0,当d1(u1,u1 )0,d1(u1,u1 )0,当d1(u,v)0,当 u,vA,d(u,v)0,上述断言不成立。 任取p1S,因 S D(p1),取p2SD(p1)。 因 S D(p1)D(p2),取p3SD(p1)D(p2),。 序列pn是无限的,且 d(pi,pj),i,j。 利用条件,它有收敛的子序列,此子序列是柯西序列。矛盾。 据此断言,对=1/n,点集An=p1,pn(),使 S= D(pi) n() i=1 。 令 A= An n1 ,不难看出,A 是 S 的可数子集,且 S=cl(A)。 11 概念 设 S 是度量空间,AS。称 A 是全有界的,如果对0, 存在 S 的有限子集p1,pn,使得 A D(pi) n i=1 。 推论 度量空间 S 是紧致空间它是完备的、全有界的。 完备度量空间 S 的