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1、2017年暑期初中数学复习总动员第45讲归纳猜想问题【知识巩固】一、专题诠释归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。二解题策略和解法精讲归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊一般特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识
2、新生事物的一般过程。相对而言， 猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。【典例解析】典例一、猜想数式规律（2017毕节）观察下列运算过程：计算：1+2+22+210解：设S=1+2+22+210，2得2S=2+22+23+211，得S=2111所以，1+2+22+210=2111运用上面的计算方法计算：1+3+32+32017=【考
3、点】37：规律型：数字的变化类【分析】令s=1+3+32+33+32017，然后在等式的两边同时乘以3，接下来，依据材料中的方程进行计算即可【解答】解：令s=1+3+32+33+32017等式两边同时乘以3得：3s=3+32+33+32018两式相减得：2s=320181，s=，故答案为：【变式训练】按一定规律排列的一列数：，1，1，请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为【考点】规律型：数字的变化类【分析】把整数1化为，可以发现后一个数的分子恰是前面数的分母，分析即可求解【解答】解：把整数1化为，得，（），可以发现后一个数的分子恰是前面数的分母，所以，第4个数的分子是2，分母是3，故答案为：
4、典例二、猜想图形规律（2017黑龙江鹤岗）观察下列图形，第一个图形中有一个三角形；第二个图形中有5个三角形；第三个图形中有9个三角形；则第2017个图形中有8065个三角形【考点】38：规律型：图形的变化类【分析】结合图形数出前三个图形中三角形的个数，发现规律：后一个图形中三角形的个数总比前一个三角形的个数多4【解答】解：第1个图形中一共有1个三角形，第2个图形中一共有1+4=5个三角形，第3个图形中一共有1+4+4=9个三角形，第n个图形中三角形的个数是1+4（n1）=4n3，当n=2017时，4n3=8065，故答案为：8065【变式训练】观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，
5、第9个图形中共有135个点【考点】38：规律型：图形的变化类【分析】仔细观察图形，找到图形变化的规律的通项公式，然后代入9求解即可【解答】解：第一个图形有3=31=3个点，第二个图形有3+6=3（1+2）=9个点；第三个图形有3+6+9=3（1+2+3）=18个点；第n个图形有3+6+9+3n=3（1+2+3+n）=个点；当n=9时， =135个点，故答案为：135典例三、猜想数量关系（2016山东省东营市4分）在求1332333435363738的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S1332333435363738 ，然后在式的两边都乘以3，得：3S3
6、3233343536373839 ，一得：3SS391，即2S391，S.得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m（m0且m1），能否求出1mm2m3m4m2016的值？如能求出，其正确答案是_.【专题】规律探究数式规律【答案】.【解析】设S1mm2m3m4m2016 ，在式的两边都乘以m，得：mSmm2m3m4m2016m2017 一得：mSSm20171.S.【点拨】仔细理解题目中所给的求1332333435363738的值过程，仿照其解法，即可得到求出1mm2m3m4m2016的值的方法.【变式训练】（2016广西百色3分）观察下列各式的规律：（ab）（a+b）=a2b2（a
7、b）（a2+ab+b2）=a3b3（ab）（a3+a2b+ab2+b3）=a4b4可得到（ab）（a2016+a2015b+ab2015+b2016）=a2017b2017【考点】平方差公式；多项式乘多项式【分析】根据已知等式，归纳总结得到一般性规律，写出所求式子结果即可【解答】解：（ab）（a+b）=a2b2；（ab）（a2+ab+b2）=a3b3；（ab）（a3+a2b+ab2+b3）=a4b4；可得到（ab）（a2016+a2015b+ab2015+b2016）=a2017b2017，故答案为：a2017b2017典例四、猜想变化情况（2017贵州安顺）如图，在平面直角坐标系中，直线l：
