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1、圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题 【高考要求高考要求】 1熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略； 3灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类 讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。 【热点透析热点透析】 与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的离心 率（a,b,c）适合的不等式（组） ，通过解
2、不等式组得出离心率的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量 来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙 的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一 个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： 通过参数 简明地表示曲线上点的坐标； 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式0。 2.解题时所使用的数学思想方法。 （1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草
3、图虽不要求精确，但必须正确，特别 是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示 出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。 （2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转 化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。 （3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值 中的一元二次函数知识等。 （4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的 讨论等。 【题型分析】 1. 已知双曲线 22 1 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点
4、分别为 1 F、 2 F，抛物线 2 C的顶点在原点， 准线与双曲线 1 C的左准线重合，若双曲线 1 C与抛物线 2 C的交点P满足 212 PFFF，则双曲线 1 C的离 心率为（ ） A2 B3C 2 3 3 D2 2 解：由已知可得抛物线的准线为直线 2 a x c ， 方程为 2 2 4a yx c ； 由双曲线可知 2 ( ,) b P c a ， 22 2 4 () ba c ac ， 2 22 2 22 b ba a ， 2 12e ，3e 2椭圆 22 22 1 xy ab （0ab）的两个焦点分别为F、 2 F，以 1 F、 2 F为边作正三角形，若椭圆 恰好平分三角形的另
5、两边，则椭圆的离心率e为 （ B ） A 31 2 B31 C4(23 ) D 32 4 解析：设点P为椭圆上且平分正三角形一边的点，如图， 由平面几何知识可得 2112 |:|:| 1:3:2PFPFFF ， 所以由椭圆的定义及 c e a 得： 12 12 |22 31 2|31 FFc e aPFPF ，故选 B 变式提醒变式提醒：如果将椭圆改为双曲线，其它条件不变，不难得出离心率31e 3. （09 浙江理）过双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线 的两条渐近线的交点分别为,B C若 1 2 ABBC ，则双曲线的离心率是 ( )
6、 A2 B3 C5 D10 【解析】对于,0A a，则直线方程为0xya，直线与两渐近线的交点为 B，C， 22 ,(,) aabaab BC ab ababab ， 22 2222 22 (,), a ba babab BCAB ababab ab ， 因此 22 2,4,5ABBCabe 答案：C 4. （09 江西理）过椭圆 22 22 1 xy ab (0ab)的左焦点 1 F作x轴的垂线交椭圆于点P， 2 F为右焦点， 若 12 60FPF ，则椭圆的离心率为（ ） A 2 2 B 3 3 C 1 2 D 1 3 【解析】因为 2 (,) b Pc a ，再由 12 60FPF 有
7、2 3 2 , b a a 从而可得 3 3 c e a ，故选 B 1 F 2 F x O y P 5.5.（08 陕西理）双曲线 22 22 1 xy ab （0a ，0b ）的左、右焦点分别是 12 FF，过 1 F作倾斜角为 30的直线交双曲线右支于M点，若 2 MF垂直于x轴，则双曲线的离心率为（ B ） A6B3C2D 3 3 6.6.（08 浙江理）若双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3：2,则双曲线的离心率是 （D） （A）3 （B）5 （C）3 （D）5 7.7.（08 全国一理）在ABC中，ABBC， 7 cos 18 B 若以AB
