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1、第八届全国现代结构工程学术研讨会 薄壁钢梁在有限转角下的弯扭屈曲分析 周神郝际平 ( 西安建筑科技大学十木丁程学院，曲安7 1 0 0 5 5 ) 提要：在空间杆件分析中，空间转动不是矢量，不能是二维分析的简单扩展，引入伪角矢量作为簿壁构件在三维空间有限转角， 蟮于欧拉有限转角理论得出二阶葶换矩阵，由此推导出梁单元的二阶位移，并利用有限变形理论，得出构件位移与应变的 非线性关系，通过B e r n o u l l i 平截面弯曲假定得出转角与侧移导数，曲率与侧移导数之间的关系，运用薄壁构件稳定理论， 推导出构件弯扭屈曲的总势能，证实了传统理论，同时解决了传统理论所存在的力学缺陷。 关键词，有限
2、转角，伪角矢量，弯扭届曲 一、引言 在薄壁钢梁的稳定理论上，存在传统理论和考虑中面非线性剪切应变能的新近理论。传统理论存在本身难以 克服的理论缺陷，但几十年的使用中并没有通过试验发现它存在足什么问题，并且许多国家规范采用以它为依据 的公式。文献( 1 ) ，( 2 ) 的理论仍属于传统理论范畴，但在推导上使得传统理论显得更加精致。文献( 3 ) 指出了文 献( 1 ) ，( 2 ) 中的缺陷，如截面中面上各点的位移与外荷载的位移对1 - c o s O 采用了不同数量级的简化。本文考虑 了杆什在发生有限转角下对薄壁钢梁整体稳定性的影响。引入伪角矢量作为薄壁构件在三维空间的有限转角，基 于有限转
3、角理论得出构件位移与应变的非线性关系通过B e r n o u l l i 平截面弯曲假定，将V l a s o v S 的中面剪应变 为零的假定扩展到非线性范围，代替传统线性理论，由此得出转角与侧移导数，曲率与侧移导数之间的关系，最 终计算出截面的应变与文献( 1 ) ，( 2 ) 给出的应变表达式是一致的。运用薄壁构件弯扭稳定理论，推导出压弯和受 弯构件弯扭屈曲的总势能，其与传统理论吻合，并且截面中而上各点的位移与外荷载的位移对卜c o s O 进行了两 种相同数量级的简化，解决了文献( 2 ) 对传统理论所指出的缺陷。对自由端受弯矩作用下的悬臂粱的稳定性进行 分析和比较，由于考虑了构件的
4、位移二阶项，所以荷载势能存在线性和非线性项，包含了自由端弯矩在悬臂梁屈 曲过程中的所做的功，使其更具有力学依据。 三维空间有限转角的特性 角矢量可以以矢量的性质作定义： 口= 鼠押J + B 刀2 + 岛吗= O x n ( 1 ) 如图1 所示，由欧拉有限转角理论可知1 舢L S I ，某一欠量 o ，沿另一矢量丹转过角度0 时，新矢量1 P 可表示为： 1 P = o P + ( 露o P ) s i n 口+ 矗( 拜o P ) ( 1 一c o s O )( 2 ) 轴矢量矗，o p 的义积可以用矩阵的乘积来代替，即 n 。P ：O xP ：迎。P ( 3 )o 工业建筑2 0 0 8
5、 增刊 一岛 0 a引 P = 冠o P 转动轴 图1 欧拉转角的矢量图 ( 4 ) 1 1 5 7 第八届全围现代结构工程学术研讨会 其中冠为转换矩阵即R 讥了s i n 0 舯) + ! 警2 式( 4 ) 也可以解释为从初始构形到真实构形发牛的刚体转动。l i 式转换矩阵中的三角函数按泰勒级数展丁1 = 置：，+ ；( 一) + 业+ 型+ ：e x p ( s ( 护) ) ( 5 ) 往空问举标。p ，当真实构形到现时构形时发牛的转角增晕为l f ，则从初始构形至现时构形时发牛的总转角盯 2 P = R1= o 其中。=)()s PR RPR e x p ( S ( g ) 6 容许
