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1、高中数学专题四椭圆、双曲线、抛物线圆锥曲线知识点小结一、椭圆:(1)椭圆的定义:平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹。其中:两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距。注意:表示椭圆;表示线段;没有轨迹;(2)椭圆的标准方程、图象及几何性质:中心在原点,焦点在轴上中心在原点,焦点在轴上标准方程图 形xOF1F2PyA2A1B1B2A1xOF1F2PyA2B2B1顶 点对称轴轴,轴;短轴为,长轴为焦 点焦 距 离心率(离心率越大,椭圆越扁)通 径(过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段)3常用结论:(1)椭圆的两个焦点为,过的直线交椭圆于两点,则的周长= (2)设椭圆左、右
2、两个焦点为,过且垂直于对称轴的直线交椭圆于两点,则的坐标分别是 二、双曲线:(1)双曲线的定义:平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹。其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。注意:与()表示双曲线的一支。表示两条射线;没有轨迹;(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质:中心在原点,焦点在轴上中心在原点,焦点在轴上标准方程图 形xOF1F2PyA2A1yxOF1PB2B1F2顶 点对称轴轴,轴;虚轴为,实轴为焦 点焦 距 离心率(离心率越大,开口越大)渐近线通 径(3)双曲线的渐近线:求双曲线的渐近线,可令其右边的1为0,即得,因式分解得到。与双曲线共渐近线的
3、双曲线系方程是;(4)等轴双曲线为,其离心率为(4)常用结论:(1)双曲线的两个焦点为,过的直线交双曲线的同一支于两点,则的周长= (2)设双曲线左、右两个焦点为,过且垂直于对称轴的直线交双曲线于两点,则的坐标分别是 三、抛物线:(1)抛物线的定义:平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。其中:定点为抛物线的焦点,定直线叫做准线。(2)抛物线的标准方程、图象及几何性质:焦点在轴上,焦点在轴上,焦点在轴上,焦点在轴上,开口向右开口向左开口向上开口向下标准方程图 形xOFPyOFPyxOFPyxOFPyx顶 点对称轴轴轴焦 点离心率准 线通 径焦半径焦点弦焦准距四、弦长公式: 其中
4、,分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y后所得关于x的一元二次方程的判别式和的系数五、弦的中点坐标的求法法(一):(1)求出或设出直线与圆锥曲线方程;(2)联立两方程,消去y,得关于x的一元二次方程设,由韦达定理求出;(3)设中点,由中点坐标公式得;再把代入直线方程求出。法(二):用点差法,设,中点,由点在曲线上,线段的中点坐标公式,过A、B两点斜率公式,列出5个方程,通过相减,代入等变形,求出。六、求离心率的常用方法:法一,分别求出a,c,再代入公式法二、建立a,b,c满足的关系,消去b,再化为关于e的方程,最后解方程求e (求e时,要注意椭圆离心率取值范围是0e1,而双曲线离心率取值范
5、围是e1)高考专题训练椭圆、双曲线、抛物线一、选择题: 1(2011辽宁)已知F是抛物线y2x的焦点,A,B是抛物线上的两点,|AF|BF|3,则线段AB的中点M到y轴的距离为()A.B1C.D.答案:C2(2011湖北)将两个顶点在抛物线y22px(p0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则()An0 Bn1Cn2 Dn3答案:C3(2011全国)已知抛物线C:y24x的焦点为F,直线y2x4与C交于A,B两点,则cosAFB()A. B.C D答案:D4(2011浙江)已知椭圆C1:1(ab0)与双曲线C2:x21有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于
6、A,B两点若C1恰好将线段AB三等分,则()Aa2 Ba213Cb2 Db22答案:C5(2011福建)设圆锥曲线的两个焦点分别为F1,F2,若曲线上存在点P满足|PF1|:|F1F2|:|PF2|4:3:2,则曲线的离心率等于()A.或 B.或2C.或2 D.或答案:A6(2011邹城一中5月模拟)设F1,F2是双曲线1(a0,b0)的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点P,使()0(O为坐标原点),且|PF1|PF2|,则双曲线的离心率为()A. B.1C. D.1答案:D二、填空题: 7(2011江西)若椭圆1的焦点在x轴上,过点作圆x2y21的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过
