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1、材料力学,第六章 弯曲变形,材料力学,本章内容,6.1 工程中的弯曲变形问题 6.2 挠曲线的微分方程 6.3 用积分法求弯曲变形 6.4 用叠加法求弯曲变形 6.5 简单超静定梁 6.6 提高弯曲刚度的一些措施,材料力学,弯曲变形/工程中的弯曲变形问题,6.1 工程中的弯曲变形问题,材料力学,弯曲变形/工程中的弯曲变形问题,工程中的某些受弯杆件除强度要求外，往往还有刚度要求，即要求它弹性变形不能过大。,例：车床主轴、钻床。,材料力学,弯曲变形/工程中的弯曲变形问题,车床主轴：,材料力学,弯曲变形/工程中的弯曲变形问题,钻床：,材料力学,弯曲变形/工程中的弯曲变形问题,工程中虽然经常限制弯曲变
2、形，但在有些情况下，也会利用弯曲变形达到某种要求。例：汽车中的叠板弹簧。,思考：弯曲变形是否一定是有害的？,材料力学,6.2 挠曲线的微分方程,弯曲变形/挠曲线的微分方程,材料力学,弯曲变形/挠曲线的微分方程,一.几个基本概念,1.挠曲线,变形后，梁的轴线由直线变为光滑的连续曲线，称为挠度曲线，简称挠曲线。,材料力学,挠曲线上横坐标为x的任意点的纵坐标。 即：截面形心沿y方向的位移，以w表示。 w与坐标轴同向为正。,挠度方程或挠曲线方程,2.挠度,弯曲变形/挠曲线的微分方程,材料力学,横截面相对于原来位置转过的角度，以表示。 亦等于x轴与挠曲线切线的夹角。,符号规定： 以梁轴线为基线，逆时针转
3、 向为正，反之则为负。,弯曲变形/挠曲线的微分方程,3.截面转角,材料力学,弯曲变形/挠曲线的微分方程,数学上，用一次导数表示曲线w=f(x)的斜率,挠度与转角的关系：,材料力学,推导公式,1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系,横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影响, 则,二.挠曲线的近似微分方程,材料力学,2.由数学得到平面曲线的曲率,材料力学,在规定的坐标系中,x 轴水平向右 为正, w轴竖直向上为正.,曲线向上凸时:,曲线向下凸时:,材料力学,此式称为 梁的挠曲线近似微分方程,(6.5),与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为,材料力学,适用范围：,比例极限内的
4、挠曲线小变形。,复 习：,1.公式中各符号的含义； 2.常见截面对中性轴的惯性矩Iz。,弯曲变形/挠曲线的微分方程,材料力学,6.3 用积分法求弯曲变形,弯曲变形/用积分法求弯曲变形,材料力学,挠度和转角是弯曲变形的标志，如何根据挠曲线微分方程求解挠度和转角呢？,材料力学,由挠曲线的近似微分方程,积分一次：,（转角方程）,积分二次：,（挠度方程）,式中C、D为积分常数，由梁的约束条件决定。,弯曲变形/用积分法求弯曲变形,材料力学,弯曲变形/用积分法求弯曲变形,梁的约束条件,边界条件,连续性条件,材料力学,弯曲变形/用积分法求弯曲变形,1.边界条件,挠度和转角均为0,固定端,材料力学,弯曲变形/
5、用积分法求弯曲变形,铰支座,挠度为0,材料力学,弯曲变形/用积分法求弯曲变形,弯曲变形的对称点,转角为0,材料力学,2.连续性条件,挠曲线应该是一条连续光滑的曲线。 在挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠度和转角。,弯曲变形/用积分法求弯曲变形,根据边界条件和连续性条件 可确定积分常数。,总结：,材料力学,弯曲变形/用积分法求弯曲变形,求得梁的挠度和转角后，根据需要，限制最大挠度和最大转角不超过某一规定数值，就得到刚度条件：,wmaxw,max,材料力学,弯曲变形/用积分法求弯曲变形,F,l,B,A,eg.1已知悬臂梁的抗弯刚度为EI，确定梁的挠度和转角方程，并求点A处的挠度和转角。,思路,材料力
