《用mathematica来实现非线性规划问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《用mathematica来实现非线性规划问题（2页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、中. 西娜科技 2 0 0 7 0 9 用倒吻由以班心份来实现非纷阻贼U问题 郑 (1 . 重庆 电于1程职业学院 , 重庆 401 14 7 : 玫 , 成洁 , 王刚 2 . 四川水利职业技术学院 , 四川 都江堪 61 183 0;3 . 四川农业大学 , 通讯作者) 摘典 : 本丈用Ma t h e砒幻c a摘程实现T一类有约束条件的非线性妮划问题的求解 。 丈中先介绍了该类非线性规划问题的相关定义如约束 条件 、 场罚函数和内 .叙法 等 , 又介绍了用内点法解决非 线性挽划问趁的相关定理和算法 . 经过研充这些理论和算法 , 结合Ma th em at j c a语 言的特点 编写
2、出了相应的程序 , 并计葬了几个实例 。 最后简单分析T 用m a th e m at i c a编 写内点 法程序的优越性和程序中所沙及到的布分函 数和语句的功 能及其作用 。 关幼词:非线性挽划; 约束条件;悠罚函数;内点法; Ma七hem atic a 仙. t r a et: Inthi stext,u sing Mathem atiea Pr og ram mingha sp e rf ormedthePro blem o fn o川i near Progr am ming . Thef i rst, hav eintro d ue edthe eo ndition , Pu nis
3、hf u n etio nand In n e rPointm ethod . Thro ughthat theor y a ndal g orithmc om bin ethe eh araeteristies ofthe l a ngu ageo fMathem atic a , w r ite out therele v antProgramandthesev eralex a mPl eshav eeal i u l ated . Thel ast,sim plya na iyz ethe adv a ntage o f usingthe l an g uage o f Mathem
4、atiea w r ite out the Prog ramo fIn ner pointm ethod . Key 物r d 。:n o nlinear Pr o g r a m ming: r e st r i cteo nditio n; Punishf u netion: in n e rPointm etho d; Math ematiea 1 引官 非线性规划研究的对象是非线性形函数的数值最优问 题 , 什么是非线性规划问题?目标函数或约束条件中至少有 一个是非线性函数的最优化问题叫非线性规划问题 。 非线 性规划问题的数学模型一般可分为两种 : 第一种是无约束非线性规划问题 ,
5、它的模型可写为 mio f份) (n维欧氏空间) sJ . xR “ 另一种是有约束非线性规划问题 , 它的模型可写为 min f(X) s工 会 (X)之0 ,j= I , 2苏 ,历 (丫)二0 . J二1 .2 苏 , I 其中x = ( x , , 凡 .K 气了 。r , 表示x是 n维欧氏空间E n 的向量 或点 , f 、 g i 、 h j是定义在E n上的实值函数 。 至于求目标函 数的最大值或约束条件为小于等于零的情况 , 都可通过取 其相反数, 化为上述一般形式 。 下面重 点研究有约束非线性规划问题 。 约束非线性规 划问题可分为两种 : (一)等式约束问题的最优性条件
6、 : min f(x ) s, h (*)二o j = l , 2 , K . 价 (二) 不等式约束问题的最优性条件 : minr(x ) sJ . g(X )之0 1=l , 2 ,K , m 本文中主要针对第二个 问题来研究 。 2SU盯内点法(陈礴.致法) 内点法的使用范围 : 只适用于不等式约束的最优化问题 。 有约束的 1卜线性规划问题的 求解方法 主要有两种 , 一个是 非线性规划的线形逼近 , 这个我们不讨论 , 另外一个是惩 罚函数法 , 这是本文讨论的重点 。 惩罚函数法基本思想是 , 利用问题中的约束函数作出 适当的带有参数的惩罚函数 , 然后在原来的目标函数上加 上惩罚
7、函数构造出带参数的增广目标函数 , 把约束问题转 化为一系列无约束最优化问题 , 进而用无约束最优化方法 去求解 , 这类方法称为序列无约束最优化方法简称S U MT 。 其一为SUMT外点法 , 其二为S服T内点法(障碍函数法) 。 内点法总是从可行域的内点出发 , 并保持在可行域内 部进行搜索 。 因此这种方法使用于只有不等式约束问题 。 m 讯f(x ) s才 . 9 , (X)之0 1=l , 2 ,K, m 设集合D = xlg(x)之0 ,i= l , 2 ,K, m , 。 , 即n是可行域 中所有严格内点的集合 。 保持迭代点含于D内部的方法是定义障碍函数 Z(X ,r ) =
8、 f(X)+r B(X) 其中B ( x是连续函数 , 当点 x趋 向D的边 界时 , ,(*)。、两种最重要的形式是 Bx 卜 r艺i ng*(、 B(x卜r艺l /9 1(X ) 及 称B (x ) 为障碍项 , r为障碍因子 。 其中 r 是很小的正数 。 这样 , 当 x 趋向D的边界时 , z ( x , r )。+ a o : 否则 , 由于r很小 , 则 z(x , r)二f(x ) 。 因此 , 我们通过求解 问题 min z(x , r) SJ . x任in i D (其中符号in tD表示D的内部) 得到问题 minf(X ) 的解 。 52 . 9 。(x )之0 1=一
