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1、 飞扬理科一次函数讲解同学们已经知道了一次函数是研究函数的入门知识，也是今后学习其它函数的基础为了使大家能牢固地掌握一次函数的性质与简单应用，现从以下几个方面帮助同学们搞好一次函数重点知识的回顾一、要点解读1，知识总揽一次函数是函数大家族中的主要成员之一，是研究两个变量和学习其它函数的基础，它的表达式简单，性质也不复杂，但在我们的日常生活中的应用却十分广泛，与其它函数的联系也十分密切，许多实际问题只要我们注意细心观察，认真分析，及时将问题转化为一次函数模型，再得用一次函数的性质即可求解2，疑点、易错点（1）若两个变量x、y间的关系式可以表示成ykx+b(k0)，则称y是x的一次函数特别地，当b
2、0时，称y是x的正比例函数，就是说，正比例函数是一次函数的特例，而一次函数包含正比例函数，是正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数如yx是正比例函数，也是一次函数，而y2x3是一次函数，但并不是正比例函数因此，同学们在复习时一定要注意正确理解正比例函数和一次函数的概念，注意掌握它们之间的区别和联系（2）一次函数的图象是一条直线，它所经过的象限是由k与b决定的，所以在复习巩固一次函数的性质时可以通过函数图象来巩固，从而可以避免因k与b的符号的干扰如，在如图中，表示一次函数ymx+n与正比例函数ymnx(m、n是常数且mn0)图象是（）对于两不同函数图象共存同一坐标系问题，常假设某
3、一图象正确而后根据字母系数所表示的实际意义来判定另一图象是否正确来解决问题例如，假设选项B中的直线ymx+n正确则m0，n0，mn0则正比例函数ymnx则应过第二、四象限，而实际图象则过第一、三象限，所以选项B错误同理可得A正确故应选A（3）虽然一次函数的表达式简单，性质也并不复杂，且一次函数ykx+b(k0)的图象是一条直线，它的位置由k、b的符号确定但是，涉及实际问题的一次函数图象与自变量的取值范围，画出来的图象不一定是直线，可能是线段或其他图形，这一点既是学习一次函数的疑点，也是难点，更是解题量的易错点如，拖拉机开始工作时，油箱中有油40L，如果每小时耗油5L，那么工作时，油箱中的余油量
4、Q(L)与工作时间t(h)的函数关系用图象可表示为（）依题意可以得到油箱中的余油量Q(L)与工作时间t(h)的函数关系为Q405t，就这个一次函数的解析式而言，它的图象是一条直线，所以不少同学就会选择A，而事实上，自变量t有一个取值范围，即0t8，所以正确的答案应该选择C二、思想方法复习一次函数这一章的知识一定注意数学思想方法的巩固具体地说，一次函数的知识涉及常见的思想方法有：（1）函数思想所谓的函数思想就是用一个表达式将两个变量表示出来其两个变量之间是一个对应的关系确定两个变量之间的关系和列一元一次方程解应用题基本相似，即弄清题意和题目中的数量关系，找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系
5、，根据这个相等的数量关系式，列出所需的代数式，从而列出两个变量之间的关系式例1长方形的长是20，宽是x，周长是y写出x和y之间的关系式简析（1）由长方形的周长公式，得y2(x20)2x+40；说明在依据题意写出两个变量之间的关系式时，会经常用到以前学到的各种公式，所以对以前常用的公式我们要熟练掌握，分析每一个公式的结构特征，做到运用自如，方可避免常见错误（2）数形结合思想数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使问题的数量关系巧妙、和谐地结合起来，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想图2例2某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观如果游客过多，
6、对馆中的珍贵文物会产生不利影响但同时考虑到文物的修缮和保存等费用问题，还要保证一定的门票收入因此,博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图2所示的一次函数关系在这样的情况下，如果确保每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少?门票价格应是多少元?解设每周参观人数与票价之间的一次函数关系式为ykx+b由题意，得解得所以y500x+12 000而根据题意，得xy40 000，即x(500x+12 000)40 000，x224x+800，所以方程变形为(x12)264，两边开平方求得x120，x24把x120，x24分别代入y50
7、0x+12 000中得y12 000，y210 000因为控制参观人数，所以取x20，y2 000即每周应限制参观人数是2 000人，门票价格应是20元说明本题中得到方程x224x+800，虽然没有学过不会解，但通过适当变形还是可以求解的（3）待定系数法待定系数法是确定代数式中某项系数的数学方法它是方程思想的具体运用例3为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按一定的关系科学设计的小明对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身长调节高度于是，他测量了一套课桌、凳上相对应的四档高度，得到如下数据：第一档第二档第三档第四档凳高x(cm)370400420450桌高y(cm)7