6、学,弯曲变形/用积分法求弯曲变形,F,l,B,A,1.列出梁的弯矩方程,材料力学,2.求梁的挠度方程和转角方程,积分一次得转角方程：,积分二次得挠度方程：,弯曲变形/用积分法求弯曲变形,材料力学,3.确定积分常数C、D,原则：,约束条件,由于B端为固定端，所以,x=l 时，=0 x=l 时， w=0,代入方程得,弯曲变形/用积分法求弯曲变形,材料力学,弯曲变形/用积分法求弯曲变形,4.求A处的挠度和转角,将A处对应坐标x=0，代入挠度方程和转角方程即得A处的挠度和转角。,注：,A处对应梁的最大挠度和最大转角。,材料力学,弯曲变形/用积分法求弯曲变形,例2 一简支梁受力如图所示。试求 和 。,B
7、,思路：,求支座反力,列弯矩方程（分段）,积分一次，求转角方程,积分二次，求挠度方程,x=0，求A处的转角,=0，求最大挠度,材料力学,1.求支座反力,2.分段列弯矩方程,BC段,AC段,B,弯曲变形/用积分法求弯曲变形,材料力学,弯曲变形/用积分法求弯曲变形,3.积分求转角方程和挠度方程,AC段,BC段,材料力学,4.确定积分常数,边界条件：,（1）,（2）,连续性条件：,（3）,（4）,可解得：,弯曲变形/用积分法求弯曲变形,B,材料力学,弯曲变形/用积分法求弯曲变形,将积分常数代入，得完整的转角和挠度方程,AC段,BC段,材料力学,弯曲变形/用积分法求弯曲变形,5.求A处的转角,B,A处
8、，x=0,材料力学,则由,解得：,6.求最大挠度,弯曲变形/用积分法求弯曲变形,最大挠度处，转角为零，利用转角求出最大挠度对应的坐标值x,材料力学,在简支梁情况下，不管F作用在何处,可用中间挠度代替 ，其误差很小，不超过3%。,代入得,将x=L/2代入得,弯曲变形/用积分法求弯曲变形,材料力学,弯曲变形/用积分法求弯曲变形,注意,（1）控制截面应作为分段点；,（2）截面变化处应作为分段点；,（3）凡分段点处应列出连续条件。 根据梁变形的连续性，对同一截面只可 能有唯一确定的挠度和转角。,材料力学,弯曲变形/用积分法求弯曲变形,已共同完成： 课本180页例6.1和183页例6.3 要求独立完成：
9、 课本182页例6.2,材料力学,6.4 用叠加法求弯曲变形,弯曲变形/用叠加法求弯曲变形,材料力学,叠加法分类：,第二类叠加法（结构叠加法、梁的叠加法、逐段钢化法）,第一类叠加法（载荷叠加法）,弯曲变形/用叠加法求弯曲变形,材料力学,一.第一类叠加法（应用于多个载荷叠加）,在小变形和线弹性范围内，由几个载荷共同作用下梁的任一截面的挠度和转角，应等于每个载荷单独作用下同一截面产生的挠度和转角的代数和。,叠加原理：,弯曲变形/用叠加法求弯曲变形,材料力学,例1已知：q、l、EI， 求：wC 和B,弯曲变形/用叠加法求弯曲变形,材料力学,弯曲变形/用叠加法求弯曲变形,参见188页表6.1,材料力学
10、,弯曲变形/用叠加法求弯曲变形,材料力学,弯曲变形/用叠加法求弯曲变形,材料力学,二.第二类叠加法（梁的叠加）,弯曲变形/用叠加法求弯曲变形,叠加原理：,将梁的挠曲线分成几段，首先分别计算各段梁的变形 在所求处引起的位移（挠度和转角），然后计算其总 和即得所求位移。在分析各段梁的变形在所求处引起 的位移时，除所研究的梁段发生变形外，其余各段梁 均视为刚体。,材料力学,弯曲变形/用叠加法求弯曲变形,例2已知：F、L、a、EI， 求：wC,材料力学,F,+,1）考虑AB段(BC段看作刚体),F作用在支座上，不产生变形。,Fa使AB梁产生向上凸的变形。,查表得：,弯曲变形/用叠加法求弯曲变形,材料力
