直线和抛物线的位置关系剖析

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1、直线和抛物线 的位置关系,一、直线和抛物线的位置关系,方程组两组解,相交,方程组没有解,相离,方程组一组解,相切,若消元得到一次方程， 直线和抛物线的对称轴平行或重合, 为相交关系.,若消元得到二次方程,则,思考：只有一个交点一定是相切吗？,判断直线与抛物线位置关系的操作程序,把直线方程代入抛物线方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直线与抛物线的 对称轴平行或重合,相交（一个交点）,计 算 判 别 式,例1 求过定点P（0，1）且与抛物线 只有一个公共点的直线的方程.,综上所述，所求直线方程是 x=0 或 y=1 或,练习： 当k为何值时,直线y= k x+1与抛物线,(1)相交,(2)

2、相切,(3)相离?,解：由方程组,消去 y ，并整理得,当K 0时，该方程是一元二次方程,所以,综上所述，当k1时直线和抛物线相交且k=0时交于一点;,当k=1时，直线和抛物线相切;当k1时直线和抛物线相离.,当 k=0 时 ， 直线方程为y=1，与抛物线交于一点,例2： 在抛物线 上求一点，使它到直线2x-y-4=0的距离最小.,解：设P(x,y)为抛物线 上任意一点，则P到直线2x-y-4=0的距离,此时 y=1，所求点的坐标为P(1,1).,当且仅当 x=1 时， ，,另解: 观察图象可知,平移直线至与抛物线相切,则切点 即为所求.,联立 得,设切线方程为 2x-y+C=0，,由 得 C

3、=-1,又由（ ）得 x=1，y=1.,故所求点的坐标是（1，1）.,点评：此处用到了数形结合的方法.,x,y,O,p,1.过点(0,2)与抛物线 只有一个公共点的直线有( ） （A）1条 (B)2条 (C)3条 (D)无数多条,C,互动练习,2.在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线：4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离。,分析：,抛物线上到直线距离最短的点，是和此直线平行的切线的切点。,y,x,y2=64x 4x+3y+46=0,解：,无实根,直线与抛物线相离,设与4x+3y+46=0平行且与y2=64x相切的直线方程为y=-4/3 x+b,L,P,则由,y=-4/3 x+b y2

4、=64x,消x化简得 y2+48y-48b=0,=482-4(-48b)=0,b=-12,切线方程为：y=-4/3 x-12,y=-4/3 x-12 y2=64x,解方程组,得,x=9 y=-24,切点为P（9，-24）,切点P到的距离d=,抛物线y2=64x到直线：4x+3y+46=0有最短距离的点为P（9，-24），最短距离为2。,二、抛物线的焦点弦性质,例1.过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和 抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 (1)|AB|=x1+x2+p (2)通径长为2 p (3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2; (4)若直线AB的倾斜

5、角为,则|AB|=2p/sin2 (5)以AB为直径的圆与准线相切. (6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 (1)|AB|=x1+x2+p (2)通径长为2p,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 (5)以AB为直径的圆与准线相切.,故以AB为直径的圆与准线相切.,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 (6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为9

6、0o。,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 (3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2;,证明：思路分析：韦达定理,F,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2;,法3：利用性质焦点F对A、B在准线上射影的张角为90 。,代入抛物线得y2ms，,练习 (1).若直线过定点M(s,0)(s0)与抛物线y2=2px(p0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求证:x1x2=s2;y1y2=-2ps.,证明：设AB 的

7、方程为=ms （m）,(2). 若直线与抛物线y2=2px(p0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求证：直线过定点 (s,0)(s0),证明：,若直线与抛物线y2=2px(p0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),则 直线过定点 M(s,0)，(s0) x1x2=s2;y1y2=-2ps.,（1）M为焦点，即过（p/2，0）,x1x2=p2/4;y1y2=-p2.,（2）M过（p，0）,x1x2=4p2;y1y2=-4p2.,x1x2=p2;y1y2=-2p2.,（3）M过（2p，0）,（4）M过（3p，0）,x1x2=9p2;y1y2=-6

8、p2.,（5）M过。,抛物线对称轴上的重要结论,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 (4)若直线AB的倾斜角为,则|AB|=2p/sin2 ,证明: 思路分析|AB|=|AF|+|BF|=,思考：焦点弦何时最短？,过焦点的所有弦中，通径最短,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则,例2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的一条直线和抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2), (1)AO交准线于C,则直线CB平行于抛线的对称轴.,例2.过抛物线y2=2p

