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1、2019考研数学线性代数二次型(三)来源:文都教育二次型化为标准型的方法主要有两个方法:正交变换法、配方法.上次我们主要介绍了正交变换法,下面我们将介绍另一种方法-配方法,配方法虽然并非大题常用考法,但是对于某些题目却又奇效.为介绍配方法,以题为例.1、 配方法化标准型(1)有平方项例1.(2018-改)设实二次型 其中是参数,求的规范形.解:法一:1)合并所有含的项,并配方:2)再合并所有含的项,并配方:3)作非退化的线性变换, 可得.(标准型)4)令, 得二次型的规范形为.法二:,记, 令可得:,则标准型为;规范形为.(2)没有平方项例2.化二次型为标准型.分析:没有平方项,先构造平方项出
2、来,然后再按例1方法计算即可.解:(1)构造平方项令,带入可得:(2) 按照有平方项的进行处理1) 2)令, 得二次型的规范形为.2、 配方法的妙用例1给我们展示了二次型化为标准型的两种方法,但是我们应该注意到,使用不同方法得到的标准型是不一样的:配方法和正交变换法可得标准型分别为:,.虽然标准型不唯一,但是标准型中正负项的个数是相同的,这个也被称为惯性定理.其中正向的个数是正惯性指数,负项的个数为负惯性指数.所以我们求惯性指数也有两种方法,而有些时候配方法较为简单.例3.(2014)设二次型的负惯性指数为1,则的取值范围是.解:配方法可得:,因为负惯性指数是1,故,解得.由上可知,对于本题用配方法可以迅速解出答案,而如果用正交变换法先求出特征值,然后再根据特征值符号来进行判定就没有那么容易。因,通过是不易求出特征值的.二次型化标准型是考研常考点,正交变换法和配方法都需要认真掌握.下次我们会讲解正定二次型以及正定二次型与高数的连接,在此希望能对2019考生的复习有所帮助.最后,预祝各位考生考研成功!