6、变分勰= 芝限k 。2d 丢f R e x p ( e S ( 却) ) ) 吉一= s ( 却腿 ( 7 ) 在材料坐标中，当真实构彤至现时构形时发，上的转角增量为毋则从初始构形到现时构彤时发生的总转角 2 P = R R 。P 其f f l R 。= e x p ( S ( O ) ) ( 8 ) 容许霉分船= 芸 Ek 。= 羔f 詹e x p ( s ( 渤) ) c - O = R s ( 鲫 ( 9 ) 对应J - 式( 9 ) R 。中的容许变分册为e x p ( S ( 6 0 ，) ) = g e x p ( e S ( 点O ) ) ( 1 0 ) 其巾吐= O + e 6
7、 0 f _ I - R = e x p ( S ( O ) ) ，咂0e x p ( e S ( 鲫) = e x p ( S ( 一日) ) e x p ( s ( 以) ) ( 1 1 ) 由式( 6 ) 和武( 8 ) 可知，妒与毋之间的关系为| ! f ，= 霄毋 ( 1 2 ) 采用欧拉角会引起复合转角的不方便，故引入R o d r i g u e z S 参数即伪角矢量 = 0 , t a n O ，氖= 吼t a n 罢，藏= 岛t a n 罢 ( 1 3 ) 其中p 的_ 人小口：J 矿了虿j 虿0 4 ) 初始矢最先后转动；，各：至t P ，z P ，则矢量l P ，z P
8、 相应| _ ：l 勺位置为- P ：R f ；，) 。P ，2 P = R ( O ：) 1 P ，故2 P = S ：( 占。) P ( 1 4 ) 其中；l 。：f j ，+ 占：一0 “。；：) ( 1 5 ) 1 一口r0 2 mj 。式多，；。；：项，所以；。：；I + 每：。m 此可知，有限角位移不符合矢罩的加法运算法则，它不是矢量。并且 角位移的转动次序是不可变换的，没有变换律。即矢量先后转动角刍：，刍。，刍，后的最终位置与转动角色，氖， 刍：后的最终位置是4 i 同的。 运用式( 1 5 ) ，式( 1 1 ) 可成为 筋各：o ( ；，一“；，舀) ( 1 6 ) 1 0
9、，0 怔吣械1 6 J 讯榍得譬2 霄“叔) 】D 锄 其惭阳：旷”矿瑚 ( 1 7 、 A N k 建筑2 0 0 8 增- 第八届全国现代结构工程学术研讨会 由此可知6 0 = L ( 0 ) 5 0 在材料嫩标中，曲率矢量为z = L ( p ) 眵， 为了计算方便瓦n ，化简为L = ，一：5 ( p ) 式( 2 0 ) 与文献( 8 ) 1 5 5 3 节中式( 5 3 1 b ) 应变矢量i 的表达式足一致的。 三、薄壁构件在有限转角下的位移及应变 ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 2 0 ) 本文采用的基本假定为：( 1 ) 梁变形后横截面仍为甲面；( 2 ) 变形前后构件【
10、f J 线始终垂直于平截面；( 3 ) 大变形， 大转角，小应变：( 4 ) 弹性均质，各向同性材料 在梁单元的各点建立材料坐标，可描述不同构形中梁单元的变形。构形c 0 表示初始末变形状态，构形c ，表 示当前已知的变形平衡状态，构形C 2 表示邻近的变形平钠状态。梁单元A 点台- C o ，C I ，C 2 构形中的材料坐标轴分 别川基矢量E l 、E 2 、E 3 ，1 P 】、1e2 、1P3 ，2e l 、2e2 、2e3 表示。其L ，c 0 构形中的材料出标系与嘲定的笛卡尔直角 k 标系是平行的。则在c l ，C 2 构形中，A 点的位置矢昂x ：( t Y ，z ) ，x j
11、( y ，z ) 可表示为 x i ( 工，Y ，z ) = x i + Y 1 e 2 + z 。e 1 x j “，Y ，z ) = x ；+ y ：e 2 + z3 已，+ u 。 ( 2 1 a ) ( 2 1 b ) 其中盖；州盖；是刃心S 点征C I 科lC 2 构彤中晌位置矢量n 由式( 4 ) 可知，荩矢量1 P 和乙t 的关系为： 拶 e ，= R2 e ( 2 2 ) 其中R 为转换矩阵( 转角矩阵) 。即 届：J + s ( 口) + l S ( O ) 2 A 点的位移矢量可表示为，。= x ：一x j ( 2 3 ) 将式( 2 1 a ) ，( 2 1 b ) ，(