8、y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，在直线l上，点B1，B2，B3，在x轴的正半轴上，若A1OB1，A2B1B2，A3B2B3，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn1Bn顶点Bn的横坐标为2n+12【考点】D2：规律型：点的坐标【分析】先求出B1、B2、B3的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题【解答】解：由题意得OA=OA1=2，OB1=OA1=2，B1B2=B1A2=4，B2A3=B2B3=8，B1（2，0），B2（6，0），B3（14，0），2=222，6=232，14=242，Bn的横坐标为2n+12故答案为 2n+12【变式训
9、练】（2017内江）如图，过点A0（2，0）作直线l：y=x的垂线，垂足为点A1，过点A1作A1A2x轴，垂足为点A2，过点A2作A2A3l，垂足为点A3，这样依次下去，得到一组线段：A0A1，A1A2，A2A3，则线段A2016A2107的长为（）A（）2015B（）2016C（）2017D（）2018【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征【分析】根据含30的直角三角形的性质结合图形即可得到规律“OAn=（）nOA=2（）n，依此规律即可解决问题【解答】解：由y=x，得l的倾斜角为30，点A坐标为（2，0），OA=2，OA1=OA=，OA2=OA1，OA3=OA2，OA4=OA3，OAn=
10、（）nOA=2（）nOA2016=2（）2016，A2016A2107的长2（）2016=（）2016，故选：B典例五、其他类规律（2017山东聊城）如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y=x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，以O3为圆心，O3O为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；按此做法进行下去，其中的长为22015【考点】MN：弧长的计算；F8：一次函数图象上点的坐标特征【分析】连接P1O1，P2O2，P3O3，易求得PnOn垂
11、直于x轴，可得为圆的周长，再找出圆半径的规律即可解题【解答】解：连接P1O1，P2O2，P3O3P1 是O2上的点，P1O1=OO1，直线l解析式为y=x，P1OO1=45，P1OO1为等腰直角三角形，即P1O1x轴，同理，PnOn垂直于x轴，为圆的周长，以O1为圆心，O1O为半径画圆，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交x轴正半轴于点O3，以此类推，OOn=2n1，=2OOn=2n1=2n2，当n=2017时， =22015故答案为 22015【变式训练】（2017内江）观察下列等式：第一个等式：第二个等式：第三个等式：第四个等式：按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第
12、六个等式：a6=；（2）用含n的代数式表示第n个等式：an=；（3）a1+a2+a3+a4+a5+a6=（得出最简结果）；（4）计算：a1+a2+an【考点】37：规律型：数字的变化类【分析】（1）根据已知4个等式可得；（2）根据已知等式得出答案；（3）利用所得等式的规律列出算式，然后两两相消，计算化简后的算式即可得；（4）根据已知等式规律，列项相消求解可得【解答】解：（1）由题意知，a6=，故答案为：，；（2）an=，故答案为：，；（3）原式=+=，故答案为：；（4）原式=+=【能力检测】1. （2017广西百色）观察以下一列数的特点：0，1，4，9，16，25，则第11个数是（）A121B
13、100C100D121【考点】37：规律型：数字的变化类【分析】根据已知数据得出规律，再求出即可【解答】解：0=（11）2，1=（21）2，4=（31）2，9=（41）2，16=（51）2，第11个数是（111）2=100，故选B2. （2016广西南宁3分）观察下列等式：在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第44层【考点】规律型：数字的变化类【分析】先按图示规律计算出每一层的第一个数和最后一个数；发现第一个数分别是每一层层数的平方，那么只要知道2016介于哪两个数的平方即可，通过计算可知：4422016452，则2016在第44层【解答】解：第一层：第一个数为12=1，最后一个数为221
14、=3，第二层：第一个数为22=4，最后一个数为231=8，第三层：第一个数为32=9，最后一个数为241=15，442=1936，452=2025，又193620162025，在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第44层，故答案为：44【点评】本题考查了数学变化类的规律题，这类题的解题思路是：从第一个数起，认真观察、仔细思考，能不能用平方或奇偶或加、减、乘、除等规律来表示；利用方程来解决问题，先设一个未知数，找到符合条件的方程即可；本题以每一行的第一个数为突破口，找出其规律，得出结论3. （2017重庆B）下列图象都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第个图形中一共有4颗，第个图形中一共有11颗
