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1、第17卷第3期数 学 研 究 与 评 论Vol . 17 No. 3 1 9 9 7年8月JOURNAL OF MA THEMA T ICAL RESEARCH AND EXPOSIT I ONAug. 1997 球面型空间中的度量平均 郭 曙 光 (盐城师专数学系,江苏224002) 摘 要 本文首先建立球面型空间中度量平均的概念,其次讨论度量平均过程中一 些几何不变量之间的关系,最后举例说明度量平均在解决球面型空间中几何极值问题时的应 用. 关键词 球面型空间,度量平均,几何极值. 分类号 AM S(1991) 51K05?CCL O184 1 引 言 R. A lexander在文1,
2、2中引入了希尔伯特空间(含欧氏空间)中度量平均的概念,并以 大量的例子说明了度量平均的方法在解决某些几何极值问题时是卓有成效的.杨路、 张景中在 文3, 4中对希尔伯特空间中的度量平均又做了深入的研究,使度量平均方法在解决某些几 何极值问题时更为有效. 本文在球面型空间做了相应的工作,试图建立球面型空间中度量平均的基本理论,首先引 进球面型空间中度量平均的概念,其次讨论度量平均过程中一些几何不变量的变化关系,最后 举例说明度量平均在解决球面型空间中几何极值问题时的应用. 专著5是距离几何之经典,文中将直接引用其中的一些结论,恕不一一列出. 2 球面型空间中度量平均的概念 S d- 1 记曲率为
3、K( 0)的d-1维球面型空间,对于xS d- 1, yS d- 1, g(x,y)记x,y 间的距离,对S d- 1 中的点列= p1,p2,pd,简记cos(K g(pi,pj)为pij (1 i,jd ), 并类似可得下面 (t)的简记符号. 定理1 设(t) = p1(t ), p2(t ), ,pd(t ), tT为S d- 1 中点列构成的单参数族,为T 的子集上的概率测度,则S d- 1 中存在点列 = p1,p2,pd使得 cos( K g(pi,pj ) = cos( K g(pi(t ), pj(t)d(t ) (1 i,jd ). 证明 取集合 = p1,p2,pd,定义
4、 上的函数 144 1994年12月9日收到. 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. g (p i,pj ) = 1 K arccospij(t)d(t ) (1 i,jd ). 由 (t)为S d- 1 中的点列易知, 关于g 作成半度量空间, cos(K g (p i,pj ) = pij(t)d(t ), 由5中定理63. 1的推论,二次型Qt(x ) = 1i,jdp ij(t)xixj(x= (x1,x2,xd) R d, tT)是半正定的,从而,二次型 Q(x ) = 1i,j
5、d (cos(K g (p i,pj)xixj= 1i,jd pij(t)d(t)xixj = 1i,jdp ij(t)xixjd(t) 是半正定的,即矩阵(cos(K g (p i,pj) d i,j= 1是半正定的.由文5,半度量空间(,g ) 可等距 嵌入到S d- 1 中,即S d- 1 中存在点列,不妨仍记为 = p1,p2,pd使得 cos( K g (p i,pj ) = cos( K g(pi(t ), pj(t)d(t ) (1 i,jd ). 显然,定理1中的点列 在等距同构意义下是唯一的,称点列 为点列单参数族 (t ), t T的度量平均,特别地,若对任意tT,(t)为
6、S d- 1 中非退化单形的顶点集,由定理1的证明, 亦为非退化单形的顶点集,为方便起见,也用 (t ), 表示以它们为顶点集的单形,并约定文 中 =(t)d(t)表示在定理1意义下的度量平均. 定理2 设(Y,T)为一个可同胚嵌入到S d- 1 中的紧致拓扑空间,T= t1,t2,tk为 (Y,T)到S d- 1 中的一族同胚嵌入映射,Yi=ti(Y) (i= 1, 2,k ), 为T的子集上的概率测 度,对任意a,bY,定义函数 g (a,b ) = 1 K arccos( K i= 1 (ti)cos(K g(ti(a ), ti(b), 则半度量空间(Y,g ) 可合同嵌入S dk-
7、1 中,且与(Y,T)同胚. 证明 由Yi(i= 1, 2,k)为S d- 1 中的点集易知 , ( Y,g ) 为半度量空间,在其中任取dk + 2个点p1,p2,pdk+ 2,则tl(p1 ), tl(p2 ), ,tl(pdk+ 2 ) YlS d- 1 (l= 1, 2,k ). 由文5 知,矩阵(cos(K g(tl(pi ), tl(pj) dk+ 2 i,j= 1为秩不超过d的半正定矩阵,从而矩阵 (cos(K g (p i,pj) dk+ 2 i,j= 1= ( K l= 1 (tl)cos(K g(tl(pi ), tl(pj) dk+ 2 i,j= 1 =( K l= 1
