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1、在问题变式中拓展思维 在合作探究中演绎精彩记一堂高三复习公开课的教学设计与反思蒋茵（浙江省台州市第一中学318000） 如何使高三复习课精彩高效?这是每一位数学老师积极探索的问题,也是新课程改革的目标之一.笔者认为, “问题变式,合作探究”教学模式在高三复习课教学中非常重要.近日,在“台州市高三数学复习研讨会”上,笔者有幸开设了一堂主题为“围绕目标善转化 巧设点线活运算基于一类直线、抛物线与圆高考题的探究”的公开课.该课教学设计从一个直线与抛物线基础问题出发,采用变式教学方式,层层递进,演绎为对2011年浙江省高考解析几何变式题的探究. 现将教学设计及其反思整理如下,以期与同行交流1.教学实录
2、1.1 问题驱动,互动探究问题 如图1，已知抛物线为抛物线的焦点,是抛物线的两个动点,且在轴同侧,如果直线的斜率与的斜率互为相反数,证明直线过定点,并求出这个定点？ 图1设计意图：引导学生自主读题,寻找解题目标，在学生求解思路的基础上完善求解方法,引领学生回顾求解直线与圆锥曲线相交问题时设直线的2种常用方法,从中领悟函数和方程思想在求解此类问题中的应用. (学生思考，展示解法) 生1：方法1因为存在,所以设直线: 与联立消去得：,设 由韦达定理得：,.下面我不知道该如何求解了?师：你要证明的结论（目标）是什么？生1：要证直线: 过定点,即找的关系.师: 这样的话,能否将条件中朝着你的目标去转化
3、呢？生1：因为,所以找的关系转化为找的关系,接下来只要将条件中向去转化即可.师：请你继续给出解答过程.生1：因为即,所以即,从而,即(舍)或,故直线: ,过定点.师：很好！这位同学设的是目标直线,而且围绕目标进行合理转化.其他同学还有不同解法吗?生2：方法2 如图2，延长交抛物线于点.设直线: ,与联立,消去得：,由韦达定理,得：,由对称性可知,从而.又因为直线:,化简 得：,即,因此,直线 图2 .师：很棒!2位同学的解法都很好.方法1从一开始直线的设法以及中段的解题分析都是从结论（目标）入手,属于“分析法”,而方法2恰恰相反,从条件入手,属于“综合法”.1.2学以致用,变式探究师：对上述问
4、题的条件能否作些修改,进而得到相应的给论呢？请大家思考. （学生分组讨论,给出下列变式.）变式1： 如图3,把“为抛物线的焦点”改为“抛物线上的点”试探究:直线是否过定点? ? 图3 生3：用问题中的方法1可得到,化简得： ,即,故.因此直线不过定点,但为定值. 生4：用问题中的方法2,设直线代入,得：.因为点在抛物线上,所以,上式中的用替换,从而,又因为直线, 所以直线,即为定值.生5：不需要联立方程,同生4化简得：,即.同理.师：很好！点的位置变了,但探究的方法没有改变.而且生3综合并优化了前2位同学的解法.继续思考,还能怎么改,能否探究出更一般性的结论呢？变式2：把“为抛物线的焦点”改为
5、“抛物线上一点”,试探究：是否为定值？师:好,我们大家一起来做做看.生6：,即,同理可得,因此（定值与有关）.设计意图：放手让学生去改变问题的条件或结论进行变式探究，巩固源问题中涉及的数学方法和探讨有没有更好的解法.从而激发学生的学习兴趣,启发学生提出问题,培养学生大胆猜想、小心求证的数学品质.师：太棒了！这组同学运用特殊到一般的思想探究了一般性的结论.以上我们运用多种方法对一类直线与抛物线的问题进行求解,而在高考题中往往再引入条件(如圆)进行编题,来看这样一道高考变式题.变式3：如图4，已知抛物线圆,设点是抛物线上一点,过点作圆的2条切线l1,l2,交轴于点,问：是否存在点,使线段被平分？若
6、存在,求点的坐标；若不存在,请说明理由. （2011年浙江省数学高考文科试题第22题改编） 图4 图5生7：根据图形的对称性,若线段被平分,则.因此点的坐标为（2,4）. 师：满足条件的点只有一个吗？生7：还有（2,4）.师：相当精彩！数形结合,检验了解的个数. (教师适时利用几何画板演示,帮助学生直观感受点的位置.)生8: 变式4 把“点”改为“轴上的另外一点”,如何求点的坐标?师:很好!生8的想法不错,大家想一想,能利用图形来解决吗?生9：由图5可知点的纵坐标小于4,而且这样的点也有2个.（教师继续利用几何画板拖动点演示)师:我们利用图形猜想了点的大致位置,能不能利用代数进一步求出点的具体
7、位置呢？（学生试解, 然后教师选学生“代表”口头回答,教师板演.）生10：设,过点的圆的切线方程为, 即,则,按整理得： .设,的斜率为,所以,再设,则.不知下面该如何求解了?师:很好！这位同学把看作主元整理方程,然后利用韦达定理求解,而且关注到了运算求解中的整体性.其他同学能否继续分析求解?生11：因为与, 找到了关系,接下去只要找到,与条件中,的关系即可.令的得：,从而,于是,化简得：, 故：,即, 因此存在点满足题意,点的坐标为或.师：这是用了设而不求及方程思想！并且围绕着求,将合理转化为关于的式子. 解题的最高境界是触类旁通,加强变式训练必不可少,下面老师的思维也发散一下给出一道变式思
