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1、第二章 随机变量及其分布,为什么要研究学习随机变量, 首先看一个实际问题.,例1,从某型电子元件中任取一件, 观测其寿命(设为试验E)我们关心诸如,寿命在1500 2000小时, 寿命小于1000小时 等事件的概率. 这些只是随机试验事件E 的某些特殊的事件.,问题 我们希望了解随机现象某方面的特性，此时需要掌握某些关心的事件的概率。如何用数学的方法系统地表达这些事件，从而研究随机现象的特性呢？,通过引入一个变量，即X:SR1, 的方法来进行研究，并且希望通过e:X(e)B来表达关心的事件,其中B为R1上可以度量的区域。这样我们就可以利用数学分析的方法研究随机现象。,例2. 掷一枚硬币，观察其
2、面朝上的情况,样本空间，S=正面，反面）,满足 X(正面）=1，X（反面）=0,定义映射,X: SR,也称X为掷一枚硬币，其面朝上的次数。,例3. 对于某型电子元件，任抽一件，观测其寿命。,样本空间，S= t; t 0）,定义映射,X: SR,tt,也称X为任抽该型一电子元件，该电子元件的寿命。,以上我们定义了样本空间到实数域上的一个对应关系X：,e.,X(e),R,2-1 随机变量,定义：,设(S，P)是一概率空间，若X为样本空间,S上的函数： X：S R1 e X(e),满足：xR1,有,e: X(e) x ,则称X(e)为(S, , P)上的一个随机变量。,常常将 e：X(e)x 简记为
3、（Xx）。,随机变量与一般实函数的比较：,X 的取值随试验的结果而定，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值。我们可以求它取某一值的概率，或它取值落入某一集合的概率。如,P(e: X(e)=1)=P(X=1),P(e: X(e)L)=P(X L).,这些性质显示了随机变量与普通函数有着本质的差异.,有了随机变量，随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的取值表达出来。,随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件。引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.,事件及 事件概率,随机变量及其 取值规律,2-2
4、离散型随机变量,1 定义,若随机变量 X 所有可能的取值为有限个或可列无穷多个，则称X为离散型随机变量。否则称为非离散型随机变量。,2. 离散型随机变量的分布,定义：若随机变量X所有可能的取值为x1，x2，xi，且X 取这些值的概率为 P(X=xi)= pi , i=1, 2, . （2.1） 则称（2.1）式为离散型随机变量X 的分布律。,(2.1)式也可以用表格的形式表示如下:,上述表格称为离散型随机变量 X 的分布列，分布列也可以表示成下列矩阵的形式,性质,(1) pi 0, i=1，2，.,(2),例4,设随机变量所有可能取的值为1,2,.,n，且已知P(X=i)与i成正比，求 X 的
5、分布;,例4,设随机变量 X 的分布律为,求 P(X1/2), P(3/2 X 5/2), P(2 X3),例5. 一汽车沿一街道行驶，需要通过四个均设有信号灯的路口，每个信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过，设各信号灯的工作是相互独立的。以X表示该汽车首次停下时，它已通过的路口的个数，求X的分布律.,解：见书p32例1,3 几种常见的离散型随机变量,(1) 单点分布,例6 若随机变量X只取一个常数值C，即P( X=C )=1，则称 X 服从单点分布。,例7 若随机变量 X 只取两个数值0或1，其分布为,(2) 0-1分布,0p1, q=1-p，或记为 P(X=k)=pkq1-k , k =
6、0,1 则称X 服从参数为p 的两点分布或参数为 p 的0-1分布。,(3) 几何分布,例8 一射手每次打靶射击一发子弹，打中的概率为p(0p1), 不中的概率为q=1-p。今向靶作独立重复射击，直到中靶为止，则消耗的子弹数X 是一个离散型随机变量，其分布为,或记为 P(X=k)=q k-1 p, k=1, 2, . 称 X服从参数为p的几何分布。,(4) 超几何分布,例9 设一批同类型的产品共有 N 件，其中次品有M件。今从中任取n (假定n N-M )件，则这n件中所含的次品数X是一个离散型随机变量，其分布为,m = 0,1, l, l =min(M, n),称 X 服从超几何分布,n 重
