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1、2019考研数学线性代数二次型（三）来源：文都教育二次型化为标准型的方法主要有两个方法：正交变换法、配方法.上次我们主要介绍了正交变换法，下面我们将介绍另一种方法-配方法，配方法虽然并非大题常用考法，但是对于某些题目却又奇效.为介绍配方法，以题为例.1、 配方法化标准型（1）有平方项例1.（2018-改）设实二次型 其中是参数，求的规范形.解：法一：1）合并所有含的项，并配方：2）再合并所有含的项，并配方：3)作非退化的线性变换, 可得.(标准型）4)令, 得二次型的规范形为.法二：,记， 令可得：,则标准型为；规范形为.（2）没有平方项例2.化二次型为标准型.分析：没有平方项，先构造平方项出
2、来，然后再按例1方法计算即可.解：（1）构造平方项令，带入可得：（2） 按照有平方项的进行处理1） 2）令, 得二次型的规范形为.2、 配方法的妙用例1给我们展示了二次型化为标准型的两种方法，但是我们应该注意到，使用不同方法得到的标准型是不一样的：配方法和正交变换法可得标准型分别为：，.虽然标准型不唯一，但是标准型中正负项的个数是相同的，这个也被称为惯性定理.其中正向的个数是正惯性指数，负项的个数为负惯性指数.所以我们求惯性指数也有两种方法，而有些时候配方法较为简单.例3.(2014)设二次型的负惯性指数为1，则的取值范围是.解:配方法可得：，因为负惯性指数是1，故，解得.由上可知，对于本题用配方法可以迅速解出答案，而如果用正交变换法先求出特征值，然后再根据特征值符号来进行判定就没有那么容易。因，通过是不易求出特征值的.二次型化标准型是考研常考点，正交变换法和配方法都需要认真掌握.下次我们会讲解正定二次型以及正定二次型与高数的连接,在此希望能对2019考生的复习有所帮助.最后，预祝各位考生考研成功！
