第十章工程力学之弯曲应力

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1、101 纯弯曲时梁的正应力 102 常用截面的惯性矩、平行移轴公式 103 弯曲正应力的强度条件 104 提高梁弯曲强度的措施,第十章 工程力学之弯曲应力,10-1 纯弯曲时梁的正应力,弯曲应力,纯弯曲： 梁内各横截面上的剪力为零、弯矩为常数的受力状态。,横力弯曲： 弯曲梁横截面上既有剪力、又有弯矩的受力状态。,如图10-1（a）所示的简支梁，其剪力图如图10-1（b）所示，弯矩图如图10-1（c）所示。可以看出梁中间一段的剪力为零，而弯矩为常数，即为纯弯曲； AC 和DB 段上既有剪力，又有弯矩，为横力弯曲。,弯曲应力,一、变形的几何关系,1. 梁的变形特点,如图10-2（a）所示，取梁的纵

2、向对称面为xy平面。梁上的外载荷就作用在这个平面内，梁的轴线在弯曲变形后也位于这个平面内。,加载之前，先在梁的侧面，分别画上与梁轴线垂直的横线mn、m1n1，与梁轴线平行的纵线ab、a1b1，前二者代表梁的横截面； 后二者代表梁的纵向纤维。如图10-2（a）所示。,弯曲应力,在梁的两端加一对力偶，梁处于纯弯曲状态，将产生如图10-2（b）、图10-2（c）所示的弯曲变形，可以观察到以下现象：,两条横线仍为直线，仍与纵线垂直，只是横线间作相对转动，由平行线变为相交线。,梁上纵线（包括轴线）都变成了圆弧线，近凹边的纵线缩短，近凸边的纵线伸长。,横截面的高度不变，而横截面的宽度在纵向纤维的缩短区有所

3、增加，在纵向纤维的伸长区有所减少，如图10-2（c）所示。,弯曲应力,根据上述观察到的现象可作如下两个假设：,梁在纯弯曲时，各横截面始终保持为平面，并始终垂直于梁的轴线，这就是梁的平面假设。,纵向纤维之间没有相互挤压，每根纵向纤维只受到简单拉伸或压缩。,根据变形和平面假设，经分析得如下两个结论：,纯弯曲梁横截面上没有剪应力，只有正应力。,纯弯曲梁有一个中性层，每个横截面有一个中性轴。,中性层： 由于变形的连续性，纵向纤维从伸长区到缩短区，必有一层纵向纤维既不伸长，也不缩短，这一长度不变的过渡层，称为中性层,中性轴： 中性层与横截面的交线。根据梁受力和变形的对称性，中性轴一定与对称轴垂直。,弯曲

4、应力,2. 梁的变形规律,可以证明，纯弯曲梁变形后的轴线为一段圆弧。将图10-2(b)中代表横截面的线段mn和m1n1延长，相交于C点，C点就是梁轴弯曲后的曲率中心。若用 表示这两个横截面的夹角， 表示中性层 的曲率半径，因为中性层的纤维长度 不变，故有,在如图10-2所示的坐标系中，y轴为横截面的对称轴，z轴为中性轴，则距中性层为y的任一纵向纤维ab，变形后的长度为,其线应变为,弯曲应力,这就是横截面上各点的纵向线应变沿截面高度的变化规律。它说明梁内任一纵向纤维的线应变与该纤维到中性层的距离y成正比，与中性层的曲率半径 成反比。,弯曲应力,二、变形的物理关系,梁纯弯曲时，我们设想纵向纤维只产

5、生简单拉伸或压缩，在正应力没有超过材料的比例极限时，由虎克定律和式（10-1）得,上式即为横截面上弯曲正应力的分布规律。它表明： 梁纯弯曲时，横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比，距中性轴同一高度上各点的正应力相等。矩形截面梁横截面上正应力的分布规律如图10-3所示，显然在中性轴上各点的正应力为零，而在中性轴的一边是拉应力，另一边是压应力； 横截面上、下边缘各点的正应力最大。,弯曲应力,三、变形的静力学研究,在梁的横截面上任取一微面积 ，如图10-4所示，作用在这微面积上的力为 ，因为横截面上没有轴向内力，所以作用在各微面积 上的力 的合力应等于零，即有,将式（102）代入上式，得