11、学,2）考虑BC段(AB段看作刚体),弯曲变形/用叠加法求弯曲变形,3）两段叠加,查表得：,材料力学,弯曲变形/用叠加法求弯曲变形,已共同完成： 课本186页例6.4和187页例6.5 要求独立完成： 课本191页例6.6,材料力学,6.5 简单超静定梁,弯曲变形/简单超静定梁,材料力学,一.基本概念,超静定次数：,弯曲变形/简单超静定梁,未知力（支座反力）的数目多于能列出的独立平衡方程的数目，仅利用平衡方程不能解出全部未知力，则称为超静定问题。,未知力的数目-独立平衡方程数,超静定梁：,材料力学,弯曲变形/简单超静定梁,二.(用力法)求解超静定问题的步骤,1.确定超静定次数；,2.选择基本静
12、定梁；,3.列出变形协调条件；,4.用积分法或叠加法求变形，并求出多余未知力；,5.根据静力平衡条件在基本静定梁上求出其余的约束反力。,材料力学,弯曲变形/简单超静定梁,结合例题具体讲解,B,q,L,求解固定端和铰支座的约束反力,材料力学,弯曲变形/简单超静定梁,1.确定超静定次数,超静定次数=未知力的数目-独立平衡方程数 =3-2 =1,材料力学,弯曲变形/简单超静定梁,2.选择基本静定梁,将超静定梁的多余约束解除，得到相应的静定梁。,多余约束的数目=超静定次数,材料力学,弯曲变形/简单超静定梁,解除B支座的约束，以Fby代替，即选择A端固定，B端自由的悬臂梁作为基本静定梁。,静定梁的选择原
13、则：,首选悬臂梁，其次简支梁，最后外伸梁。,材料力学,弯曲变形/简单超静定梁,3.列出变形协调条件,比较原超静定梁和解除约束后的静定梁，根据两者在解除约束处的变形情况应完全相同，得到变形协调条件。,材料力学,弯曲变形/简单超静定梁,4.用积分法或叠加法求变形，并求出多余未知力,仅有q 作用，B点挠度为：,仅有FBy作用，B点挠度为：,解得:,用变形叠加法求解超静定梁的方法，也称为变形比较法,注意：,材料力学,弯曲变形/简单超静定梁,5.根据静力平衡条件在静定梁上求出其余的约束反力,已知：FBy、q、L 求：MA、FAy,材料力学,课本194页例6.7,用解除固定端对截面转动约束的方法求解所有支
14、座反力。,材料力学,1.确定超静定次数,一次超静定,材料力学,2.选择基本静定梁,根据题意选择简支梁,要求解除固定端对截面转动的约束,材料力学,3.列出变形协调条件,固定端挠度和转角均为0，铰支座挠度为0而转角不为0，为使两者变形完全相同，则要求铰支座转角为0,即A=0.,材料力学,4.用积分法或叠加法求变形，并求出多余未知力,查表可得： 简支梁在MA和F单独作用下的A1和A2,A=A1+A2=0,材料力学,5.根据静力平衡条件在静定梁上求出其余的约束反力,材料力学,6.6 提高弯曲刚度的措施,材料力学,提高弯曲强度的措施：,wmaxw,max,弯曲的刚度条件,材料力学,一.减小Mmax值,1.载荷尽量靠近支座,材料力学,材料力学,2.将集中力分解为分力或均布力,材料力学,3.减小支座跨度或增加支座,材料力学,二.增加惯性矩IZ,工字形、T字形截面都比相同面积的矩形截面具有较大的惯性矩，因此，起重机大梁一般采用工字形截面。,材料力学,三.合理的选材,增加弹性模量E,1.同类材料的弹性模量相差不大，因此，不能提高刚度，但是可以通过增大许用应力值提高强度；,2.不同类材料的弹性模量和许用应力相差较大，因此，既可提高刚度，又可提高强度。,注意：,更换材料，原料费用会发生很大的改变！,材料力学,第六章结束,