7、椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是_答案:18(2011课标)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为,过F1的直线l交C于A,B两点,且ABF2的周长为16,那么C的方程为_答案:19(2011浙江)设F1,F2分别为椭圆y21的左、右焦点,点A,B在椭圆上,若5,则点A的坐标是_答案:(0,1)10(2011全国)已知F1、F2分别为双曲线C:1的左、右焦点,点AC,点M的坐标为(2,0),AM为F1AF2的角平分线,则|AF2|_.答案:6三、解答题: 11(12分)(2011江西)P(x0,y0)(x0a)是双曲线E:1(a0,b0)上一点,M、N
8、分别是双曲线E的左、右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率;(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足,求的值解:(1) e.(2)0或4.12(13分)(2011辽宁)如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点M,N在x轴上,椭圆C2的短轴为MN,且C1,C2的离心率都为e.直线lMN,l与C1交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.(1)设e,求|BC|与|AD|的比值;(2)当e变化时,是否存在直线l,使得BOAN,并说明理由解:(1) |BC|:|AD|.(2)t0时的l不符
9、合题意,t0时,BOAN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等时成立基础巩固题目 椭圆、双曲线、抛物线(2) 双曲线的实轴长是(A)2 (B) (C) 4 (D) 4【解析】选C.(5) 在极坐标系中,点 到圆 的圆心的距离为来源:学#科#网(A)2 (B) (C) (D) 【解析】选D.(21)(本小题满分13分)设,点的坐标为(1,1),点在抛物线上运动,点满足,经过点与轴垂直的直线交抛物线于点,点满足,求点的轨迹方程。解:点P的轨迹方程为(3) 双曲线的实轴长是(A)2 (B) (C) 4 (D) 4【解析】选C.(4) 若直线过圆的圆心,则a的值为(A)1 (B) 1 (C)
10、3 (D) 3【解析】.(17)(本小题满分13分)设直线(I)证明与相交;(II)证明与的交点在椭圆证明:(I)反证法3.在极坐标系中,圆的圆心的极坐标是A. B. C. D. 【解析】: ,选B。19.已知椭圆G:,过点(m,0)作圆的切线l交椭圆G于A,B两点。(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率;(2)将表示为m的函数,并求的最大值。解:() ()当时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2.8已知点A(0,2),B(2,0)若点C在函数y = x的图像上,则使得ABC的面积为2的点C的个数为 A A4 B3 C2 D119(本小题共14分)已知椭圆的离心率为,右焦点为(,0),斜率为I的
11、直线与椭圆G交与A、B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2).(I)求椭圆G的方程;(II)求的面积.解:()椭圆G的方程为()PAB的面积S=7设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1,F2,若曲线r上存在点P满足=4:3:2,则曲线r的离心率等于 AA B或2 C2 D17(本小题满分13分)已知直线l:y=x+m,mR。(I)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切与点P,且点P在y轴上,求该圆的方程;(II)若直线l关于x轴对称的直线为,问直线与抛物线C:x2=4y是否相切?说明理由。(I)圆的方程为(II)当m=1时,直线与抛物线C相切;当时,直线与抛物线C不相切。21.(2)(本小题满分7分)坐标系与参数方程在直接坐标系xOy中,直线l的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为(I)已知在极坐标(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标为(4,),判断点P与直线l的位置关系;(II)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值解:(I)点P在直线上(II)最小值为11设圆锥曲线的两个焦点分别为F1、F2,若曲线上存在点P满足|PF1|:|F1F2|:|PF2|4:3:2,则曲线的离心率等于 A A. 或 B或2 C或2 D或18.(本小题满分12分)如图,直线l:yxb与抛物线C:x2