8、00748780828（1）小明经过对数据探究，发现：桌高y是凳高x的一次函数，请你求出这个一次函数的关系式(不要求写出x的取值范围)；（2）小明回家后，测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为77cm，凳子的高度为435cm，请你判断它们是否配套，说明理由解（1）设ykx+b(k0)，依题意得解得所以这个一次函数的关系式y16x+108；（2）当小明家写字台的高度y77cm时，由（1）中的一次函数的关系式y16x+108得7716x+108，解得x41375凳子的高度435cm，所以小明家的写字台和凳子的高度是不配套的说明对于（2）中的问题也可以利用凳子的高度x，求出写字台的高度y，再与77
9、cm比较由此，用待定系数法求一次函数的解析式的方法可归纳为：“一设二列三解四还原”就是说，一设：设出一次函数解析式的一般形式ykx+b(k0)；二列：根据已知两点或已知图象上的两个点坐标列出关于k、b的二元一次方程组；三解：解这个方程组，求出k、b的值；四还原：将已求得（4）方程思想方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决方程思想是最重要的一种数学思想，在数学解题中所占比重较大，综合知识强、题型广、应用技巧灵活从例1、例2和例3中，我们都可以看出用到了方程思想求解三、考点解密（所选例题均出自2006年全国部分省市中考试卷）考点1确定自变量的取值范围确定函数解析式中的自变量
10、的取值范围，只需保证其函数有意义即可例1（盐城市）函数y中，自变量x的取值范围是 分析由于函数的表达式是分式型的，因此必需保证分母不等于0即可解要使函数y有意义，只需分母x10，即x1说明确定一个函数的自变量的取值范围，对于函数是整式型的可以取任何数，若是分数型，只需使分母不为0，对于从实际问题中求出的解析式必须保证使实际问题有意义考点2函数图象把一个函数的自变量x与对应因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做函数函数图象例2（泉州市）小明所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到
11、家如图1中，哪一个图象能大致描述他回家过程中离家的距离s(千米)与所用时间t（分）之间的关系（）图1分析依据题意，并观察分析每一个图象的特点，即可作出判断解依题意小明所在学校离家距离为2千米，先行驶了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家，即能大致描述他回家过程中离家的距离s(千米)与所用时间t（分）之间的关系只有D图符合，故应选D说明求解时要充分发挥数形结合的作用，及时从图象中捕捉求解有用的信息，并依据函数图象的概念对图象作出正确判断考点3判断图象经过的象限对于一次函数ykx+b：当k0，b0时，图象在第一、二、三象限内；当k0，b0时，图象在第一、三、四象限内；当k0，b0时，图象
12、在第一、二、四象限内；当k0，b0时，图象在第二、三、四象限内特别地，b0即正比例函数ykx有：当k0时，图象在第一、三象限内；当k0时，图象在第二、四象限内例3（十堰市）已知直线l经过第一、二、四象限，则其解析式可以为（写出一个即可）分析由题意直线l经过第一、二、四象限，此时满足条件的解析式有无数个解经过第一、二、四象限的直线有无数条，所以本题是一道开放型问题，答案不唯一如：yx+2，y3x+1等等说明处理这种开放型的问题，只要选择一个方便而又简单的答案即可考点4求一次函数的表达式，确定函数值要确定一次函数的解析式，只需找到满足k、b的两个条件即可一般地，根据条件列出关于k、b的二元一次方程
13、组，解出k与b的值，从而就确定了一次函数的解析式另外，对于实际问题可妨照列方程解应用题那样，但应注意自变量的取值范围应受实际条件的制约图2例4（衡阳市）为了鼓励市民节约用水，自来水公司特制定了新的用水收费标准，每月用水量，x(吨)与应付水费(元)的函数关系如图2（1）求出当月用水量不超过5吨时，y与x之间的函数关系式；（2）某居民某月用水量为8吨，求应付的水费是多少? 分析观察函数图象我们可以发现是一条分段图象，因此只要分0x5和x5求解解（1）由图象可知：当0x5时是一段正比例函数，设ykx，由x5时，y5，得55k，即k1所以0x5时，yx（2）当x5时可以看成是一条直线，设yk1x+ b
14、由图象可知解得所以当x5时，y15x25；当x8时，y1582595(元)说明确定正比例函数的表达式需要一个独立的条件；确定一次函数的表达式需要两个独立的条件对于在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值在处理本题的问题时，只需利用待定系数法，构造出相应的二元一次方程组求解另外，在处理这类问题时，一定要从图形中获取信息，并把所得到的信息进行联系处理考点5比较大小利用一次函数的性质可以比较函数值的大小，具体地应由k的符号决定例5（青岛市）点P1（x1，y1），点P2（x2，y2）是一次函数y4x+3 图象上的两个点，且 x1x2，则y1与y2的大小关系是（ ）Ay1y2 By1y2 0 Cy1y2 Dy1y2分析要比较y1与y2的大小，只要知道一次函数中k的符号解因为在一次函数y4x+3中k40，所以当x1x2时，y1y2故应选A说明在一次函数ykx+b中，当k0，y随x的增大而增大；当k0，y随x的增大而减小考点6图象与坐标轴围成的面积问题对于一次函数ykx+b与坐标轴的两个交点坐标分别是（0，b）和（，0），由此与坐标轴围成的三角形的面积为例6（日照市）已知直线ymx1上有一点B（1，n），它到原点