8、，为焦点的椭圆经过点C， 则该椭圆的离心率e 3 8 8.8.（10 辽宁文）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线 垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） （A）2 （B）3 （C） 31 2 （D） 51 2 解析：选 D.不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为： 22 22 1(0,0) xy ab ab ， 则一个焦点为( ,0), (0, )F cBb 一条渐近线斜率为： b a ，直线FB的斜率为： b c ， ()1 bb ac ， 2 bac 22 0caac，解得 51 2 c e a . 9.9.（10 全国卷 1 理）已知 F 是椭圆
9、C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线 交 C 于点 D，且BF 2FD ，则 C 的离心率为_ 解析：答案：解析：答案： 3 3 如图，设椭圆的标准方程为 2 2 x a 2 2 y b 1(ab0)不妨设B为上顶点，F为右焦点，设D(x，y)由 BF 2FD ，得(c，b)2(xc，y)， 即 2() 2 cxc by ，解得 3 2 2 c x b y ，D( 3 2 c ， 2 b ) 由D在椭圆上得： 22 22 3 ()() 22 b c ab 1， 2 2 c a 1 3 ，e c a 3 3 . 【解析 1】 3 3 如图， 22 |BFbca, 作 1 D
10、Dy轴于点 D1,则由BF2FD uu ruur ，得 1 |2 |3 OFBF DDBD ,所以 1 33 | 22 DDOFc,即 3 2 D c x ,由椭圆的第二定义得 22 33 |() 22 acc FDea ca 又由| 2|BFFD,得 2 3 2, c aa a 3 3 e 【解析 2】设椭圆方程为第一标准形式 22 22 1 xy ab ，设 22 ,D xy，F 分 BD 所成的比为 2， 22 22 3022333 0 ; 122212222 c ccc ybxbybb xxxc yy ，代入 22 22 91 1 44 cb ab ， 3 3 e 10. （07 全国
11、 2 理）设 12 FF，分别是双曲线 22 22 xy ab 的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使 12 90F AF 且 12 3AFAF，则双曲线的离心率为（ B ） A 5 2 B 10 2 C 15 2 D5 解 122 222 12 22 210 2()()(2 )10 AFAFAFa c ae AFAFc -= = += 11. 椭圆 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为45o的直线与椭圆交于 A、B 两 点且 F 分向量 BA 的比为 2/3，椭圆的离心率 e 为: 。 本题通法是设直线方程，将其与椭圆方程联立，借助韦达定理将向量比
12、转化为横坐标的比。思路简单， 运算繁琐。下面介绍两种简单解法。 解法（一）：设点 A, AA xy，B, BB xy，由焦半径公式可得 3 2 A B aex aex ， 则2()3() AB aexaex，变形2() ABB aexaexaex， 所以2 () ABB e xxaex因为直线倾斜角为45o，所以有 22 2 25 eABAB，所以 2 5 e 提示：本解法主要运用了圆锥曲线焦半径公式，借助焦半径公式将向量比转化为横坐标的关系。焦半径 是圆锥曲线中的重要线段，巧妙地运用它解题，可以化繁为简，提高解题效率。一般来说，如果题目中涉及 的弦如果为焦点弦，应优先考虑焦半径公式。 解法（
13、二）： 112 5 BEBFAB ee 113 5 ADAFAB ee 2 2 ACAB ADBEAC 13122 552 ABABAB ee 2 5 e 12. （10 辽宁理）(20)（本小题满分 12 分） 设椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 60o,2AFFB .椭圆 C 的离心率 ； 解： 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，由题意知 1 y0， 2 y0. （）直线 l 的方程为 3()yxc，其中 22 cab. 联立 22 22 3(), 1 yxc xy
14、ab 得 22224 (3)2 330abyb cyb 解得 22 12 2222 3(2 )3(2 ) , 33 b cab ca yy abab 因为2AFFB ，所以 12 2yy. 即 22 2222 3(2 )3(2 ) 2 33 b cab ca abab 得离心率 2 3 c e a . 6 分 13. A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点 P，使 OPA= 2 ,则椭圆离心率的范围是_. 解析：设椭圆方程为 2 2 2 2 b y a x =1(ab0),以 OA 为直径的圆：x2ax+y2=0,两式联立消 y 得 2 22 a ba x2ax+b2=0.即 e2x2ax+b2=0,该方程有一解 x2,一解为 a,由韦达定理 x2= 2 e a a,0x2a，即 0 2 e a aa 2 2 e1. 答案： 2 2 e1 14. 在椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上有一点 M， 12 ,F F是椭圆