9、 , 2 ,K, m 上面 的不等式约束最优化问题就变为求无约束非线性 收稿日期: 20 07一0 7一2 8 修回日期 : 20 07一08一23 作者简介:郑玫 , 副教授 . 高级心里咨询师 。 从事应用数学理论研究和教学工作 。 *通讯作者: E - - mail:wa nggangs efe . edu 州 ,” 规划问题 min z(x , r ) 5 . t . xint D 其中无约束最优化方法大体上分为两类 :解析法与直接 法 。 解析法就是在计算过程中要用到函数 z (x , r ) 的一阶偏 导数 , 即梯度 vZ一X ,r ) 或其二阶偏导数即 Z(x . r) 的He
10、 s s e矩 阵解z ( x ,: )及其性质的方法 。 直接法我们不探讨 。 用解析法 就成了求函数Z (X , r) 极植的问题了 。 这时往往化成求解 V Z(X , r)= 0 即求x ,使满足 ! 一。 k = 肋了叫, , h q = Li用it【k ,r 一 0】 P rin t I 最优解: ” , 们 G : : a rg = ” 你的输入有错误 , 请看好注释后l l 确愉入 ” 击 , 日Z丫 , r) 祝 L L 论 X ,r ) 八 。 的问题 。 这是含有 n个未知变 量 , n个方程的方程组 , 并且 一 般是非线性的 。 下面用 Mat h 姗 tic a 的
11、S o lve函数进行计算 , 解出目标问题的最优解 。 3 理序包的建立 本文讨论的目的是在Ma t he ma tica l朴实现非线性规划问 题 。 Mat h e ma t iC a是一个著名的数学软件 。 为了在Ma th e 阳tic a中实现 非 线 性 规 划 问题 , 用 Mat h姗tic a的程序包 。 Ma th e阳tic研呈 序包的大体结果如下 : BeginPa ekag e “ 程序包名 ” eollatz :u s age二描述字符串 Begin “ Pr iv ate ” , 程序包体 End EndPa Ckag e 要建立的程序包的名字是G 。 它有四个
12、参数 , 都从键盘 直接输入 。 它们分别为 : F = 厂( X) ; 其中 X = 卜 !, 凡, L , x。 N = 刀 T L 行,一 毛 9 .,92,L , g , M =m 召叹i n 内以 “g试”G ” G : : u sa g e = “ 用内点法处理非线性规划 问题 ” B职in【 ”priv a te l ”1 ( * T : 约束条件函数集合* ) (*F : 目标函数 * ) (* n : 变量的数 * ) (* m : 约束条件数量* ) Module G F ,n, mT乙1 5 1 1: = i , . j .r, q ,k , 二 * =,r娜,Ix ,
13、, , I f 【I n r明, . r Q【 nl 11 . ; . , l) F t ) r【 j=1 , j = n , j+ , 月即end而Ir , D tZ , x l .z 01 Printl , 障石浮函数 :” , 21 End EndPaekage 4 程序包的功能和运耳结果的简单分析 Ma t h em a tio a来构造的用内点法来计算非线性最优化模 型的程序包 显得小巧得多 。 本程序主程序段用了Me du l e结 构 , 它是一个模块 。 使用M o d u le模块后 , 有M odu le确定的 变量就成为了局部变量 , 即使有全局变量与之重名 , 也不 会
14、发生互相影响 。 程序包中部分涉及到的函数 、 语句和及其功能如下 : L i st l i - - 一给出集合Li st的第i个元素 。 Ar r刃咬 a , 呼一建立一个何” , a t Z , L 形式的 n 维集合 。 s u ml - - - 一求和 函数 , 功能相当于 。 I n te g er Z 川 - - - 一判断 n 是否是整数的函数 。 AP Pe ndT o l Li s t , i - 一在集合Li st的末尾位置添入元素 i的函数 。 P ri n tl - 一打印输出的函数 . L imi t l l - 一求极限的函数 。 Rct ur n l e xP r
15、】 - 一退出函数中的所有过程及循环 , 并返回值e x pr 。 Me s s雌引 - - - 一打印函数 , 主要用在错误报告提示信 息打印 。 F or l - - 一循环语句 。 1 1 1】 - 一条件语句 。 S o l v 4 1 - 一是用代数的方法来求解方程或方程组的 函数 。 函数肠l v喇它有个缺点是在Ma the ma tic a 一元 4次 多 项式以下的方程 , 给出精确解 , 但是当方程的次数超过4次 时 , 就只能给出以Roo t s函数表示的抽象的解了。 参考文献 : 【 1 杨钮 , 何旭洪等 . Mathem atie a应用指南M . 北京 : 人民邮 电出版社 , 1999 2 赵静 . 但倚 等 . 数学建模与 数学实验 【 M . 北京 : 高等教 育出版社 , 200 1 3嘉合作室 . Mathe o atie a应用实例教程 M . 北京 : 机械l _ 业出 版社 , 2002 【 4 施 光燕 , 董加 礼 . 最优化方法 【 M . 北京 : 高等教育出版社 . 2002 5 刁在 药 , 郑汉鼎 , 刘家壮 , 刘桂真 . 运筹学tM . 北 京 : 高等 教育出版社 , 2002