7、伯努利试验概型：(参见书p41-43),n重伯努利试验中事件 A 出现 k 次的概率 记为,且,解 每取一个球看作是做了一次试验,记取得白球为事件 A,有放回地取4个球看作做了 4 重Bernoulli 试验, 记第 i 次取得白球为事件 Ai,感兴趣的问题为:4次试验中A 发生2次的概率,例4 袋中有3个白球,2个红球,有放回地取球4 次,每次一只,求其中恰有2个白球的概率.,设E为伯努利试验，且P(A)=p (0p1)，对于n重伯努利概型En，事件A恰好发生k(0kn)次的概率为,例5,某射手的命中率为0.9，他独立重复向目标射击5次，求 他恰好命中4次的概率. (2)他恰好不命中3次的概
8、率.,例6,把有7个编号的同类型的球扔进4个编号的盒子中，每个球被扔进任何一个盒子中都是等可能的。求第一个盒子恰有两个球的概率。,1,例7,设有一批产品，共100件，其中4件废品，96件正品，任取三件测试（每次测试是独立的），若有一件测试不合格就拒绝接受。又设次品在检查时测试为合格品的概率为0.05，而正品被误测为不合格的概率是0.01。求该批产品被接受的概率,(5) 二项分布,(c) b(6，0.3)的线条图,(6) 泊松分布,下面看一看它的分布情况:,假设电话交换台每小时接到的呼叫次数服从参数=3的泊松分布，求 (1) 每小时恰有4次呼叫的概率 (2) 一小时内呼叫不超过5次的概率,例10
9、,例11 （请见 书 p38 例5,同学们自己看一看）,2-3 随机变量的分布函数,1. 概念 定义2.1 设X是一随机变量（不论是离散型还是非离散型），对任意的实数x,令 则称F(x)为X的分布函数。,例12: 设 X 服从参数为p的二点分布，即：,k = 0,1,其中0p 1,q =1-p。求X 的分布函数F(x)。 解答如下:,解: 对任意实数 x , 由 X 的分布律知,于是,2. 离散型随机变量X的分布函数,若X 的分布律为,，i=1, 2, . ,则X的分布函数为,当 1 x 2 时， F(x) = P(X=0) + P(X=1) = + =,当 x 2 时， F(x) = P(X
10、=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1,故,注意右连续， 分段时等号在左边,下面我们从图形上来看一下.,画 分布函数图,不难看出，F(x) 的图形是阶梯状的图形，在 x=0，1，2 处有跳跃，其跃度分别等于 P(X=0) , P(X=1) , P(X=2).,3. 随机变量分布函数F(x)的性质,(1) 单调性：若x1x2, 则 F(x1) F(x2) 特别地 P(aXb)=F(b)-F(a),(2) 非负性，规一性：对任意的实数x，均有 0 F(x)1 且,(3) 右连续性: 对任意的实数x0 ,有,(4) P(X=x0)=F(x0)-F(x0-0) 若F(x)在 X=x0 处连
11、续，则 P(X=x0)=0,2-4 连续型随机变量,一. 连续型随机变量及其概率密度,1. 定义2.2 设随机变量 X 的分布函数为F(x), 如果存在一个非负可积函数 f(x), 使对任意的实数x，均有,则称X是连续型随机变量，称f(x)是X的概率密度或密度函数，简称密度。连续型随机变量X的分布函数F(x)和密度函数f(x)统称为X的概率分布，简称X的分布。,（1）,（2）,(3) P (a X b)=F(b)-F(a),(4) 在 f (x) 的连续点 x 处，有,故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限. 它反映了X在x附近单位长区间
12、上取值的概率。,若x是 f(x)的连续点，则：,=f(x),(5) 设x为 f(x)的连续点，当x较小,则有,P(x X x+x ) = F(x+x)-F(x),=,要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率. 但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率在该点的密集程度.,(6) P(X=x0)=F(x0)-F(x0-0),对连续型 随机变量X,其F(x)是连续的, 故P(X=x0)=0. 从而,例1 设随机变量X 的概率密度为,求X 的分布函数,例2 设连续型随机变量X 的分布函数为,求 （1）常数C值； （2）X 取值于（0.3，0.7）内的概率； （3）X 的密度函数的表达式。,