6、,因为 ，所以一定有,弯曲应力,积分 称为整个横截面对中性轴z的静矩，单位为立方米（m3）或立方毫米（mm3）。yC为该截面的形心坐标。因A0，则yC=0，即中性轴z必通过横截面的形心。这样中性轴的位置就确定了。因为y轴是横截面的对称轴，显然也通过横截面的形心，可见在横截面上所选的坐标原点O就是横截面的形心。,纯弯曲梁横截面上的内力为一力偶，即弯矩。该弯矩就是横截面上所有微面积的内力的合力，即有,将式（10-2）代入上式，得,弯曲应力,式中定积分 称为横截面对中性轴z的惯性矩，用IZ表示。其单位为米4（m4）或毫米4（mm4）。于是上式即为,该公式称为梁弯曲变形的基本公式。它说明梁轴曲线的曲率

7、 与弯矩M成正比，与EIZ成反比。EIZ称为梁的抗弯刚度。,弯曲应力,四、梁的弯曲正应力,1. 梁的弯曲正应力,这就是纯弯曲梁横截面上的正应力公式。公式中的负号与坐标系中y轴的正方向有关。应用式（10-4）时，要将M和y按规定的正负号代入，求得的弯曲正应力如果是正号，即为拉应力，如果是负号，即为压应力。但在实际计算中通常用M和y的绝对值来计算的大小，再根据梁的变形情况，直接判断是拉应力还是压应力。梁弯曲变形后，凸边的应力为拉应力，凹边的应力为压应力。这样就可把式（10-4）中的负号去掉，改写为,公式将式（10-3）代入式（10-2），得,弯曲应力,2. 最大弯曲正应力公式,从式（10-5）可知

8、，梁横截面最外边缘处的弯曲正应力最大。最大弯曲正应力的求解可以分为以下几种情况：,则,如果横截面对称于中性轴。例如矩形，以ymax表示最外缘处到中性轴的距离，则横截面上的最大弯曲正应力为,令,式中WZ称为横截面对中性轴z的抗弯截面模量，简称抗弯截面模量。单位是立方米（m3）或立方毫米（mm3）。,弯曲应力,如果横截面不对称于中性轴，例如图10-5所示的槽形截面。,令y1和y2分别表示该横截面上、下边缘到中性轴的距离，则相应的最大弯曲正应力（不考虑符号一个为拉应力，一个为压力）分别为,式中抗弯截面模量W1和W2分别为 ;,弯曲应力,3. 弯曲正应力公式的应用范围,上述的弯曲正应力公式，是由纯弯曲

9、推导而来，并得到了实践的验证。对于横截面上既有弯矩，又有剪力，即横力弯曲的情况。由于剪力的存在，梁的横截面将发生翘曲； 同时剪力将使梁的纵向纤维间产生局部的挤压应力。这时梁的变形为复合变形，但根据精确分析和实验证实，当梁的跨度l与横截面高度h之比 时，梁横截面上的正应力分布与纯弯曲情况很接近，即剪力的影响很小，所以纯弯曲正应力公式对横力弯曲仍可适用。,纯弯曲梁的正应力公式，只有当梁的材料服从虎克定律，而且在拉伸、压缩时的弹性模量相等的条件下才能适用。,弯曲应力,根据横截面对中性轴的惯性矩的定义可知，惯性矩IZ只与横截面的几何形状以及尺寸有关，它反映的是截面的几何性质。,一、常用截面的惯性矩,1

10、0-2常用截面的惯性矩、平行移轴公式,1. 矩形截面,如图10-6所示矩形截面，z为截面的对称轴（即形心轴），在截面中取宽为b、高为dy的细长条作为微面积，即 ，得：,弯曲应力,同理可得截面对y轴的惯性矩Iy和抗弯截面模量Wy分别为,2. 圆形及圆环形截面, 同理可得直径为d的圆形截面对其形心轴y和z的惯性矩为, 外径为D、内径为d的圆环形截面对其形心轴y和z的惯性矩为,弯曲应力,3. 组合截面,工程上常见的组合截面是由矩形、圆形等几个简单图形组成的，或由几个型钢截面组成的。设A为组合截面的面积，A1，A2，为各组成部分的面积，则,即： 组合截面对任一轴的惯性矩，等于各个组成部分对同一轴的惯性

11、矩之和。,例如圆环截面对其对称轴的惯性矩，可看作是大圆的截面对其对称轴的惯性矩，减去小圆的截面对于同一轴的惯性矩。即,弯曲应力,设a、b分别为两平行轴之间的距离，y为微面积dA与z轴的距离，则由图可知微面积dA至z1轴的距离为,二、平行移轴定理,设有一任意截面，如图10-7所示，y、z轴过截面形心，且y/y1，z/z1。已知截面对y、z轴的惯性矩分别为Iy和Iz，求截面对y1、z1轴的惯性矩。,整个截面对z1轴的惯性矩可写成,弯曲应力,因为z轴通过截面的形心c，故yc=0，于是有,上式称为平行移轴定理，即截面对任一轴的惯性矩，等于它对平行于该轴的形心轴的惯性矩，再加上截面面积与两轴间距离平方的

