第4章-根轨迹法(王恒迪)

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1、第四章 控制系统的根轨迹分析法,4.1 根轨迹的基本概念 4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 4.3 开环零、极点对根轨迹的影响 4.4 参量根轨迹 4.5 系统性能的根轨迹分析,4.1 根轨迹的基本概念 一、问题的提出 由前一章时域分析可知：自动控制系统的稳定性完全由闭环特征方程的根（闭环极点）决定。而系统动态响应的性能则取决于闭环传递函数的极点和零点的分布。因此只要能求得系统的闭环零、极点，则系统的稳定性和动态性能就可以确定。 但是在高阶系统中，求解根是一件很困难的事，计算的复杂性限制了时域分析法在三阶以上控制系统中的应用。 1948年伊文思（W.R.Evans）根据反馈系统开环和闭环

2、传递函数之间的关系，提出了求解特征方程根的图解方法根轨迹法。根轨迹法是分析、设计线性定常系统的一种图解方法。,二、根轨迹的概念 定义：根轨迹是指系统开环传递函数中某个参数（如开环传递系数Kg）从零变到无穷时，闭环特征根在s平面上变化的轨迹。即借助开环的z、p点分布绘制闭环p点随参数变化的轨迹。 例 已知系统的结构图如下图所示，请绘出 时的根轨迹。,注意：在本章中采用传递函数的z、p点表达式，而在其他章节中采用传递函数的时间常数表达式。,解：系统的开环传递函数为 闭环传递函数为 系统特征方程为,开环极点是0和-2。 Kg为开环传递系数，或称为根轨迹增益,此图即为根轨迹，可见Kg：0变化时，闭环根

3、变化形成两条曲线，曲线的起点正好为开环的极点。根轨迹表明了系统参数对闭环极点分布的影响，可以分析系统的稳定性、稳态和暂态性能与系统参数之间的关系。,（1）稳定性 开环传递系数Kg从零变到无穷时，根轨迹不会越过虚轴进入右半s平面，因此系统对所有的Kg值都是稳定的。 （2）稳态特性 开环系统在坐标原点有一个极点，所以属于1型系统。而开环传递系数Kg与开环增益K有关系。如果给定系统稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的允许范围。,（3）动态特性 由图中可见，当01时，闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响为阻尼振荡过程，且超调量将会随Kg值的增大而加大。,一般而言，绘制根轨迹时的

4、可变参量可以是系统的任意参量。但最常用的可变参量是系统的开环传递函数Kg（也称为根轨迹增益）。 Kg常规根轨迹 Kg以外的参数参量根轨迹/广义根轨迹 以上二阶系统的根轨迹可以用解析法来求得，但对于高阶系统来说，解析法就不适用了，工程上常采用图解的方法来绘制近似的根轨迹。,4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 本节重点：掌握根轨迹的绘制方法 本节难点：根轨迹的出射角和入射角，根轨迹和虚轴的交点 一、根轨迹的幅值条件和相角条件 一般闭环系统的框图如图所示，其特征方程为 特征方程的解就是闭环极点，即满足特征方程的点就是极点，或者说根轨迹上的点均满足特征方程。由上述方程可得开环传递函数 将等式两边看

5、做s平面的矢量，幅值和相角分别相等，则 在s平面上的任一点，凡能满足以上幅值和相角条件的，就是系统特征方程的根，就必定在根轨迹上。,开环传递函数通常又可以写为 其中：Kg 开环传递函数 zj、pi 开环零点、极点 根据幅值条件和相角条件有 其中： (s- zj )开环零点zj 到复平面上s点的矢量角 (s- pj )开环极点pi 到复平面上s点的矢量角,在测量相角时，规定以逆时针方向为正。,例 已知系统的开环传递函数如下，设s1为该闭环系统的一个极点 各相角必满足相角条件 再按幅值条件求得s1点对应的根轨迹传递系数,相角条件只与开环零、极点有关；而幅值条件不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹

6、增益Kg有关。 相角条件是决定系统闭环根轨迹的充要条件。 在实际应用中，用相角条件绘制根轨迹，而幅值条件主要用来确定已知根轨迹上某一点的Kg值。,相角条件,幅值条件,二、根轨迹绘制规则 根据幅值条件和相角条件推证出的绘制规则，可快速地求出根轨迹的大致图形。 1. 根轨迹的连续性 系统特征方程是开环根轨迹增益Kg的函数，当Kg从连续变化时，根轨迹在s平面上一定是连续变化的。 2. 根轨迹的对称性 闭环系统的特征根可以是实数根（在实轴上）或复数根，而复数根又必然是成对出现的共轭复数，所以这些根必然对称于实轴。,3. 根轨迹的条数 阶系统有个根，且均为Kg的函数。当Kg从变化时，每一个根也连续移动，

7、形成一条根轨迹，个根也就形成条根轨迹。 因此根轨迹的条数=闭环特征方程根的数目=特征方程的阶次（=开环零点数m和开环极点数n中的较大者，一般nm）。 4 . 根轨迹的起点 （Kg =0）和终点（Kg ） 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。如果开环零点数目m小于开环极点数目n，则有n-m条根轨迹终止于无穷远处（又称为无穷零点或无限零点）。,由幅值条件可知 Kg=0对应根轨迹的起点，由上式可知Kg=0时，只有spi (i=1，2，n)时等式才成立，即根轨迹起始于开环极点。 Kg对应根轨迹的终点，同样Kg时，只有szj (j=1，2，m)时等式才成立，即根轨迹终止于开环零点。 当nm时，上式分子

8、分母同除以sn，有,Kg对应根轨迹的终点， 也应该0，即(n-m)个s趋向无穷远处。,5. 实轴上的根轨迹 在s平面实轴上存在根轨迹的条件是：其右边开环实零点+开环实极点为奇数。,共轭复数零点z1、z2到s1的相角之和为，相互抵消，因此开环共轭复数极点、零点对实轴上根轨迹的判断没有影响，仅取决于实轴上的开环零、极点。 s1点左侧的开环零、极点至s1点的相角为,而右侧开环零、极点至s1点的相角为180。欲满足相角条件，s1右边开环实零点+开环实极点必为奇数。,逆时针方向为正，顺时针为负,例 系统的开环传递函数如下，求s平面实轴上存在根轨迹的区间。,右边开环实零点+开环实极点必为奇数。,-0.5,

9、 0右侧2个极点，不是根轨迹区间； -1, -0.5右侧3个极点，是根轨迹区间； -5, -1右侧4个极点，不是根轨迹区间； -20, -5右侧5个极点，是根轨迹区间； (-, -20右侧6个极点，不是根轨迹区间。,-1, -0.5 -20, -5,6. 分离点和会合点 若干条根轨迹在s平面相遇后又分开的点称为分离点或会合点。 计算分离点和会合点的依据（2种方法）： 若系统的开环传递函数,以上两种方法求出的方程式一致的，均为必要条件，即求出的s值是否是真正的分离点还需验证（2种方法） ： 1）、将求出的s值代入原方程，只有 ，才是真正的分离点或会合点。 2）、看看求出的s值是否在实轴的根轨迹区

10、间内。,分离点,会合点,例 已知系统的开环传递函数如下所示，请求出根轨迹的分离点和会合点。 解：系统有一个开环零点为-1， 有两个开环极点分别为-0.1和-0.5。 根轨迹在实轴上的分布区间为-0.5，-0.1和( ，-1。 求根轨迹的分离点和会合点：,S2=-0.33 Kg2=0.06,S1=-1.67 Kg1=2.74,求对应分离点、会合点的Kg：,或：求出的两个分离点均在实轴的根轨迹区间内，所以s1和s2均是系统的分离点。,例 已知系统的开环传递函数如下所示，请求出根轨迹的分离点和会合点。 解：根轨迹在实轴上的分布区间为-1，0和( ，-2。 求根轨迹的分离点和会合点：,或：求出的s1在

