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1、l 说明：第一个阶段到上一章结束，以解决线性方程组问题为标志；现在开始第二个阶段，跨上一个台阶，以解决二次型（ch.7）为结束。第九讲 向 量 空 间教学目的：1. 介绍向量空间的狭义概念、向量空间的线性结构、线性子空间；希望对空间有一个整体的概念。1. 介绍空间的基本度量及正交基；可讲得粗一些，不纠缠于正交化计算。教学内容： 第五章 向量空间： 5.1、 5.2。教案提纲：第五章 向 量 空 间 5.1 向量空间一、向量空间的狭义定义：定义5.1（向量组对于线性运算的完备性）；定义5.1 设为的一个非空子集，如果满足：（1）对加法运算是封闭的，即中任意两个向量的和仍在中；（2）对数乘运算是封
2、闭的，即中任意向量与任一实数的乘积仍在中；就称关于向量的线性运算构成（实数域上的）向量空间。l 向量集合对加法和数乘运算封闭常常称它满足完备性，又由第三章定义3.2知道向量的线性运算必满足规范性的八条性质，因此，向量空间具有完备性与规范性。l 容易验证以前所提及的向量集、和本身都是典型的向量空间。l P.112，例5.15.3。二、向量空间的线性结构：1. 基与维数：定义5.2（即最大无关组和秩，升级而已）；定义5.2 设是一个向量空间，是中的一组向量，如果满足：(1) 线性无关；(2) 中的向量都可以由线性表示；则称是的一个基，称为的维数，记作，称是维向量空间。2. 向量在某个基之下的坐标：
3、定义5.3（即表示系数）。定义5.3 设是一个向量空间，是的一个基，若可由这个基表示为： ( 或) (5.1)则称表示系数为在基下的坐标。l 参见；“向量组的结构”。l P.114，例5.7(对上述的例5.1和5.3，给出基和维数)。例5.3中，也构成向量空间，这实际上就是齐次方程的解空间，可取它的基础解系，作为基，因此，对任意向量，令其坐标为，于是有方程，容易解出，这便是所求的坐标。三、子空间：1. 子空间：定义5.4 设是向量空间的一个子集, 如果关于中的线性运算，也能构成向量空间，则称是的一个子空间。l 作为子集，显然有，因此。l 的任一个基必含于的某一个基之中，因而总可以扩展为的一个基
4、。（讨论：与母空间的关系：运算一致、基包含、维数等）2.生成子空间：完整显示向量空间的结构，“以有限的形式把握一个无限的对象”。例5.8 设、, 、的所有实系数线性组合的集合记作，试证：关于中的线性运算构成向量空间。证 ，记 ，则 ，且 ，故 。因此，关于中的线性运算构成向量空间。注意到是的子集，称此空间为由、所生成的子空间（或称为、的生成子空间），记作；、称为它的生成元。生成空间的概念是一个重要的概念。事实上任何向量空间都可以表达为它的任一个基的生成空间。（例：齐次方程组的解空间，例5.9等）例5.9 设齐次方程组，记它的解集为。证明关于向量通常的线性运算构成向量空间。证 ，有、，则有 ；，
5、亦有 ，于是是完备的，关于向量通常的线性运算构成向量空间。称为齐次方程组的解空间。若，则的维数为（见第四章定理4.19），基础解系就是的一个基，通解就是空间的生成形式，则解空间也可以写作基础解系的生成空间的形式：，它是的一个维子空间。特别地，若，则只有唯一零解，没有基，即没有基础解系，故，是的一个零维子空间。l 可讨论生成子空间的生成元与基之间、空间的维数与向量组的秩之间的关系；以及定理5.1：等价的向量组生成同一个子空间。）例5.10 求。 5.2 向量空间的内积与正交性一、内积与基本度量：1. 内积：定义5.5；运算律（内积公理）：定理5.2；2. 范数：定义5.6；运算律（范数公理）：定
6、理5.3（可不证）；定义5.5 ,，定义它们的内积为。 （5.5）或（5.6）定理5.2 向量的内积满足以下运算律:（1） 交换律：；（2） 对加法的分配律：；（3） 对数因子的结合律：；（4） 非负性：，且当且仅当。这四条运算律又称为内积公理，由定义可直接加以验证。定义5.6 ，定义的范数为：。 （5.7）从几何上说，范数相当于低维空间中向量的模或“长度”。定理5.3 范数有下列性质（也称为范数公理）：（1）非负性：，且当且仅当；（2）齐次性：；（3）柯西许瓦兹不等式: ；（4）三角不等式：。 l 单位向量与向量单位化（简介）。l “单位化”；l 例5.11和例5.12，自己看。 3. 距离
7、： 定义5.7 空间中的两个点之间的距离定义为。记点、 ， X P相应的向量表为、，于是 O )，因此 Y Q3. 夹角：从余弦定理引入 定义5.8 定义非零向量的夹角为：（）l 说明：内积的几个背景；投影、力做功。二、正交性与正交基：1. 正交的概念：定义5.9；定义5.9 非零向量,当且仅当内积时，称与正交，记作。特别地，认为零向量与任何向量正交。2. 正交基：（1）正交组（规范正交组）：定义5.10 设为一组非零向量，若满足关系 ， （5.8）即这组向量两两彼此正交，则称 是中的一个正交向量组。进一步，若它们同时又都是单位向量，即满足关系： ， (5.9)则称 是中的一个正交规范向量组（或标准正交向量组）。 （2）正交向量组必是线性无关组。：定理5.4（板书证明）； *（3）Schmidt正交化：介绍推理思路，用简单的例子演示（可略）；l 例5.16要讲。例5.16 已知，求，使 为正交组。解法一 要与正交，应满足方程，即，解得基础解系、，将它们正交化得： ， ，即为所求。 （4）正交基（规范正交基）：定义5.11。作业：p.126：2、4、5、6、9。