9、x(p0)的焦点F的一条直线和抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2), (2)过B作BC准线l,垂足为C,则AC过原点O共线. (2001年高考题),例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p0)上的 两点，且OAOB， 1. 求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积； 2. 求证：直线AB过定点； 3. 求弦AB中点P的轨迹方程； 4. 求AOB面积的最小值； 5. 求O在AB上的射影M轨迹方程.,二、抛物线中的直角三角形问题,例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点，且OAOB， (1) 求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；,解答 (1)设A(x1, y1)，B(x

10、2, y2)，中点P(x0, y0)，, OAOB kOAkOB=-1， x1x2+y1y2=0, y12 = 2px1，y22 = 2px2, y10, y20, y1y2=4p2 x1x2=4p2.,例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点，且OAOB， (2) 求证：直线AB过定点；,解答(2) y12=2px1，y22=2px2 (y1y2)(y1+y2) = 2p(x1x2), AB过定点T(2p, 0).,同理， 以代k得B(2pk2, -2pk) .,例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点，且OAOB， (3) 求弦AB中点P的轨迹方程；,即 y

11、02 = px0-2p2， 中点M轨迹方程 y2 = px-2p2,(3)设OAy = kx，代入y2=2px 得: k 0，,(4),当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立.,例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点，且OAOB， (4)求AOB面积的最小值；,(5)法一：设M(x3, y3), 则,例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点，且OAOB， (5)求O在AB上的射影M轨迹方程.,由(1)知，y1y2=-4p2，,整理得：x32+y32 -2px3=0， 点M轨迹方程为x2+y2-2px=0(去掉(0, 0)., M在以OT为直径的圆上 点M

12、轨迹方程为(x-p)2+y2=p2, 去掉 (0, 0). 评注：此类问题要充分利用(2)的结论., OMT=90, 又OT为定线段,法二： AB过定点T(2p, 0).,7. A、B是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点，且OAOB， (5)求O在AB上的射影M轨迹方程.,小结：,在求轨迹方程问题中易于出错是对轨迹方程纯粹性及完备性的忽略。因此，在求出曲线方程之后而仔细检查有无“不法分子”掺杂其中，应将其剔除；另一方面又要注意有无“漏网之鱼”“逍遥法外”，应将其找回。,四、点与抛物线,点P(x0,y0)与抛物线y2=2px(p0)的位置关系及判断方法.,1.点在抛物线外,2.点在抛物线上

13、,3.点在抛物线内,y02-2px00,y02-2px0=0,y02-2px00,解：,l1,l2,【例题5】,如图所示，直线L1与L2相交于M点L1L2，NL2,以A,B为端点的曲线段C上的任一点到L1的距离与到点N的距离相等， 为锐角三角形， ,建立适当坐标系,求曲线C的方程。,分析：1.如何选择适当的坐标系。 2.能否判断曲线段是何种类型曲线。 3.如何用方程表示曲线的一部分。,如图所示，直线L1与L2相交于M点L1L2 ，NL2,以A,B为端点的曲线段C上的任一点到L1的距离与到点N的距离相等， 为锐角三角形， ,建立适当坐标系,求曲线C的方程。,l1,l2,解法一：,由图得，,曲线段

14、C的方程为：,即抛物线方程：,建立如图所示的直角坐标系，原点为O(0,0),O,，,如图所示，直线L1与L2相交于M点L1L2 ，NL2,以A,B为端点的曲线段C上的任一点到L1的距离与到点N的距离相等， 为锐角三角形， ,建立适当坐标系,求曲线C的方程。,l1,l2,解法二：,曲线段C的方程为：,建立如图所示的直角坐标系，原点为O(0,0),O,y,x,B,A,M,N,Q,曲线段C的方程为：,（1）直线l过抛物线y2=2px (p0)的焦点且与x轴垂直， 若l被抛物线截得的线段长为6，则p=_,3,(2,0),x=-2,7,(2,4),(2,-4),（3）抛物线的顶点在原点， 对称轴为y轴，

15、焦点在 x+2y-12=0上， 则它的方程为_.,（4）抛物线y2=2x上的两点A、B 到焦点的距离和为5，则线段AB 中点到y轴的距离是_.,x2=24y,2,(5) 一抛物线拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽 4米，则当水面下降1米后，水面宽_米。,x2=-2y,8. A、B是抛物线y22px(p0)上的两点，且OAOB. (1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积； (2)求证：直线AB恒过定点； (3)求弦AB中点P的轨迹方程； (4)求AOB面积的最小值 【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点P(x0，y0),已知抛物线 的焦点为F，其准线与x轴交于点M，过点M作斜率为k的直线l交抛物线于A、B两点，弦AB的中点为P，AB的垂直平分线与x轴交于点E（ O）. （1）求k的取值范围（2）求证： （3）PEF能否成为以EF为底的等腰三角形？ 若能，求出k的值，若不能，请说明理由.,解：由题设有 （1）设 令 （2）设AB中点为 AB的垂直平分线的方程为 令