12、乘积。,由于a2A 和b2A 恒为正值，可见在截面对一组平行轴的惯性矩中，截面对形心轴的惯性矩是最小的。,同理可得,10-3弯曲正应力的强度条件,弯曲应力,一、梁的强度条件,1、如材料的拉伸和压缩许用应力相等，则绝对值最大的弯矩所在的横截面为危险截面，最大弯曲正应力 就在危险截面的上、下边缘处。为了保证梁的安全工作，最大工作应力 就不得超过材料的许用应力 ，于是梁弯曲正应力的强度条件为,梁的弯曲强度条件分为两种情况：,如果横截面不对称于中性轴则W1和W2不相等，在此应取较小的抗弯截面模量。,弯曲应力,2、如果材料是铸铁、陶瓷等脆性材料，其拉伸和压缩许用应力不相等，则应分别求出最大正弯矩和最大负

13、弯矩所在横截面上的最大拉应力和最大压应力，并分别列出抗拉强度条件和抗压强度条件为,式中W1和W2分别是相应于最大拉应力 和最大压应力 的抗弯截面模量， 为材料的许用拉应力， 为材料的许用压应力。,；,弯曲应力,例10-1 某冷却塔内支承填料用的梁，可简化为受均布载荷的简支梁，如图10-8所示。已知梁的跨长为3m，所受均布载荷的集度为q=20kN，材料为A3钢，许用应力 ，问该梁应该选用几号工字钢?,解： 这是一个求梁的抗弯截面模量的问题，应先计算在梁跨中点横截面上的最大弯矩,所需抗弯截面模量为,查型钢规格表，选用18号工字钢， 。,弯曲应力,例10-2 一螺旋压板夹紧装置，如图10-9（a）所

14、示。已知压紧力FCy=3kN，a=50mm，材料的许用应力为 。试校核压板的强度。,解： 压板可简化为一简支梁，如图10-9（b）所示，最大弯矩在截面B上，即,欲校核压板的强度，需计算B处截面对其中性轴的惯性矩,弯曲应力,抗弯截面模量,最大正应力,故压板的强度足够。,弯曲应力,例10-3 试按正应力校核图10-10（a）所示铸铁梁的强度。已知梁的横截面为 字型，如图10-10（b）所示。横截面的惯性矩 ，材料的许用拉应力 ，许用压应力 。,解：（1）求约束力。先由静力平衡方程求出梁的约束力为,（2）画弯矩图，判断危险截面。,弯曲应力,绘出梁的弯矩图，如图10-10（c）所示。由图可知，最大正弯

15、矩在截面C，即 ； 最大负弯矩在截面B，即 。因为T字型不对称于中性轴z，且材料的许用应力 。所以对两个危险截面C和B上的最大正应力要分别进行校核。,（3）强度校核。,C截面：,弯曲应力,B截面：,故知铸铁梁的强度是足够的。,10-4 提高梁弯曲强度的措施,弯曲应力,细长直梁的横截面尺寸，是按正应力强度条件确定的。由式（10-7）可知，横截面的最大正应力与弯矩成正比，而与抗弯截面模量成反比。,如弯矩一定，则梁的最大弯曲正应力数值取决于Wz的值。为了既能提高梁的抗弯强度，又不增加梁的自重，梁的横截面应有较小的横截面面积、较大的抗弯截面模量，即有较大的 。,一根矩形截面梁，宽为b、高为h（hb），在垂向载荷作用下，如果将矩形截面竖放，如图10-11（a）所示，其抗弯截面模量为,弯曲应力,将矩形截面平放,如图10-11（b）所示，则,可见,若： h/b=2时，则W竖=2W横。显然，矩形截面竖放时的抗弯截面模量要比平放时大。由此看来，横截面越高越合理。但高度与宽度之比也有一定的限制，比值过大容易发生侧向失稳或剪切强度不够等问题。,弯曲应力,梁弯曲时，从横截面上的正应力沿截面高度分布规律来看，离中性轴越远，正应力越大，靠近中性轴的地方，正应力很小。因此，矩形截面上靠近中性轴附近的材料，没有被充分利用。为此，可把矩形截面靠近中性轴的材料移到离中性轴较远的地方，以提高截面的抗弯截