8、考题.变式5如图6，已知抛物线圆,过抛物线上一点作圆的2条切线l1,l2,交抛物线于两点,求直线斜率的最值.（2011年浙江省数学高考理科试题第21题改编） 图6师:请同学来说一说这一变式题怎么解?生12:“等价转化”目标与的关系与的关系与的关系.(解答过程略)师：很好！这位同学已经学到了如何围绕解题目标进行合理转化.设计意图：进一步强化学生在解题过程中的目标意识、转化能力及函数方程的思想,突出设而不求的数学方法,通过高考变式题为载体内化知识,把新学的知识融入到旧的认知体系中去,构建新的认知体系.1.3探究感受,探究延伸师:通过这节课学习,你学到了哪些知识?这堂课体现了哪些数学思想方法?生14
9、:我学到了如何巧设点线,找目标变量和条件变量的转化关系以及用设而不求、几何和一些运算技巧进行合理运算；这堂课体现了数形结合、等价转化、函数与方程,类比,特殊到一般思想等.师:今天的作业：请同学课后继续自编几个变式题进行深入探究. 教师提供另外样例：变式6变式3中去掉条件“线段被平分”,求面积的最小值.变式7变式5中加条件“”,求点的坐标.变式8变式1中将“抛物线”改成“椭圆”,情况又怎样？设计意图：课堂教学的结束,并不意味着探究活动的结束. 要求学生自编变式问题,将探究活动延伸到课外,培养学生主动探究数学问题的意识和习惯.2 教学反思2.1相信学生,让学生在合作探究中动起来为了让学生充分融入课
10、堂,笔者决定课前不发学案,努力上一堂“原生态”的问题探究课.为了让学生“动”起来,笔者在课堂上设计了2个平台.其一,每一个问题都要让学生积极参与,当一个学生给出解法或解题中断后,鼓励其他学生给出自己不同的解法或完善解法；其二,放手让学生去改变问题的条件或结论进行变式探究,让课堂多了些生成.如原来教学预设中没有变式2(将点一般化),但是学生提出来了,笔者及时调整了预设,鼓励学生进行探究,学生沿用通法解决问题,并得到一般性的结论.实践表明,“原生态”教学使得问题探究得更到位、更自然、更真实.如本课重点要突破的变式3、变式4的探究过程,学生能借助几何直观求解变式3.当有学生改变数据发现变式4时,教师
11、能自然地引导学生先估计点的大致位置,同时用“几何画板”动画演示,验证学生的猜想,激发学生的学习热情.有了形的直观,再鼓励学生进一步探究用数将直观问题精确化,这不就是解析几何所倡导的“以形助数,以数解形”吗? 整节课都是由学生独立思考或合作讨论发现问题及解法,努力做到了让课堂“动”起来.由此笔者认为,在平时教学中,我们也要充分相信学生,在课堂中让学生沉睡的思维被唤醒,创造的潜能被激发.2.2变式探究, 让学生在合作探究中感受数学著名的数学教育家波利亚曾说过：“好问题如同蘑菇,它们都成堆地生成,找到一个之后,你应当在周围找一找,很可能附近就有好几个.”高三复习课上应追求变式探究,让学生在合作探究中
12、感受数学.一方面在变中突出不变的解题方法,讲一题通一类会一片,如本节课通过源问题的求解,让学生回顾此类问题的2种通法(方法1、方法2),通过变式探究,使学生在解决变式1、变式2时,“重复”操练这2种求解方法 ,促进他们对数学技能的掌握,不断提高分析问题、解决问题的能力；另一方面变式问题并非“生硬”的“外挂式”设置,不是生搬硬套的“拼凑”,而是要突出教学重点、突破教学难点,确保教学任务的顺利完成；要符合学生的认知规律,有效引导并激活学生的数学思维；递进要自然,以保证学生思维的连贯、通畅. 本节课对一类直线与抛物线的问题进行求解之后,就会思考：能否再引入条件(如圆)进行编题？因此有了变式3,变式4
13、；从改变题型角度思考,从定点问题到定值、点坐标的求法、平分弦、最值等问题,有了变式5. 最后继续鼓励学生将变式进行到底,教师提供另外样例：变式6、变式7、变式8,将探究活动延伸到课外.“变式探究”有利于扩大学生视野,深化知识,举一反三,触类旁通,从而增强学生分析问题、解决问题的自信心,激发他们的学习兴趣. 2.3渗透思想,让学生在合作探究中打通解题思路高考解析几何大题属于难题,特别是后半部分一般是尖子生拉开与其他考生距离的“分水岭”.因此,解析几何复习课要求例题教学中渗透数学思想,培养学生数学思维,逐步发展学生的能力.在分析问题,探索思路的过程中进行,用数学思想方法指导分析,让学生去领悟隐含于例题的数学思想方法.如本节课,当生1解到韦达定理思维受阻而中断解题时.主要原因是未能确定目标和进行等价转化.设计了这样几个引导问题: “你要证明的结论（目标）是什么？” ,“能否将条件中朝着你的目标去转化呢？”等,帮助学生确定了转化的目标方向,并对条件转化作出等价性的分析. 培养学生在解题过程中的目标意识、转化能力及函数和方程的思想方法. 并鼓励学生自觉地运用学到的思想方法到后续的解题中去,最终达到用思想指导方法的思维习惯.在例题结束