12、 2 2 ) 代入( 2 3 ) ，可得 u I = ，。一( y Y o ) O , + ( z z o ) 0 + ；( y y 。) 够只+ ；( z 一。) 6 1 【馥+ u 。 U 2 = U r v - - ( z 一) t + j I ( z 一) 口，唼一；( y 一) 彰一丢( y 一) 彰 u ，= u 。+ ( ，一) 最+ ；( ，) 或续一；( z - Z o ) a ；一三( Z - Z o ) O j 图2 薄壁构件横截面的位移 ( 2 4 a ) ( 2 4 b ) ( 2 4 c ) 其中U 。，U 。，U 。分别足翦心S 点天于工，Y 和z 轴的刚体位移，
13、如图2 所示。不同于小转角理论，由二阶转角矩 阵推导出的位移比之前多j 二阶项。 工业建筑2 0 0 8 增刊1 1 5 9 p 吖 1一：一口。 r 棚 塑口 一+ 业臼 L 其 第八届全困现代结构工程学术研讨会 米削有限变形理论分析构件的变形灭系，应变与位移的关系为 q l2 U 。一( y Y o ) Z + ( o Z o ) 五十( y Y o ) 最。致+ ( z z 0 ) 以。B + 。 + ：1I u ，2 ，+ u v ，一( ，一z 。) z 】2 + u 亿。+ ( Y - Y o ) z 1 2 1 2 C 1 22 U 。一芝+ 寺只只+ 见u 。，一( z z o
14、 ) z ，+ u “ + u 。， ( z z o ) 正一( y Y o ) X ：l 2 毛，2U 。，+ O y + 去只最一哦u 。，+ f y Y o ) z ：+ u 。一u 。【( z z o ) X ，一( y Y o ) Z ：】 由B e r n o u l l i 平截面弯曲假定可知，薄壁中面的剪应变为零，即2 = o ，E i ，= 0 ，则 u 。，。一旦+ ；晓或+ g u 。，：o 【，。，+ B + ；见g 一幺u ，。= o U 。，一( z 一) 以+ U 。，【( z z o ) x ，一( Y 一) Z ：1 = 0 U 。：一( y y o ) Z
15、+ U 。【( z Z o ) 五一( y 一) ) 丘】= 0 由式( 2 6 a ) 和( 2 6 b ) 可知，转角与侧移导数的关系为： 幺= 一u 。+ 圭或u 。； 只= u 。，+ ；最u 。， ( 2 5 a ) ( 2 5 b ) ( 2 5 c ) ( 2 6 a ) ( 2 6 b ) ( 2 6 c ) ( 2 6 d ) ( 2 7 a ) ( 2 7 b ) 截乒翘曲只考虑与Y 和z 的线性关系，故忽略( 2 6 e ) 叶1u 。【( z z o ) X , 一( y Y o ) X l 项和式( 2 6 d ) 中 u 。【( z z 。) 五一( y - ) 五
16、】项，由式( 2 6 c ) 和( 2 6 d ) 叮知 U 。= 其中啦为剪心S 点的翘曲函数。 将式( 2 7 a ) 雨q ( 2 7 b ) 代入式( 2 0 ) B 曲率与侧移导数之间的关系 以= 最，一三1U 。，吉以， z p = 一U 。+ 8 口。 Z 。= U 。+ O U 。 以Y = 0 ，z = 0 代入式( 2 4 a ) 可得截面形心C 纵向位移 ，。= u 。+ y 。眭一z 。B 一丢y 。只B 一；z 。最眭+ 啦t 令U ，= U 。，+ a r X , ，则式( 2 4 a ) 可写为： u = u 。一y e + z q + 丢y 只q + z 最眭+ 啦款 式( 2 5 a ) 又可以写为： l = ，。一Y X = + Z X y 十y 眭：q + z 最，瞑+ u 。+ 寺f u ：。+ f
