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1、专题一 函数与导数（2013.3）一、选择题1.(2013玉溪一中月考)已知函数，则的大小关系是A、 B、C、 D、【解】B因为函数为偶函数，所以，当时，所以函数在递增，所以有，即，选B.2.(2013烟台模拟)已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，则的值为（ ）A B C1 D2【答案】C【解析】由函数是上的偶函数及时得 故选C.3.(2013北京东城月考) 已知函数在上是增函数，若，则的取值范围是 AB CD 【解】B 因为，所以函数为偶函数，因为函数在上是增函数，所以当时，此时为减函数，所以当，函数单调递增。因为，所以有，解得，即，选B.4.(2013滨州质检) 已知是增函数,则函
2、数的图象大致是( )【解析】因为函数是增函数，所以，函数，所以选B.5.如右图，函数的图象为折线，设， 则函数的图象为（ ）【解析】由图象可知，所，排除C，D. ，排除C，选A.6.(2013玉溪一中月考)已知在函数（）的图象上有一点，该函数的图象与 x轴、直线x1及 xt围成图形（如图阴影部分）的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为（ ）【解B】由题意知，当时，面积原来越大，但增长的速度越来越慢.当时，S的增长会越来越快，故函数S图象在轴的右侧的切线斜率会逐渐增大，选B7.右图是函数的部分图像，则函数的零点所在的区间是（）A.B.C.D.【解C】由函数图象可知，从而，所以，函数在定义域内单
3、调递增，所以函数的零点所在的区间是，选C.8.（2013聊城模拟）为了得到函数的图象，可将函数的图象上所有的点的（ ）A.纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 B.纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度 C.横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度 D.横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度【解A】，所以可将的图象上所有的点纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，得到，然后横坐标不变，再向右平移1个单位长度，得到，选A.9.(2013泰安模拟) 若函数（0且）在（）上既是奇函数又是增函数，则的图象是【解C】是奇函数，所以，即，所
4、以，即，又函数在定义域上单调性相同，由函数是增函数可知，所以函数，选C.10.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为A.B.C.D.【解A】，所以在点的导数为，即切线斜率为，所以切线方程为，令得，令，得.所以三角形的面积为，选A.11.对于R上可导的任意函数，若满足，则必有 A B C D【解A】当时，此时函数递减。当时，此时函数递增，即当，函数取得极小值同时也是最小值，所以，即.12.已知函数是幂函数且是上的增函数，则的值为A. 2B. 1C. 1或2D. 0【解B】因为函数为幂函数，所以，即，解得或.因为幂函数在，所以，即，所以.13.“”是“方程至少有一个负根”的（ ） A. 充分不
5、必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件【解A】当时，方程等价为，解得，满足条件.当时，令，因为，要使至少有一个负根，则满足或，解得或，综上方程至少有一个负根的条件为.所以“”是“方程至少有一个负根” 充分不必要条件，选A.14.由曲线，直线所围成的平面图形的面积为（ ） A B C D【解D】由得。当，解得，由，解得，由得.所以根据积分的应用知所求面积15.在R上定义运算若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是A BC D【解C】：由题意得，故不等式化为， 化简得， 故原题等价于在上恒成立，由二次函数图象，其对称轴为，讨论得 或 ，解得 或 ， 综上可得二、
6、填空题16.已知函数的定义域为，的定义域为，则答案：17.若直线是曲线的切线，则实数的值为 . 分析：设切点为 ，由得，故切线方程为，整理得，与比较得，解得，故18.若方程的两根满足一根大于2，一根小于1，则m的取值范围是_.【解】设，则，即，所以，即18.已知为奇函数，在上是增函数，上的最大值为8，最小值为，则= 【解】 因为函数在上是增函数，所以，又因为函数为奇函数，所以，19.(2013衡水中学月考) 已知函数，对任意的恒成立，则取值范围 .【解析】因为函数是奇函数，且在定义域上单调递增，所以由得，即，所以，当时，不等式恒成立.当时，恒成立，此时，当时，恒成立，此时，即，综上.20.已知
7、函数的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为，则= 【解】函数的导数为，所以在处的切线斜率为，所以切线斜率为，令得，所以，可得原式= -1 21定义域的奇函数，当时恒成立，若，则a,b,c由大到小排列是 【解】设，依题意得是偶函数，当时，即恒成立，故在单调递减，则在上递增，又，故三、解答题22. (2013南山区期末调研) 设函数（1）若，求的值； （2）求函数的单调区间；（3）已知对任意成立，求实数的取值范围。23.已知函数. （1）求的极值； （2）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数a的取值范围. 【解】（1）的定义域为,，令得，当时，是增函数；当时，是
8、减函数，在处取得极大值， 无极小值. （2）当时，即时，由（1）知在上是增函数，在上是减函数，,又当时， 当时，；当时，；与图象的图象在上有公共点，解得，又，所以. 当时，即时，在上是增函数，在上的最大值为，所以原问题等价于，解得.又,无解. 综上，实数a的取值范围是. 24. （2013北京东城区联考）已知：函数，其中（）若是的极值点，求的值；（）求的单调区间；（）若在上的最大值是，求的取值范围【解】（）解： 依题意，令，解得 经检验，时，符合题意 （）解： 当时， 故的单调增区间是；单调减区间是 当时，令，得，或当时，与的情况如下：所以，的单调增区间是；单调减区间是和 当时，的单调减区间是
9、 当时，与的情况如下：所以，的单调增区间是；单调减区间是和 当时，的单调增区间是；单调减区间是 综上，当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是和；当时，的减区间是；当时，的增区间是；减区间是和 （）由（）知 时，在上单调递增，由，知不合题意当时，在的最大值是，由，不合题意 当时，在单调递减，则在上的最大值是，符合。 所以，在上的最大值是时，的取值范围是25.（潮州市2013届高三上学期期末）二次函数满足，且最小值是（1）求的解析式；（2）设常数，求直线： 与的图象以及轴所围成封闭图形的面积是； （3）已知，求证：解：（1）由二次函数满足设，则 分又的最小值是，故解得； 分（2）依
10、题意，由，得，或（）分由定积分的几何意义知 分（3）的最小值为，故， 分 ，故 12分， 13分， 14分26 (2013深圳市第一次调研考试) 已知f（x）=x-（a0），g（x）=2lnx+bx且直线y=2x2与曲线y=g（x）相切（1）若对1，+）内的一切实数x，不等式f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a=l时，求最大的正整数k，使得对e，3（e是自然对数的底数）内的任意k个实数x1，x2，xk都有成立；（3）求证：【解】：（1）设点为直线与曲线的切点，则有 （*）， （*）由（*）、（*）两式，解得， 由整理，得，要使不等式恒成立，必须恒成立 设，当时，则是增函数，是增函数，因此，实数的取值范围是 （2）当时，在上是增函数，在上的最大值为要对内的任意个实数都有成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值，解得因此，的最大值为 （3）证明（法一）：当时，根据（1）的推导有，时，即 令，得， 化简得， （法二）数学归纳法：当时，左边=，右边=，根据（1）的推导有，时，即令，得，即因此，时不等式成立 （另解：，即）假设当时不等式成立，即，则当时,，要证时命题成立，即证，即证在不等式中，令，得 时命题也成立 根据数学归纳法，可得不等式对一切成立