11、实轴的根轨迹区间内， s2不实轴的根轨迹区间内，所以s1是系统的分离点， s2不是，舍弃。,分离点或会合点必然是实数或共轭复数，常见的分离点或会合点位于实轴上。 一般情况下： 实轴上的两个开环极点之间若存在根轨迹，则这两个极点之间存在一个分离点； 实轴上的两个有限开环零点之间若存在根轨迹，则这两个零点会有之间存在一个会合点； 实轴上的一个开环零点与一个开环极点之间的根轨迹一般既没有分离点也没有会合点，特殊情况下两者同时存在。,7. 根轨迹的渐近线 （1）若根轨迹中有nm条趋向无穷远处，则这些根轨迹存在渐近线，渐近线的倾角为 计算时，k的取值到获得nm个倾角即可。 （2） nm条渐近线与实轴交于

12、一点（a，j0）。,例 已知系统的开环传递函数如下所示，请求出根轨迹的渐近线。 解：系统没有开环零点， 有三个开环极点分别为0，-2和-4。,8. 根轨迹与虚轴的交点 方法一：根轨迹与虚轴相交时，实部为0，即s=+j=j，将s=j代入系统闭环特征方程，可求出和kg的值。,例 已知系统的开环传递函数如下所示，请求出根轨迹与虚轴的交点。 解：系统的闭环特征方程为: 将 s=j代入特征方程 上式中实部和虚部均为0，可解得,方法二：利用劳斯判据，当根轨迹与虚轴相交时，表示系统存在纯虚根，处于临界稳定状态，利用劳斯判据的特例，即劳斯表第一列某个元素等于0。 列劳斯表,=0,Kg = 6,用劳斯表s2行的

13、系数可以构成辅助方程,9. 根轨迹的出射角（起始角）与入射角（终止角） 出射角：根轨迹离开开环极点处的切线方向与正实轴之间的夹角。 入射角：根轨迹进入开环零点处的切线方向与正实轴之间的夹角。,出射角：系统的开环零极点分布如图所示，黑线为从极点p1出发的根轨迹。靠近p1取根轨迹上一点s0。讨论相角条件,(s0-p1),(s0-z2),(s0-z1),(s0-p2),(s0-p3),出射角：根据相角条件，有,当s0向p1无限趋近时,p1的出射角,各开环零极点到p1的矢量角,取-,某一开环极点的出射角=+(所有开环零点到被测开环极点矢量的相角之和)(其他开环极点到被测开环极点矢量的相角之和),(s0

14、-p1),(s0-z2),(s0-z1),(s0-p2),(s0-p3),入射角：黑线为进入零点z1的根轨迹。靠近z1取根轨迹上一点s0。讨论相角条件,(s0-p1),(s0-z2),(s0-z1),(s0-p2),(s0-p3),(s0-p1),(s0-z2),(s0-z1),(s0-p2),(s0-p3),相角条件,z1的入射角,取,各开环零极点到z1的矢量角,当s0向z1无限趋近时,某一开环零点的入射角=+(所有开环极点到被测开环零点矢量的相角之和)(其他开环零点到被测开环零点矢量的相角之和),10. 闭环极点之和 若系统有n个开环极点，m个开环零点，当满足(n-m) 2时，闭环极点之和等于开环极点之和。 即此时若有一些根轨迹分支向左移动，则一定会有另外一些根轨迹分支向右移动。这对于判断根轨迹的走向很有意义。,例 单位反馈系统的开环传递函数如下，试绘制Kg从0变化时的根轨迹。 解：系统没有开环零点，有三个开环极点分别为0，-1和-4。所以根轨迹有三条，起始于开环极点，终止于无穷远处。,实轴上的根轨迹：其右边开环实零点+开环实极点为奇数。根轨迹在实轴上的分布区间为-0.5，-0.1和(- ，-1。,分离点：,分离点：,求出的s1在实轴的根轨迹区间内， s2不实轴的根轨迹区间内，所以s1是系统的分离点， s2不是，舍弃。,3条趋向无穷远处根轨迹的渐近线 （1）倾角 （