8、(tl) (cosK g(tl(pi ), tl(pj) dk+ 2 i,j= 1 为秩不超过dk的半正定矩阵,进而半度量空间p1,p2,pdk+ 2可合同嵌入S dk- 1 中,又由文 5中定理39. 2知,S dk- 1 具有合同指数(dk+ 2, 0),故(Y,g ) 可合同嵌入S dk- 1 中. 对 于(Y,T)中任一收敛点列yn,容易看出,yn收敛于y0当且仅当li m ng (y n,y0) = 0,从 而度量空间(Y,g ) 与(Y,T)同胚. 显然 , ( Y,g ) 的在S dk- 1 中的合同象在等距同构意义下也是唯一确定的,称之为Yi(i= 1, 2,k)的度量平均,简
9、记为Y= k i= 1 (ti)Yi. 244 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 3 度量平均中一些几何不变量的变化关系 与文2相对应,可以讨论球面型空间度量平均过程中单形的外接球半径,高线长和点集 的覆盖半径等几何不变量的变化关系,限于篇幅,仅就点集的覆盖半径加以讨论,为此,先列出 文6中的两个主要结果. 引理1 设 = p1,p2,pl为S d- 1 中覆盖半径 ? (2 K)的点集,则二次型 Q(x ) = 1i,jlp ijxixj,x=(x1,x2,xl)R l 在条件S:x
10、i 0( i= 1, 2,l ), l i= 1 xi= 1之下的最小值m in S ( 1i,jlp ijxixj) = cos 2 (K ). 引理2 设Y为S d- 1 中覆盖半径 ? (2 K)的紧致集,为Y上的一个Borel带号 测度 7, 则能量积分 8Q ( ) = YY cos( K g(x,y)d(x)d(y)在约束条件S:非负且 Y d(y) = 1之下,在某一分布 3 取最小值为Q( 3 ) = cos 2 (K ). 定理3 设=(t)d(t ), (t)的覆盖半径小于 ? (2 K ), (t ), 分别表示(t ), 的 覆盖半径,则 cos 2 (K)cos2(K
11、(t)d(t ). 证明 由引理1得 cos 2 (K) = m in S ( 1i,jdp ijxixj) = m in S ( 1i,jd pij(t)d(t)xixj) = m in S 1i,jd (pij(t)xixj)d(t) m in S ( 1i,jdp ij(t)xixj)d(t ) = cos 2 (K(t)d(t ). 定理4 设Y= k i= 1 (ti)Yi,Yi的覆盖半径小于 ?2K(i= 1, 2,k ), 记Y,Yi的覆盖 半径分别为 ,i,则cos 2 (K) k i= 1 (ti )cos 2 (Ki ). 证明 设B,Bi(i= 1, 2,k)分别为Y,Y
12、i(i= 1, 2,k)上的Borel集,为B上的 一个Borel测度,易见ti(i= 1, 2,k)为Y到Yi上的可测同构映照 10, 对于任意的EBi(i = 1, 2,k ), 定义 i(E ) = (t - 1 i (E ), 显然 i(i= 1, 2,k)也是Yi上的一个Borel测度, 并且,有 YY cos( K g (x,y)d(x)d(y ) = YiYi cos( K g(ti(x ), ti(y)di(ti(x)di(ti(y ), 若 满足引理2中条件S,显然 i也满足条件S,由引理2得 cos 2 (K) = m in S ( YY cos( K g (x,y)d(x
13、)d(y) = m in S YY k i= 1 (ti)cos(K g(ti(x ), ti(y)d(x)d(y) 344 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. k i= 1 (ti) m in S YiYi cos( K g(ti(x ), ti(y)di(ti(x)di(ti(y) = k i= 1 (ti )cos 2 (Ki ). S d- 1 中有限点集 = p1,p2,p的Cayley2M enger矩阵的行列式是一个极其重要的 几何不变量,点集 的许多几何不变量均可通过它来
14、表示,例如单形的外接球半径 6, 单形的 高线长等.下面给出度量平均中这个几何不变量的变化关系. 定理5 设=(t)d(t ), B,B(t)分别记 ,(t)的Cayley2M enger矩阵,B,B(t) 分别记B,B(t)的行列式,则 B 1?d B(t) 1?dd(t ). 证明 首先对 =1(1) +2(2) (10,20,1+2 = 1) 进行证明,由度量平均 的概念,pij=1pij(1) +2pij (2), 其中pij(1) = cos( K g(pi (1), pj(1),pij(2) = cos( K g(pi (2), pj(2),若 (1), (2)都是S d- 1 中
15、非退化单形的顶点集,则矩阵(pij(1) d i,j= 1, (pij(2) d i,j= 1均为正定的,故下列关于 的多项式 (1pij(1) + 2pij(2) d i,j= 1=C0 d +C1 d- 1 +Cd- 1+Cd(1) 中的系数C0,C1,Cd均为正的,此多项式的根 i(i= 1, 2,d)均为负的,对1kd,有 k (- 1, -2, -d ) = Ck?C0, 其中k (- 1, -2, -d)为正数-1, -2, -d的k次初等对称多项式.由M aclaurin 不等式 9 得 C1 C0 d 1 C2 C0 d 2 1?2 C3 C0 d 3 1?3 (C d C0) 1?d, 其中 d k 表示组合数.
